Theorem stge0t 10151

Description: The value of a state is nonnegative.

Assertion

Ref	Expression
stge0t	|- (S e. States -> (A e. CH -> 0 <_ (S` A)))

Proof of Theorem stge0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3724	. . . 4 |- (x = A -> (S` x) = (S` A))
2	1	breq2d 2630	. . 3 |- (x = A -> (0 <_ (S` x) <-> 0 <_ (S` A)))
3	2	rcla4v 1873	. 2 |- (A e. CH -> (A.x e. CH 0 <_ (S` x) -> 0 <_ (S` A)))
4		stelt 10141	. . . . 5 |- (S e. States <-> ((S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)) /\ ((S` H~) = 1 /\ A.x e. CH A.y e. CH (x (_ (_|_` y) -> (S` (x vH y)) = ((S` x) + (S` y))))))
5	4	pm3.26bi 322	. . . 4 |- (S e. States -> (S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)))
6	5	pm3.27d 325	. . 3 |- (S e. States -> A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1))
7		pm3.26 319	. . . 4 |- ((0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1) -> 0 <_ (S` x))
8	7	r19.20si 1706	. . 3 |- (A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1) -> A.x e. CH 0 <_ (S` x))
9	6, 8	syl 10	. 2 |- (S e. States -> A.x e. CH 0 <_ (S` x))
10	3, 9	syl5com 52	1 |- (S e. States -> (A e. CH -> 0 <_ (S` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   <_ cle 5295  H~chil 8788  CHcch 8798  _|_cort 8799   vH chj 8802  Statescst 8831

This theorem is referenced by:  stle0 10166

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-sh 9076  df-ch 9092  df-st 10139

Copyright terms: Public domain