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Theorem stirlinglem15 27940
Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 27941 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1  |-  F/ n ph
stirlinglem15.2  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.3  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem15.4  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
stirlinglem15.5  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
stirlinglem15.6  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
stirlinglem15.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
stirlinglem15.8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
stirlinglem15.9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
stirlinglem15.10  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Distinct variable group:    C, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    D( n)    S( n)    E( n)    F( n)    H( n)    V( n)

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3  |-  F/ n ph
2 nnnn0 9988 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
4 2cn 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
54a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
6 pire 19848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
76recni 8865 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
87a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  CC )
95, 8mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  CC )
10 nncn 9770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
1110adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
129, 11mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  pi )  x.  n )  e.  CC )
1312sqrcld 11935 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  e.  CC )
14 ere 12386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
1514recni 8865 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  CC
1615a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
17 epos 12501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  _e
1814gt0ne0i 9324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  _e  ->  _e  =/=  0 )
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  =/=  0
2019a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
2110, 16, 20divcld 9552 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  CC )
2221, 2expcld 11261 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2322adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  e.  CC )
2413, 23mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
253, 24jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN0  /\  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC ) )
26 stirlinglem15.2 . . . . . . 7  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2726fvmpt2 5624 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )  -> 
( S `  n
)  =  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
2825, 27syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S `
 n )  =  ( ( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
2928oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
( 2  x.  pi )  x.  n )
)  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
30 2re 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
3130a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
326a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  pi  e.  RR )
3331, 32remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
34 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
35 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
3635nngt0i 9795 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
3734, 30, 36ltleii 8957 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  2
3837a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
2 )
39 pipos 19849 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  pi
4034, 6pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )
41 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( 0  <  pi  ->  0  <_  pi )
)
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <  pi  ->  0  <_  pi )
4339, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
4443a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  pi )
4531, 32, 38, 44mulge0d 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 2  x.  pi ) )
463nn0red 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR )
473nn0ge0d 10037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  0  <_  n )
4833, 45, 46, 47sqrmuld 11923 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  (
2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n ) ) )
4931, 38, 32, 44sqrmuld 11923 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) ) )
5049oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) ) )
515sqrcld 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  2 )  e.  CC )
528sqrcld 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  e.  CC )
5311sqrcld 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
5451, 52, 53mulassd 8874 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
5551, 52, 53mul12d 9037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) ) )
5631, 38, 46, 47sqrmuld 11923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  2
)  x.  ( sqr `  n ) ) )
5756eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )
5857oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  2 )  x.  ( sqr `  n
) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
5955, 58eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  2 )  x.  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  n ) ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) ) )
6050, 54, 593eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  pi ) )  x.  ( sqr `  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
6148, 60eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) ) )
6261oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n ) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )
6362oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
644a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  CC )
6564, 10mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
6665sqrcld 11935 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
6766adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  e.  CC )
6852, 67, 23mulassd 8874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
69 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
7069rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
71 sqrsq 11771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )  -> 
( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  C )
7372eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  =  ( sqr `  ( C ^ 2 ) ) )
7469rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
7574sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
76 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
7776a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
7877halfcld 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
794a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
8034a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8136a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  0  <  2 )
8280, 81ltned 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  =/=  2 )
8382necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
8479, 83recne0d 9546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
8575, 78, 84divcan4d 9558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( C ^ 2 ) )
8685eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2 ) )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
87 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
88 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) ) )
8987, 88nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n F
90 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
91 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
9290, 91nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n H
93 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
94 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n ) )  x.  ( ( ! `
 n ) ^
4 ) )  / 
( ( ! `  ( 2  x.  n
) ) ^ 2 ) )  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) )
9593, 94nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n V
96 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
97 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
9897a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
99 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
100 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
10199, 100nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n A
102 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  D  =  ( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
103 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
( n  e.  NN  |->  ( A `  ( 2  x.  n ) ) )
104102, 103nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ n D
105 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ! `
 n )  e.  NN )
1062, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
107106nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  RR+ )
108 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  2  e.  RR+
109108a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
110 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
111109, 110rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR+ )
112111rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
113 epr 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  _e  e.  RR+
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  _e  e.  RR+ )
115110, 114rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  e.  RR+ )
116 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
117115, 116rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  e.  RR+ )
118112, 117rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  RR+ )
119107, 118rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+ )
120119rgen 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  A. n  e.  NN  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  RR+
12199fmpt 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A. n  e.  NN  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  RR+  <->  A : NN --> RR+ )
122120, 121mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A : NN
--> RR+
123122a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A : NN --> RR+ )
124 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n ) ^ 4 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `
 n ) ^
4 ) )
125 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )
126 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN )
127122a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  A : NN --> RR+ )
12835a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  NN )
129128, 126nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  NN )
130127, 129ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )
131126, 130jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ ) )
132102fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  RR+ )  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =  ( A `  ( 2  x.  n
) ) )
134133, 130eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  RR+ )
135134adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  e.  RR+ )
136 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A  ~~>  C )
1371, 101, 104, 102, 123, 87, 124, 125, 135, 69, 136stirlinglem8 27933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  ~~>  ( C ^
2 ) )
138 nnex 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  NN  e.  _V
139138mptex 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( 2 ^ ( 4  x.  n
) )  x.  (
( ! `  n
) ^ 4 ) )  /  ( ( ! `  ( 2  x.  n ) ) ^ 2 ) )  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  _V
14093, 139eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  V  e. 
_V
141140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
142 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  -  ( 1  /  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
143 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  / 
( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )
144 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
14590, 142, 143, 144stirlinglem1 27926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  H  ~~>  ( 1  /  2 )
146145a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  H  ~~>  ( 1  / 
2 ) )
147106nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  NN  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
14866, 22mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  e.  CC )
14934a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  e.  NN  ->  0  e.  RR )
150111sqrgt0d 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
151149, 150ltned 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  NN  ->  0  =/=  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )
152151necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  =/=  0 )
153 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
15410, 16, 153, 20divne0d 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  /  _e )  =/=  0 )
15521, 154, 116expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
15666, 22, 152, 155mulne0d 9436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =/=  0 )
157147, 148, 156divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC )
158126, 157jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC ) )
15999fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  e.  CC )  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) ) )
160158, 159syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  =  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
161160, 157eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  n )  e.  CC )
162 4nn0 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  4  e.  NN0
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  4  e.  NN0 )
164161, 163expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( A `  n
) ^ 4 )  e.  CC )
165134rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
166165sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
167134rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  =/=  0 )
168 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  e.  ZZ
169168a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  2  e.  ZZ )
170165, 167, 169expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
171164, 166, 170divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
172126, 171jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  CC ) )
17387fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
174172, 173syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) ) )
175133, 165eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A `  ( 2  x.  n ) )  e.  CC )
176133, 175eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  ( D `  n )  e.  CC )
177176sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  e.  CC )
178176, 167, 169expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( D `  n
) ^ 2 )  =/=  0 )
179164, 177, 178divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( A `  n ) ^ 4 )  /  ( ( D `  n ) ^ 2 ) )  e.  CC )
180174, 179eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( F `  n )  e.  CC )
181180adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
18210sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n ^ 2 )  e.  CC )
18376a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
18465, 183addcld 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  e.  CC )
18510, 184mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  e.  CC )
186129nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2  x.  n )  e.  RR )
187 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  1  e.  RR
188187a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  RR )
189129nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( 2  x.  n
) )
190 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  <  1
191190a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  1 )
192186, 188, 189, 191addgt0d 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
193149, 192ltned 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  ->  0  =/=  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )
194193necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2  x.  n
)  +  1 )  =/=  0 )
19510, 184, 153, 194mulne0d 9436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) )  =/=  0 )
196182, 185, 195divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )
197126, 196jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC ) )
19890fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) )  e.  CC )  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )
199197, 198syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  =  ( ( n ^ 2 )  / 
( n  x.  (
( 2  x.  n
)  +  1 ) ) ) )
200199, 196eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( H `  n )  e.  CC )
201200adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( H `
 n )  e.  CC )
202171, 196mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
203126, 202jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC ) )
204 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  E  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )
20599, 102, 204, 93stirlinglem3 27928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  V  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
206205fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( ( A `  n ) ^ 4 )  / 
( ( D `  n ) ^ 2 ) )  x.  (
( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  e.  CC )  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
207203, 206syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
208174, 199oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  x.  ( H `
 n ) )  =  ( ( ( ( A `  n
) ^ 4 )  /  ( ( D `
 n ) ^
2 ) )  x.  ( ( n ^
2 )  /  (
n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) ) )
209208eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ( A `
 n ) ^
4 )  /  (
( D `  n
) ^ 2 ) )  x.  ( ( n ^ 2 )  /  ( n  x.  ( ( 2  x.  n )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( F `
 n )  x.  ( H `  n
) ) )
210207, 209eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( V `  n )  =  ( ( F `
 n )  x.  ( H `  n
) ) )
211210adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( V `
 n )  =  ( ( F `  n )  x.  ( H `  n )
) )
2121, 89, 92, 95, 96, 98, 137, 141, 146, 181, 201, 211climmulf 27833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) ) )
21393wallispi2 27925 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  V  ~~>  ( pi 
/  2 )
214212, 213jctir 524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  / 
2 ) )  /\  V 
~~>  ( pi  /  2
) ) )
215 climuni 12042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  ~~>  ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /\  V  ~~>  ( pi  /  2
) )  ->  (
( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( pi  / 
2 ) )
216214, 215syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  x.  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  2 ) )
217216oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( C ^ 2 )  x.  ( 1  /  2
) )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( ( pi  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) ) )
2187a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  pi  e.  CC )
219190a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
22080, 219ltned 8971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  =/=  1 )
221220necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  =/=  0 )
222218, 77, 79, 221, 83divcan7d 9580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  ( pi 
/  1 ) )
223218div1d 9544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( pi  /  1
)  =  pi )
224222, 223eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( pi  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )  =  pi )
22586, 217, 2243eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  pi )
226225fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( C ^ 2 ) )  =  ( sqr `  pi ) )
22773, 226eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =  ( sqr `  pi ) )
228227eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
229228adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  pi )  =  C )
230229oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  pi )  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
23174adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
232148adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  e.  CC )
233231, 232mulcomd 8872 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
23468, 230, 2333eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  ( 2  x.  n
) ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) )
235234oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  pi )  x.  ( sqr `  (
2  x.  n ) ) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  x.  C ) ) )
236147adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ! `
 n )  e.  CC )
237152adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  =/=  0
)
23815a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  e.  CC )
23919a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  _e  =/=  0 )
24011, 238, 239divcld 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  e.  CC )
241153adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
24211, 238, 241, 239divne0d 9568 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  /  _e )  =/=  0 )
243116adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
244240, 242, 243expne0d 11267 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =/=  0 )
24567, 23, 237, 244mulne0d 9436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  =/=  0 )
24669rpne0d 10411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
247246adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
248236, 232, 231, 245, 247divdiv1d 9583 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  x.  C ) ) )
249248eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) )  x.  C ) )  =  ( ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  /  C ) )
25063, 235, 2493eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( ( 2  x.  pi )  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C ) )
251158adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  /\  (
( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  e.  CC ) )
252251, 159syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  =  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) )
253252eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n
) )  x.  (
( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( A `
 n ) )
254253oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( ! `  n
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^
n ) ) )  /  C )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
25529, 250, 2543eqtrd 2332 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n ) )  =  ( ( A `  n )  /  C
) )
2561, 255mpteq2da 4121 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n
)  /  C ) ) )
257161adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e.  CC )
258257, 231, 247divrec2d 9556 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( A `  n )  /  C )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )
2591, 258mpteq2da 4121 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) )
26074, 246reccld 9545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
261138mptex 5762 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  e.  _V
262261a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  e.  _V )
26399a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  A  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `
 n )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) ) ) )
264 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  n  =  k )
265264fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ! `  n
)  =  ( ! `
 k ) )
266264oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( 2  x.  n
)  =  ( 2  x.  k ) )
267266fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( sqr `  (
2  x.  n ) )  =  ( sqr `  ( 2  x.  k
) ) )
268264oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( n  /  _e )  =  ( k  /  _e ) )
269268, 264oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( n  /  _e ) ^ n )  =  ( ( k  /  _e ) ^
k ) )
270267, 269oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) )  =  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) )
271265, 270oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN  /\  n  =  k )  ->  ( ( ! `  n )  /  (
( sqr `  (
2  x.  n ) )  x.  ( ( n  /  _e ) ^ n ) ) )  =  ( ( ! `  k )  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k
) )  x.  (
( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
272 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
273 nnnn0 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
274 faccl 11314 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
275 nncn 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ! `  k )  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
276273, 274, 2753syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ! `  k )  e.  CC )
2774a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
278 nncn 9770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
279277, 278mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  CC )
280279sqrcld 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  e.  CC )
28115a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  e.  CC )
28219a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  _e  =/=  0 )
283278, 281, 282divcld 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  e.  CC )
284283, 273expcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  e.  CC )
285280, 284mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  e.  CC )
28634a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  0  e.  RR )
287108a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  RR+ )
288 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
289287, 288rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  x.  k )  e.  RR+ )
290289sqrgt0d 11911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
291286, 290ltned 8971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  0  =/=  ( sqr `  (
2  x.  k ) ) )
292291necomd 2542 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  =/=  0 )
293 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
294278, 281, 293, 282divne0d 9568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  /  _e )  =/=  0 )
295 nnz 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
296283, 294, 295expne0d 11267 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  _e ) ^ k )  =/=  0 )
297280, 284, 292, 296mulne0d 9436 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) )  =/=  0 )
298276, 285, 297divcld 9552 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ! `  k
)  /  ( ( sqr `  ( 2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^
k ) ) )  e.  CC )
299263, 271, 272, 298fvmptd 5622 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  =  ( ( ! `
 k )  / 
( ( sqr `  (
2  x.  k ) )  x.  ( ( k  /  _e ) ^ k ) ) ) )
300299, 298eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( A `  k )  e.  CC )
301300adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A `
 k )  e.  CC )
302 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
)
303 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
1
304 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  /
305 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n C
306303, 304, 305nfov 5897 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( 1  /  C
)
307 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  x.
308 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
k
309101, 308nffv 5548 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( A `  k
)
310306, 307, 309nfov 5897 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)
311 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
312311oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
313302, 310, 312cbvmpt 4126 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
314313a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) ) )
315314fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k ) )
316 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
31774adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
318246adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
319317, 318reccld 9545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  C )  e.  CC )
320319, 301mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) )  e.  CC )
321316, 320jca 518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  e.  NN  /\  (
( 1  /  C
)  x.  ( A `
 k ) )  e.  CC ) )
322 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
323322fvmpt2 5624 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k ) ) ) `
 k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k )
) )
324321, 323syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 k ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
325315, 324eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C
)  x.  ( A `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  k
) ) )
32696, 98, 136, 260, 262, 301, 325climmulc2 12126 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  ( ( 1  /  C )  x.  C ) )
32774, 246recid2d 9548 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  C )  x.  C
)  =  1 )
328326, 327breqtrd 4063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( 1  /  C )  x.  ( A `  n )
) )  ~~>  1 )
329259, 328eqbrtrd 4059 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( A `  n )  /  C
) )  ~~>  1 )
330256, 329eqbrtrd 4059 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ! `  n )  /  ( S `  n )
) )  ~~>  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   4c4 9813   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   RR+crp 10370   ^cexp 11120   !cfa 11304   sqrcsqr 11734    ~~> cli 11974   _eceu 12360   picpi 12364
This theorem is referenced by:  stirling  27941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-itg2 18993  df-ibl 18994  df-itg 18995  df-0p 19041  df-limc 19232  df-dv 19233
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