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Theorem sstotbnd2 26509
Description: Condition for a subset of a metric space to be totally bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
sstotbnd.2  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
Assertion
Ref Expression
sstotbnd2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
Distinct variable groups:    v, d, x, M    X, d, v, x    N, d, v, x    Y, d, v, x

Proof of Theorem sstotbnd2
Dummy variables  c 
f  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sstotbnd.2 . . . . 5  |-  N  =  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )
2 metres2 17929 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( M  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( Met `  Y
) )
31, 2syl5eqel 2369 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
4 istotbnd3 26506 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( TotBnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( Met `  Y
)  /\  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
54baib 871 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
63, 5syl 15 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y ) )
7 simpllr 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  Y  C_  X )
8 sspwb 4225 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
97, 8sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X
)
10 ssrin 3396 . . . . . . . . 9  |-  ( ~P Y  C_  ~P X  ->  ( ~P Y  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
( ~P Y  i^i  Fin )  C_  ( ~P X  i^i  Fin ) )
12 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )
)
1311, 12sseldd 3183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )
)
14 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  N ) d )  =  Y )
15 metxmet 17901 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
18 elfpw 7159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  Y  /\  v  e. 
Fin ) )
1918simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  ->  v  C_  Y )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  v  C_  Y )
2120sselda 3182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  Y )
22 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  Y  C_  X
)
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  Y  C_  X )
24 dfss1 3375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y 
C_  X  <->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
2523, 24sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
2621, 25eleqtrrd 2362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  x  e.  ( X  i^i  Y
) )
27 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  d  e.  RR+ )
2827rpxrd 10393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  d  e.  RR* )
291blres 17979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  x  e.  ( X  i^i  Y )  /\  d  e.  RR* )  ->  ( x (
ball `  N )
d )  =  ( ( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y ) )
3017, 26, 28, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
x ( ball `  N
) d )  =  ( ( x (
ball `  M )
d )  i^i  Y
) )
31 inss1 3391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x ( ball `  M
) d )  i^i 
Y )  C_  (
x ( ball `  M
) d )
3231a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
( x ( ball `  M ) d )  i^i  Y )  C_  ( x ( ball `  M ) d ) )
3330, 32eqsstrd 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  /\  x  e.  v )  ->  (
x ( ball `  N
) d )  C_  ( x ( ball `  M ) d ) )
3433ralrimiva 2628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  A. x  e.  v  ( x
( ball `  N )
d )  C_  (
x ( ball `  M
) d ) )
35 ss2iun 3922 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  C_  ( x ( ball `  M ) d )  ->  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  N ) d ) 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  N )
d )  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) )
3736adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  U_ x  e.  v 
( x ( ball `  N ) d ) 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) d ) )
3814, 37eqsstr3d 3215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d ) )
3913, 38jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y ) )  -> 
( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
4039ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( (
v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  N ) d )  =  Y )  -> 
( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) ) )
4140reximdv2 2654 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  (
x ( ball `  N
) d )  =  Y  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
4241ralimdva 2623 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  v  ( x (
ball `  N )
d )  =  Y  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d ) ) )
436, 42sylbid 206 . 2  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  ->  A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d ) ) )
44 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  c  e.  RR+ )
4544rphalfcld 10404 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( c  /  2 )  e.  RR+ )
46 oveq2 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  (
x ( ball `  M
) d )  =  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
4746iuneq2d 3932 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  =  U_ x  e.  v  (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
4847sseq2d 3208 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
4948rexbidv 2566 . . . . . . 7  |-  ( d  =  ( c  / 
2 )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
d )  <->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
5049rspcv 2882 . . . . . 6  |-  ( ( c  /  2 )  e.  RR+  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
5145, 50syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
52 elfpw 7159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  <->  ( v  C_  X  /\  v  e. 
Fin ) )
5352simprbi 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  e.  Fin )
5453ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  v  e.  Fin )
55 ssrab2 3260 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  v
56 ssfi 7085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  { x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  C_  v )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
5754, 55, 56sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  e.  Fin )
58 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  =  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
5958ineq1d 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
) )
60 incom 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =  ( Y  i^i  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
6159, 60syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  ( Y  i^i  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
62 dfin5 3162 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  i^i  ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  =  { z  e.  Y  |  z  e.  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) }
6361, 62syl6eq 2333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  { z  e.  Y  |  z  e.  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) } )
6463neeq1d 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  { z  e.  Y  |  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) }  =/=  (/) ) )
65 rabn0 3476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { z  e.  Y  | 
z  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
6664, 65syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
6766elrab 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  <->  ( y  e.  v  /\  E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
6867simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  E. z  e.  Y  z  e.  ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )
6968rgen 2610 . . . . . . . . 9  |-  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )
70 eleq1 2345 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  <->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
7170ac6sfi 7103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  e.  Fin  /\  A. y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } E. z  e.  Y  z  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  ->  E. f
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
7257, 69, 71sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  E. f
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
73 fdm 5395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  ->  dom  f  =  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } )
7473ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  dom  f  =  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } )
7555a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  C_  v )
7674, 75eqsstrd 3214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  dom  f  C_  v )
77 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y )
7874feq2d 5382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f : dom  f --> Y  <->  f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y ) )
7977, 78mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  f : dom  f --> Y )
80 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
f `  y )  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
81 ffn 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
f  Fn  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } )
82 elpreima 5647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  Fn  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  ->  ( y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
8381, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
( y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) }  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
8483baibd 875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } --> Y  /\  y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } )  ->  ( y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  <->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
8584ralbidva 2561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  -> 
( A. y  e. 
{ x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  <->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) }  (
f `  y )  e.  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )
8685ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <->  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )
8780, 86mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. y  e.  { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
88 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  y  =  x )
89 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  x  ->  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  =  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )
9089imaeq2d 5014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  x  ->  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  =  ( `' f
" ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
9188, 90eleq12d 2353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
x  e.  ( `' f " ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
9291ralrab2 2933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) } y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <->  A. x  e.  v 
( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
9387, 92sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  A. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
9476, 79, 933jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  ( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )
9594ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  Fin  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) ) )
9654, 95syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) ) )
97 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f : dom  f
--> Y )
98 frn 5397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : dom  f --> Y  ->  ran  f  C_  Y )
9997, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  C_  Y )
100 ffn 5391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : dom  f --> Y  ->  f  Fn  dom  f )
10197, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f  Fn  dom  f )
10254adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  v  e.  Fin )
103 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  C_  v )
104 ssfi 7085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  Fin  /\  dom  f  C_  v )  ->  dom  f  e.  Fin )
105102, 103, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  e.  Fin )
106 fnfi 7136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  dom  f  e.  Fin )  ->  f  e.  Fin )
107101, 105, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  f  e.  Fin )
108 rnfi 7143 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  Fin  ->  ran  f  e.  Fin )
109107, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
110 elfpw 7159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  <->  ( ran  f  C_  Y  /\  ran  f  e.  Fin ) )
11199, 109, 110sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) )
112 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
x ( ball `  N
) c )  =  ( z ( ball `  N ) c ) )
113112cbviunv 3943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U_ x  e.  ran  f ( x ( ball `  N
) c )  = 
U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )
1143ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
115114ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
116 metxmet 17901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
117115, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  N  e.  ( * Met `  Y
) )
11899sselda 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  z  e.  Y )
119 rpxr 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( c  e.  RR+  ->  c  e. 
RR* )
120119ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR* )
121120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  c  e.  RR* )
122 blssm 17970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( * Met `  Y )  /\  z  e.  Y  /\  c  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  N ) c ) 
C_  Y )
123117, 118, 121, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  z  e.  ran  f )  ->  (
z ( ball `  N
) c )  C_  Y )
124123ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
125 iunss 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )  C_  Y 
<-> 
A. z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
126124, 125sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  C_  Y
)
127 iunin1 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ y  e.  v  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =  (
U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )
128 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
12958cbviunv 3943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) )  =  U_ y  e.  v  (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )
130128, 129syl6sseq 3226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ y  e.  v  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) ) )
131 dfss1 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Y 
C_  U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  <-> 
( U_ y  e.  v  ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  Y )
132130, 131sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ( U_ y  e.  v  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =  Y )
133127, 132syl5eq 2329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =  Y )
134 0ss 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (/)  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )
135 sseq1 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c )  <->  (/)  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
136134, 135mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
137136a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
138 simpr3 963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
13959neeq1d 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) ) )
140 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14158imaeq2d 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  =  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )
142140, 141eleq12d 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( `' f " ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
y  e.  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
143139, 142imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  <->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) ) )
144143rspccva 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  (
( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) )
145138, 144sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
14615ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
147146ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  M  e.  ( * Met `  X
) )
148 cnvimass 5035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( `' f " ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) 
C_  dom  f
14952simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  ->  v  C_  X )
150149ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  v  C_  X )
151150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  v  C_  X
)
152103, 151sstrd 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  dom  f  C_  X )
153148, 152syl5ss 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  C_  X )
154153sselda 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  y  e.  X )
15544ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR+ )
156155rpred 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR )
157 elpreima 5647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( f  Fn  dom  f  -> 
( y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  <-> 
( y  e.  dom  f  /\  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )
158157simplbda 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
159101, 158sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )
160 blhalf 17962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( M  e.  ( * Met `  X
)  /\  y  e.  X )  /\  (
c  e.  RR  /\  ( f `  y
)  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  M
) c ) )
161147, 154, 156, 159, 160syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  M )
( c  /  2
) )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  M
) c ) )
162 ssrin 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  C_  ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
163161, 162syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
164148sseli 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  ( `' f
" ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) ) )  -> 
y  e.  dom  f
)
165 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( f : dom  f --> Y  /\  y  e.  dom  f )  ->  (
f `  y )  e.  Y )
16697, 164, 165syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  Y
)
167 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  Y  C_  X
)
168167ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  Y  C_  X
)
169168, 24sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( X  i^i  Y )  =  Y )
170166, 169eleqtrrd 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y ) )
171120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  c  e.  RR* )
1721blres 17979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  ( * Met `  X )  /\  ( f `  y )  e.  ( X  i^i  Y )  /\  c  e.  RR* )  ->  ( ( f `
 y ) (
ball `  N )
c )  =  ( ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
173147, 170, 171, 172syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
f `  y )
( ball `  N )
c )  =  ( ( ( f `  y ) ( ball `  M ) c )  i^i  Y ) )
174163, 173sseqtr4d 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  (
( f `  y
) ( ball `  N
) c ) )
175 fnfvelrn 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( f  Fn  dom  f  /\  y  e.  dom  f )  ->  (
f `  y )  e.  ran  f )
176101, 164, 175syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( f `  y )  e.  ran  f )
177 oveq1 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z ( ball `  N
) c )  =  ( ( f `  y ) ( ball `  N ) c ) )
178177ssiun2s 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( f `  y )  e.  ran  f  -> 
( ( f `  y ) ( ball `  N ) c ) 
C_  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c ) )
179176, 178syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
f `  y )
( ball `  N )
c )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
180174, 179sstrd 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  ( `' f " (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
181180adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  /\  y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  C_  U_ z  e.  ran  f
( z ( ball `  N ) c ) )
182181ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( y  e.  ( `' f "
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
183145, 182syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) ) )
184137, 183pm2.61dne 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  /\  c  e.  RR+ )  /\  (
v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
( c  /  2
) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  /\  y  e.  v )  ->  ( (
y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
185184ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
186 iunss 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U_ y  e.  v  (
( y ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  C_  U_ z  e.  ran  f
( z ( ball `  N ) c )  <->  A. y  e.  v 
( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
187185, 186sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ y  e.  v  ( ( y (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  C_  U_ z  e. 
ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
188133, 187eqsstr3d 3215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  Y  C_  U_ z  e.  ran  f ( z ( ball `  N
) c ) )
189126, 188eqssd 3198 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ z  e.  ran  f ( z (
ball `  N )
c )  =  Y )
190113, 189syl5eq 2329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  U_ x  e.  ran  f ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
191 iuneq1 3920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  ran  f  ->  U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c ) )
192191eqeq1d 2293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  ran  f  -> 
( U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y  <->  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c )  =  Y ) )
193192rspcev 2886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  f  e.  ( ~P Y  i^i  Fin )  /\  U_ x  e. 
ran  f ( x ( ball `  N
) c )  =  Y )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
194111, 190, 193syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  /\  ( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f --> Y  /\  A. x  e.  v  ( ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f "
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y )
195194ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( dom  f  C_  v  /\  f : dom  f
--> Y  /\  A. x  e.  v  ( (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  x  e.  ( `' f " (
x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
19696, 195syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  (
( f : {
x  e.  v  |  ( ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  i^i  Y
)  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
197196exlimdv 1666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  ( E. f ( f : { x  e.  v  |  ( ( x ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) )  i^i 
Y )  =/=  (/) } --> Y  /\  A. y  e.  { x  e.  v  |  (
( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  i^i  Y )  =/=  (/) }  ( f `  y )  e.  ( y ( ball `  M
) ( c  / 
2 ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
19872, 197mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  ( v  e.  ( ~P X  i^i  Fin )  /\  Y  C_ 
U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) ) ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y )
199198expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  /\  v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) )  ->  ( Y  C_  U_ x  e.  v  ( x (
ball `  M )
( c  /  2
) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
200199rexlimdva 2669 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y 
C_  U_ x  e.  v  ( x ( ball `  M ) ( c  /  2 ) )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x ( ball `  N ) c )  =  Y ) )
20151, 200syld 40 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  /\  c  e.  RR+ )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
202201ralrimdva 2635 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( A. d  e.  RR+  E. v  e.  ( ~P X  i^i  Fin ) Y  C_  U_ x  e.  v  ( x
( ball `  M )
d )  ->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
203 istotbnd3 26506 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( TotBnd `  Y
)  <->  ( N  e.  ( Met `  Y
)  /\  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w  ( x (
ball `  N )
c )  =  Y ) )
204203baib 871 . . . 4  |-  ( N  e.  ( Met `  Y
)  ->  ( N  e.  ( TotBnd `  Y )  <->  A. c  e.  RR+  E. w  e.  ( ~P Y  i^i  Fin ) U_ x  e.  w