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Theorem ssufl 17864
Description: If  Y is a subset of  X and filters extend to ultrafilters in  X, then they still do in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ssufl  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e. UFL )

Proof of Theorem ssufl
Dummy variables  f 
g  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  X  e. UFL )
2 filfbas 17794 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  e.  ( fBas `  Y )
)
32adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  e.  ( fBas `  Y ) )
4 filsspw 17797 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  f  C_  ~P Y )
54adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  C_  ~P Y
)
6 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  Y  C_  X )
7 sspwb 4347 . . . . . . . . 9  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
86, 7sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ~P Y  C_  ~P X
)
95, 8sstrd 3294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  C_  ~P X
)
10 fbasweak 17811 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( fBas `  Y )  /\  f  C_ 
~P X  /\  X  e. UFL )  ->  f  e.  ( fBas `  X )
)
113, 9, 1, 10syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  e.  ( fBas `  X ) )
12 fgcl 17824 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X ) )
1311, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )
14 ufli 17860 . . . . 5  |-  ( ( X  e. UFL  /\  ( X filGen f )  e.  ( Fil `  X
) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  X
) ( X filGen f )  C_  u )
151, 13, 14syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. u  e.  ( UFil `  X ) ( X filGen f )  C_  u )
16 ssfg 17818 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( fBas `  X
)  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
1711, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  -> 
f  C_  ( X filGen f ) )
1817adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_  ( X filGen f ) )
19 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  ( X filGen f )  C_  u )
2018, 19sstrd 3294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_  u )
21 filtop 17801 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  f )
2221ad2antlr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  Y  e.  f )
2320, 22sseldd 3285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  Y  e.  u )
24 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  u  e.  ( UFil `  X
) )
256adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  Y  C_  X )
26 trufil 17856 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( UFil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( ut  Y )  e.  (
UFil `  Y )  <->  Y  e.  u ) )
2724, 25, 26syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
( ut  Y )  e.  (
UFil `  Y )  <->  Y  e.  u ) )
2823, 27mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
ut 
Y )  e.  (
UFil `  Y )
)
295adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_ 
~P Y )
30 restid2 13578 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  f  /\  f  C_  ~P Y )  ->  ( ft  Y )  =  f )
3122, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
ft 
Y )  =  f )
32 ssrest 17155 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  ( UFil `  X )  /\  f  C_  u )  ->  (
ft 
Y )  C_  (
ut 
Y ) )
3324, 20, 32syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  (
ft 
Y )  C_  (
ut 
Y ) )
3431, 33eqsstr3d 3319 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  f  C_  ( ut  Y ) )
35 sseq2 3306 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( ut  Y )  ->  ( f  C_  g 
<->  f  C_  ( ut  Y
) ) )
3635rspcev 2988 . . . . 5  |-  ( ( ( ut  Y )  e.  (
UFil `  Y )  /\  f  C_  ( ut  Y ) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
)
3728, 34, 36syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  /\  ( u  e.  ( UFil `  X
)  /\  ( X filGen f )  C_  u
) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
)
3815, 37rexlimddv 2770 . . 3  |-  ( ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  /\  f  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  E. g  e.  ( UFil `  Y ) f 
C_  g )
3938ralrimiva 2725 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  A. f  e.  ( Fil `  Y
) E. g  e.  ( UFil `  Y
) f  C_  g
)
40 ssexg 4283 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  X  /\  X  e. UFL )  ->  Y  e.  _V )
4140ancoms 440 . . 3  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e.  _V )
42 isufl 17859 . . 3  |-  ( Y  e.  _V  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  Y ) E. g  e.  (
UFil `  Y )
f  C_  g )
)
4341, 42syl 16 . 2  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  ( Y  e. UFL  <->  A. f  e.  ( Fil `  Y ) E. g  e.  (
UFil `  Y )
f  C_  g )
)
4439, 43mpbird 224 1  |-  ( ( X  e. UFL  /\  Y  C_  X )  ->  Y  e. UFL )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E.wrex 2643   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   ↾t crest 13568   fBascfbas 16608   filGencfg 16609   Filcfil 17791   UFilcufil 17845  UFLcufl 17846
This theorem is referenced by:  ufldom  17908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-rest 13570  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-fil 17792  df-ufil 17847  df-ufl 17848
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