Theorem stclt 10134

Description: Real closure of the value of a state.

Assertion

Ref	Expression
stclt	|- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) e. RR))

Proof of Theorem stclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelrn 3811	. . 3 |- ((S:CH-->RR /\ A e. CH) -> (S` A) e. RR)
2		stelt 10132	. . . . 5 |- (S e. States <-> ((S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)) /\ ((S` H~) = 1 /\ A.x e. CH A.y e. CH (x (_ (_|_` y) -> (S` (x vH y)) = ((S` x) + (S` y))))))
3	2	pm3.26bi 322	. . . 4 |- (S e. States -> (S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)))
4	3	pm3.26d 321	. . 3 |- (S e. States -> S:CH-->RR)
5	1, 4	sylan 448	. 2 |- ((S e. States /\ A e. CH) -> (S` A) e. RR)
6	5	ex 373	1 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) e. RR))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644   (_ wss 2045   class class class wbr 2616  -->wf 3175  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  RRcr 5220  0cc0 5221  1c1 5222   + caddc 5224   <_ cle 5282  H~chil 8772  CHcch 8782  _|_cort 8783   vH chj 8786  Statescst 8815

This theorem is referenced by:  sto2 10155  stge1 10156  stle0 10157  stle 10158  stles 10159  stadd 10164  stadd3 10166  strlem6 10174  golem1 10189  stcltrlem1 10194

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-hilex 8853

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-sh 9064  df-ch 9080  df-st 10130

Copyright terms: Public domain