Theorem stcltr2 10158

Description: Property of a strong classical state.

Hypotheses

Ref	Expression
stcltr1.1	|- (ph <-> (S e. States /\ A.x e. CH A.y e. CH (((S` x) = 1 -> (S` y) = 1) -> x (_ y)))
stcltr1.2	|- A e. CH

Assertion

Ref	Expression
stcltr2	|- (ph -> ((S` A) = 1 -> A = H~))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,S,y

Proof of Theorem stcltr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stcltr1.1	. . . 4 |- (ph <-> (S e. States /\ A.x e. CH A.y e. CH (((S` x) = 1 -> (S` y) = 1) -> x (_ y)))
2		helch 9071	. . . 4 |- H~ e. CH
3		stcltr1.2	. . . 4 |- A e. CH
4	1, 2, 3	stcltr1 10157	. . 3 |- (ph -> (((S` H~) = 1 -> (S` A) = 1) -> H~ (_ A))
5		ax-1 4	. . 3 |- ((S` A) = 1 -> ((S` H~) = 1 -> (S` A) = 1))
6	4, 5	syl5 21	. 2 |- (ph -> ((S` A) = 1 -> H~ (_ A))
7		eqss 2074	. . 3 |- (A = H~ <-> (A (_ H~ /\ H~ (_ A))
8	3	chssi 9056	. . 3 |- A (_ H~
9	7, 8	mpbiran 727	. 2 |- (A = H~ <-> H~ (_ A)
10	6, 9	syl6ibr 213	1 |- (ph -> ((S` A) = 1 -> A = H~))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643   (_ wss 2044  ` cfv 3178  1c1 5218  H~chil 8743  CHcch 8753  Statescst 8786

This theorem is referenced by:  stcltrlem1 10159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-hilex 8824  ax-hfvadd 8825  ax-hv0cl 8828  ax-hfvmul 8830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-opr 3960  df-hlim 8796  df-sh 9031  df-ch 9047

Copyright terms: Public domain