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Theorem sstotbnd2 26174
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x    N, d, v, x    Y, d, v, x

Proof of Theorem sstotbnd2
Dummy variables  c 
f  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . . 5  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
2 metres2 18301 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
31, 2syl5eqel 2471 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
4 istotbnd3 26171 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( TotBnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( Met `  Y
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
54baib 872 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
7 simpllr 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  Y  C_  X )
8 sspwb 4354 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
97, 8sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X
)
10 ssrin 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P Y  C_  ~P X  ->  ( ~P Y  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
( ~P Y  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin ) )
12 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )
)
1311, 12sseldd 3292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
14 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  N ) d )  =  Y )
15 metxmet 18273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
1615ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
17 elfpw 7343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  Y  /\  v  e. 
Fin ) )
1817simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  ->  v  C_  Y )
1918adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  v  C_  Y )
2019sselda 3291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  Y )
21 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  Y  C_  X )
22 dfss1 3488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y 
C_  X  <->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
2321, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
2420, 23eleqtrrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( X  i^i  Y
) )
25 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  d  e.  RR+ )
2625rpxrd 10581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  d  e.  RR* )
271blres 18351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  d  e.  RR* )  ->  ( x (
ball `  N )
d )  =  ( ( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y ) )
2816, 24, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
x ( ball `  N
) d )  =  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
) )
29 inss1 3504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  C_  (
x ( ball `  M
) d )
3028, 29syl6eqss 3341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
x ( ball `  N
) d )  C_  ( x ( ball `  M ) d ) )
3130ralrimiva 2732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  N )
d )  C_  (
x ( ball `  M
) d ) )
32 ss2iun 4050 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  C_  ( x ( ball `  M ) d )  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  N ) d ) 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
3331, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  N )
d )  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )
3433adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  N ) d ) 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
3514, 34eqsstr3d 3326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d ) )
3613, 35jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3736ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( (
v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  N ) d )  =  Y )  -> 
( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
3837reximdv2 2758 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
3938ralimdva 2727 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
406, 39sylbid 207 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
41 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR+ )
4241rphalfcld 10592 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( c  /  2 )  e.  RR+ )
43 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
4443iuneq2d 4060 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  =  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
4544sseq2d 3319 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4645rexbidv 2670 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4746rspcv 2991 . . . . . 6  |-  ( ( c  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4842, 47syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
49 elfpw 7343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  X  /\  v  e. 
Fin ) )
5049simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
5150ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  v  e.  Fin )
52 ssrab2 3371 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  v
53 ssfi 7265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  C_  v )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
5451, 52, 53sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
55 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  =  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
5655ineq1d 3484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
) )
57 incom 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =  ( Y  i^i  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
5856, 57syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  ( Y  i^i  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
59 dfin5 3271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y  i^i  ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  =  { z  e.  Y  |  z  e.  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) }
6058, 59syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  { z  e.  Y  |  z  e.  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) } )
6160neeq1d 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  { z  e.  Y  |  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) }  =/=  (/) ) )
62 rabn0 3590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { z  e.  Y  | 
z  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
6361, 62syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
6463elrab 3035 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  <->  ( y  e.  v  /\  E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
6564simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )
6665rgen 2714 . . . . . . . 8  |-  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )
67 eleq1 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  <->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
6867ac6sfi 7287 . . . . . . . 8  |-  ( ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin  /\  A. y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  ->  E. f
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
6954, 66, 68sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  E. f
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
70 fdm 5535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  ->  dom  f  =  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } )
7170ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  dom  f  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } )
7271, 52syl6eqss 3341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  dom  f  C_  v )
73 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y )
7471feq2d 5521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f : dom  f --> Y  <->  f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y ) )
7573, 74mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  f : dom  f --> Y )
76 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
f `  y )  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
77 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
f  Fn  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } )
78 elpreima 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  Fn  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  ( y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
( y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
8079baibd 876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } --> Y  /\  y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } )  ->  ( y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  <->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
8180ralbidva 2665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
( A. y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  <->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
f `  y )  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
8281ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <->  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
8376, 82mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
84 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  y  =  x )
85 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  =  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
8685imaeq2d 5143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  =  ( `' f
" ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
8784, 86eleq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
x  e.  ( `' f " ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
8887ralrab2 3043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <->  A. x  e.  v 
( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
8983, 88sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
9072, 75, 893jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )
9190ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  Fin  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) ) )
9251, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) ) )
93 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f : dom  f
--> Y )
94 frn 5537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : dom  f --> Y  ->  ran  f  C_  Y )
9593, 94syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  C_  Y )
96 ffn 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : dom  f --> Y  ->  f  Fn  dom  f )
9793, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f  Fn  dom  f )
9851adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  v  e.  Fin )
99 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  C_  v )
100 ssfi 7265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  dom  f  C_  v )  ->  dom  f  e.  Fin )
10198, 99, 100syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  e.  Fin )
102 fnfi 7320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  dom  f  e.  Fin )  ->  f  e.  Fin )
10397, 101, 102syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f  e.  Fin )
104 rnfi 7327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Fin  ->  ran  f  e.  Fin )
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
106 elfpw 7343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  Y  /\  ran  f  e.  Fin ) )
10795, 105, 106sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )
108 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x ( ball `  N
) c )  =  ( z ( ball `  N ) c ) )
109108cbviunv 4071 . . . . . . . . . . . 12  |-  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  N
) c )  = 
U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )
1103ad4antr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
111 metxmet 18273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
11395sselda 3291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  z  e.  Y )
114 rpxr 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( c  e.  RR+  ->  c  e. 
RR* )
115114ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  c  e.  RR* )
116 blssm 18342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  z  e.  Y  /\  c  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  N ) c ) 
C_  Y )
117112, 113, 115, 116syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  (
z ( ball `  N
) c )  C_  Y )
118117ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
119 iunss 4073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )  C_  Y 
<-> 
A. z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
120118, 119sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
121 iunin1 4097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ y  e.  v  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =  (
U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )
122 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
12355cbviunv 4071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) )  =  U_ y  e.  v  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )
124122, 123syl6sseq 3337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ y  e.  v  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
125 dfss1 3488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y 
C_  U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  <-> 
( U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  Y )
126124, 125sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ( U_ y  e.  v  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =  Y )
127121, 126syl5eq 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =  Y )
128 0ss 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )
129 sseq1 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )  <->  (/)  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
130128, 129mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
132 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
13356neeq1d 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) ) )
134 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
13555imaeq2d 5143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  =  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
136134, 135eleq12d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( `' f " ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
137133, 136imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  <->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) ) )
138137rspccva 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  (
( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
139132, 138sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
14015ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
141140ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
142 cnvimass 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) 
C_  dom  f
14349simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  C_  X )
144143ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  v  C_  X )
145144adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  v  C_  X
)
14699, 145sstrd 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  C_  X )
147142, 146syl5ss 3302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  C_  X )
148147sselda 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  y  e.  X )
149 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
150149rpred 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR )
151 elpreima 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( f  Fn  dom  f  -> 
( y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  dom  f  /\  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
152151simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
15397, 152sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
154 blhalf 18334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  M
) c ) )
155141, 148, 150, 153, 154syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  M
) c ) )
156 ssrin 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  C_  ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
157155, 156syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
158142sseli 3287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  -> 
y  e.  dom  f
)
159 ffvelrn 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : dom  f --> Y  /\  y  e.  dom  f )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
16093, 158, 159syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  Y
)
161 simp-5r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
162161, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
163160, 162eleqtrrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) )
164114ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR* )
1651blres 18351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  c  e.  RR* )  ->  ( ( f `
 y ) (
ball `  N )
c )  =  ( ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
166141, 163, 164, 165syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
f `  y )
( ball `  N )
c )  =  ( ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
167157, 166sseqtr4d 3328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  N
) c ) )
168 fnfvelrn 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  y  e.  dom  f )  ->  (
f `  y )  e.  ran  f )
16997, 158, 168syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ran  f )
170 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z ( ball `  N
) c )  =  ( ( f `  y ) ( ball `  N ) c ) )
171170ssiun2s 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f `  y )  e.  ran  f  -> 
( ( f `  y ) ( ball `  N ) c ) 
C_  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c ) )
172169, 171syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
f `  y )
( ball `  N )
c )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
173167, 172sstrd 3301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
174173adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  /\  y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  C_  U_ z  e.  ran  f
( z ( ball `  N ) c ) )
175174ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
176139, 175syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
177131, 176pm2.61dne 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
178177ralrimiva 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
179 iunss 4073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ y  e.  v  (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  C_  U_ z  e.  ran  f
( z ( ball `  N ) c )  <->  A. y  e.  v 
( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
180178, 179sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
181127, 180eqsstr3d 3326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
182120, 181eqssd 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  =  Y )
183109, 182syl5eq 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
184 iuneq1 4048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ran  f  ->  U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c ) )
185184eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ran  f  -> 
( U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y  <->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c )  =  Y ) )
186185rspcev 2995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c )  =  Y )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
187107, 183, 186syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y )
188187ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f
--> Y  /\  A. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
18992, 188syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
190189exlimdv 1643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  ( E. f ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
19169, 190mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
192191rexlimdvaa 2774 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
19348, 192syld 42 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
194193ralrimdva 2739 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
195 istotbnd3 26171 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( TotBnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( Met `  Y
)  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
196195baib 872 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
1973, 196syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
198194, 197sylibrd 226 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  N  e.  ( TotBnd `  Y )
) )
19940, 198impbid 184 1  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653    i^i cin 3262    C_ wss 3263   (/)c0 3571   ~Pcpw 3742   U_ciun 4035    X. cxp 4816   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   ran crn 4819    |` cres 4820   "cima 4821    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   RRcr 8922   RR*cxr 9052    / cdiv 9609   2c2 9981   RR+crp 10544   * Metcxmt 16612   Metcme 16613   ballcbl 16614   TotBndctotbnd 26166
This theorem is referenced by:  sstotbnd  26175  sstotbnd3  26176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-2 9990  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-totbnd 26168
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