Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem1 Structured version   Unicode version

Theorem stirlinglem1 27801
Description: A simple limit of fractions is computed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem1.1  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem1.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem1.4  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )

Proof of Theorem stirlinglem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10523 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10313 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
32a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  ZZ )
4 stirlinglem1.4 . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )
5 ax-1cn 9050 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
6 divcnv 12635 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0
84, 7eqbrtri 4233 . . . . . . . 8  |-  L  ~~>  0
98a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  L  ~~>  0 )
10 stirlinglem1.3 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
11 nnex 10008 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
1211mptex 5968 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
1310, 12eqeltri 2508 . . . . . . . 8  |-  G  e. 
_V
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  G  e.  _V )
154a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  L  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) )
16 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
1716oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  n
)  =  ( 1  /  k ) )
18 id 21 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
19 nnrp 10623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2019rpreccld 10660 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
2115, 17, 18, 20fvmptd 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
22 nnrecre 10038 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
2321, 22eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2423adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( L `  k )  e.  RR )
2510a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
2616oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
2726oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
2827oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
29 2re 10071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR )
31 nnre 10009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
3230, 31remulcld 9118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR )
33 0le1 9553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  <_  1
34 1re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
35 1lt2 10144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <  2
3634, 29, 35ltleii 9198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <_  2
37 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
3837, 34, 29letri 9204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  <_  1  /\  1  <_  2 )  -> 
0  <_  2 )
3933, 36, 38mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  2
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  2 )
4119rpge0d 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  k )
4230, 31, 40, 41mulge0d 9605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 2  x.  k
) )
4332, 42ge0p1rpd 10676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR+ )
4443rpreccld 10660 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR+ )
4525, 28, 18, 44fvmptd 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
4644rpred 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  RR )
4745, 46eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4847adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  RR )
4934a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  RR )
5033a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  1 )
5132, 49readdcld 9117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  RR )
52 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
5352mulid2d 9108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  =  k )
5435a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  1  <  2 )
5549, 30, 19, 54ltmul1dd 10701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  x.  k )  <  ( 2  x.  k ) )
5653, 55eqbrtrrd 4236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( 2  x.  k
) )
5732ltp1d 9943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5831, 32, 51, 56, 57lttrd 9233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
5931, 51, 58ltled 9223 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  <_  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
6019, 43, 49, 50, 59lediv2ad 10672 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )
6160, 45, 213brtr4d 4244 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
6261adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  <_  ( L `  k
) )
6344rpge0d 10654 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
6463, 45breqtrrd 4240 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <_  ( G `  k
) )
6564adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  ( G `  k
) )
661, 3, 9, 14, 24, 48, 62, 65climsqz2 12437 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  G  ~~>  0 )
675a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
68 stirlinglem1.2 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
6911mptex 5968 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
7068, 69eqeltri 2508 . . . . . . 7  |-  F  e. 
_V
7170a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  F  e.  _V )
7248recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `  k )  e.  CC )
7368a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) ) )
7428oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
755a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  1  e.  CC )
76 2cn 10072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
7877, 52mulcld 9110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
7978, 75addcld 9109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  e.  CC )
8043rpne0d 10655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  k
)  +  1 )  =/=  0 )
8179, 80reccld 9785 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
8275, 81subcld 9413 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
8373, 74, 18, 82fvmptd 5812 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
8445eqcomd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( G `  k ) )
8584oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8683, 85eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
8786adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  =  ( 1  -  ( G `  k
) ) )
881, 3, 66, 67, 71, 72, 87climsubc2 12434 . . . . 5  |-  (  T. 
->  F  ~~>  ( 1  -  0 ) )
895subid1i 9374 . . . . 5  |-  ( 1  -  0 )  =  1
9088, 89syl6breq 4253 . . . 4  |-  (  T. 
->  F  ~~>  1 )
9167halfcld 10214 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
92 stirlinglem1.1 . . . . . 6  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
9311mptex 5968 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  _V
9492, 93eqeltri 2508 . . . . 5  |-  H  e. 
_V
9594a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  H  e.  _V )
9683, 82eqeltrd 2512 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  CC )
9796adantl 454 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
98 nncn 10010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
9998sqcld 11523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
10099mulid2d 9108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  x.  ( n ^ 2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
101100eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( 1  x.  ( n ^ 2 ) ) )
10276a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
103102, 98mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
1045a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
10598, 103, 104adddid 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( ( n  x.  ( 2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) ) )
10698, 102, 98mul12d 9277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n  x.  n
) ) )
10798sqvald 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( n  x.  n ) )
108107eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  n )  =  ( n ^
2 ) )
109108oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
110106, 109eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( 2  x.  n ) )  =  ( 2  x.  ( n ^ 2 ) ) )
11198mulid1d 9107 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
112110, 111oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  x.  (
2  x.  n ) )  +  ( n  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  n ) )
113 2ne0 10085 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
11598, 102, 114divcan2d 9794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
116115eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) )
117116oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
11898halfcld 10214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  CC )
119102, 99, 118adddid 9114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( n ^
2 ) )  +  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
120117, 119eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
n ^ 2 ) )  +  n )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
121105, 112, 1203eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
122101, 121oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
12399, 118addcld 9109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  CC )
124 nnrp 10623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
125 2z 10314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  ZZ
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
127124, 126rpexpcld 11548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  RR+ )
128124rphalfcld 10662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  2 )  e.  RR+ )
129127, 128rpaddcld 10665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  e.  RR+ )
130129rpne0d 10655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  =/=  0 )
131104, 102, 99, 123, 114, 130divmuldivd 9833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( n ^
2 ) )  / 
( 2  x.  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
13299, 118pncand 9414 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  /  2 ) )  =  ( n ^
2 ) )
133132eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  =  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) )  -  ( n  /  2
) ) )
134133oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  -  ( n  / 
2 ) )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
135123, 118, 123, 130divsubdird 9831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  -  (
n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) )  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
136123, 130dividd 9790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  1 )
137136oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) )  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
138134, 135, 1373eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( ( n  / 
2 )  /  (
( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) ) )
139 nnne0 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
140102, 98, 139divcld 9792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  e.  CC )
141102, 98, 114, 139divne0d 9808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  /  n )  =/=  0 )
142118, 123, 140, 130, 141divcan5rd 9819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( n  /  2 )  / 
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) ) ) )
14398, 102, 139, 114divcan6d 9811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  x.  ( 2  /  n ) )  =  1 )
14499, 118, 140adddird 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( ( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  +  ( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) ) ) )
14599, 102, 98, 139div12d 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  ( ( n ^
2 )  /  n
) ) )
146 2m1e1 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  -  1 )  =  1
147146eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  1  =  ( 2  -  1 )
148147oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n ^ 1 )  =  ( n ^ (
2  -  1 ) )
14998exp1d 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 1 )  =  n )
15098, 139, 126expm1d 11535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ ( 2  -  1 ) )  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
151148, 149, 1503eqtr3a 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )
152151eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  n )  =  n )
153152oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  ( ( n ^ 2 )  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
154145, 153eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( 2  x.  n ) )
155154, 143oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  x.  (
2  /  n ) )  +  ( ( n  /  2 )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
156144, 155eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n ^
2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
157143, 156oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( n  / 
2 )  x.  (
2  /  n ) )  /  ( ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2 ) )  x.  ( 2  /  n ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
158142, 157eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
159158oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  -  ( ( n  /  2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
160138, 159eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
161160oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( ( n ^ 2 )  +  ( n  /  2
) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
162122, 131, 1613eqtr2d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
163162mpteq2ia 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
16492, 163eqtri 2458 . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
165164a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) ) )
16674oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  (
1  -  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
16775halfcld 10214 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
168167, 82mulcld 9110 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
169165, 166, 18, 168fvmptd 5812 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
17083oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( F `
 k ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( 1  -  (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
171169, 170eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
172171adantl 454 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  k  e.  NN )  ->  ( H `  k )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( F `  k
) ) )
1731, 3, 90, 91, 95, 97, 172climmulc2 12432 . . 3  |-  (  T. 
->  H  ~~>  ( (
1  /  2 )  x.  1 ) )
174173trud 1333 . 2  |-  H  ~~>  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )
17576, 113reccli 9746 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
176175mulid1i 9094 . 2  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  1 )  =  ( 1  /  2
)
177174, 176breqtri 4237 1  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    T. wtru 1326    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   _Vcvv 2958   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   ZZcz 10284   RR+crp 10614   ^cexp 11384    ~~> cli 12280
This theorem is referenced by:  stirlinglem15  27815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285
  Copyright terms: Public domain W3C validator