Theorem stadd 10111

Description: If the sum of 2 states is 2, then each state is 1.

Hypotheses

Ref	Expression
stle.1	|- A e. CH
stle.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
stadd	|- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) = 2 -> (S` A) = 1))

Proof of Theorem stadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 5934	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
2		ltnet 5496	. . . . . . 7 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ 2 e. RR /\ ((S` A) + (S` B)) < 2) -> 2 =/= ((S` A) + (S` B)))
3	1, 2	mp3an2 902	. . . . . 6 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ ((S` A) + (S` B)) < 2) -> 2 =/= ((S` A) + (S` B)))
4	3	necomd 1634	. . . . 5 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ ((S` A) + (S` B)) < 2) -> ((S` A) + (S` B)) =/= 2)
5		axaddrcl 5252	. . . . . 6 |- (((S` A) e. RR /\ (S` B) e. RR) -> ((S` A) + (S` B)) e. RR)
6		stle.1	. . . . . . 7 |- A e. CH
7		stclt 10081	. . . . . . 7 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) e. RR))
8	6, 7	mpi 44	. . . . . 6 |- (S e. States -> (S` A) e. RR)
9		stle.2	. . . . . . 7 |- B e. CH
10		stclt 10081	. . . . . . 7 |- (S e. States -> (B e. CH -> (S` B) e. RR))
11	9, 10	mpi 44	. . . . . 6 |- (S e. States -> (S` B) e. RR)
12	5, 8, 11	sylanc 471	. . . . 5 |- (S e. States -> ((S` A) + (S` B)) e. RR)
13	4, 12	sylan 448	. . . 4 |- ((S e. States /\ ((S` A) + (S` B)) < 2) -> ((S` A) + (S` B)) =/= 2)
14	13	ex 373	. . 3 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) < 2 -> ((S` A) + (S` B)) =/= 2))
15	14	necon2bd 1612	. 2 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) = 2 -> -. ((S` A) + (S` B)) < 2))
16		stle1t 10090	. . . . . . . . . 10 |- (S e. States -> (B e. CH -> (S` B) <_ 1))
17	9, 16	mpi 44	. . . . . . . . 9 |- (S e. States -> (S` B) <_ 1)
18		leadd2t 5608	. . . . . . . . . 10 |- (((S` B) e. RR /\ 1 e. RR /\ (S` A) e. RR) -> ((S` B) <_ 1 <-> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1)))
19		1re 5415	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
20	19	a1i 8	. . . . . . . . . 10 |- (S e. States -> 1 e. RR)
21	18, 11, 20, 8	syl3anc 857	. . . . . . . . 9 |- (S e. States -> ((S` B) <_ 1 <-> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1)))
22	17, 21	mpbid 195	. . . . . . . 8 |- (S e. States -> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1))
23	22	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1))
24		ltadd1t 5605	. . . . . . . . . 10 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) < 1 <-> ((S` A) + 1) < (1 + 1)))
25	24	biimpd 153	. . . . . . . . 9 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) < 1 -> ((S` A) + 1) < (1 + 1)))
26	25, 8, 20, 20	syl3anc 857	. . . . . . . 8 |- (S e. States -> ((S` A) < 1 -> ((S` A) + 1) < (1 + 1)))
27	26	imp 350	. . . . . . 7 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + 1) < (1 + 1))
28		lelttrt 5504	. . . . . . . . 9 |- ((((S` A) + (S` B)) e. RR /\ ((S` A) + 1) e. RR /\ (1 + 1) e. RR) -> ((((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1) /\ ((S` A) + 1) < (1 + 1)) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1)))
29	8, 19	jctir 293	. . . . . . . . . 10 |- (S e. States -> ((S` A) e. RR /\ 1 e. RR))
30		axaddrcl 5252	. . . . . . . . . 10 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) + 1) e. RR)
31	29, 30	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (S e. States -> ((S` A) + 1) e. RR)
32	19, 19	readdcl 5314	. . . . . . . . . 10 |- (1 + 1) e. RR
33	32	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (S e. States -> (1 + 1) e. RR)
34	28, 12, 31, 33	syl3anc 857	. . . . . . . 8 |- (S e. States -> ((((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1) /\ ((S` A) + 1) < (1 + 1)) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1)))
35	34	adantr 389	. . . . . . 7 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((((S` A) + (S` B)) <_ ((S` A) + 1) /\ ((S` A) + 1) < (1 + 1)) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1)))
36	23, 27, 35	mp2and 702	. . . . . 6 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + (S` B)) < (1 + 1))
37		df-2 5925	. . . . . 6 |- 2 = (1 + 1)
38	36, 37	syl6breqr 2650	. . . . 5 |- ((S e. States /\ (S` A) < 1) -> ((S` A) + (S` B)) < 2)
39	38	ex 373	. . . 4 |- (S e. States -> ((S` A) < 1 -> ((S` A) + (S` B)) < 2))
40	39	con3d 95	. . 3 |- (S e. States -> (-. ((S` A) + (S` B)) < 2 -> -. (S` A) < 1))
41		stle1t 10090	. . . . . 6 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) <_ 1))
42	6, 41	mpi 44	. . . . 5 |- (S e. States -> (S` A) <_ 1)
43		leloet 5499	. . . . . 6 |- (((S` A) e. RR /\ 1 e. RR) -> ((S` A) <_ 1 <-> ((S` A) < 1 \/ (S` A) = 1)))
44	29, 43	syl 10	. . . . 5 |- (S e. States -> ((S` A) <_ 1 <-> ((S` A) < 1 \/ (S` A) = 1)))
45	42, 44	mpbid 195	. . . 4 |- (S e. States -> ((S` A) < 1 \/ (S` A) = 1))
46	45	ord 232	. . 3 |- (S e. States -> (-. (S` A) < 1 -> (S` A) = 1))
47	40, 46	syld 27	. 2 |- (S e. States -> (-. ((S` A) + (S` B)) < 2 -> (S` A) = 1))
48	15, 47	syld 27	1 |- (S e. States -> (((S` A) + (S` B)) = 2 -> (S` A) = 1))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   <_ cle 5275   < clt 5466  2c2 5916  CHcch 8737  Statescst 8770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-2 5925  df-sh 9015  df-ch 9031  df-st 10077

Copyright terms: Public domain