Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem15 Unicode version

Theorem stirlinglem15 27940
 Description: The Stirling's formula is proven using a number of local definitions. The main theorem stirling 27941 will use this final lemma, but it will not expose the local definitions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem15.1
stirlinglem15.2
stirlinglem15.3
stirlinglem15.4
stirlinglem15.5
stirlinglem15.6
stirlinglem15.7
stirlinglem15.8
stirlinglem15.9
stirlinglem15.10
Assertion
Ref Expression
stirlinglem15
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem15
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stirlinglem15.1 . . 3
2 nnnn0 9988 . . . . . . . 8
32adantl 452 . . . . . . 7
4 2cn 9832 . . . . . . . . . . . 12
54a1i 10 . . . . . . . . . . 11
6 pire 19848 . . . . . . . . . . . . 13
76recni 8865 . . . . . . . . . . . 12
87a1i 10 . . . . . . . . . . 11
95, 8mulcld 8871 . . . . . . . . . 10
10 nncn 9770 . . . . . . . . . . 11
1110adantl 452 . . . . . . . . . 10
129, 11mulcld 8871 . . . . . . . . 9
1312sqrcld 11935 . . . . . . . 8
14 ere 12386 . . . . . . . . . . . . 13
1514recni 8865 . . . . . . . . . . . 12
1615a1i 10 . . . . . . . . . . 11
17 epos 12501 . . . . . . . . . . . . 13
1814gt0ne0i 9324 . . . . . . . . . . . . 13
1917, 18ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
2019a1i 10 . . . . . . . . . . 11
2110, 16, 20divcld 9552 . . . . . . . . . 10
2221, 2expcld 11261 . . . . . . . . 9
2322adantl 452 . . . . . . . 8
2413, 23mulcld 8871 . . . . . . 7
253, 24jca 518 . . . . . 6
26 stirlinglem15.2 . . . . . . 7
2726fvmpt2 5624 . . . . . 6
2825, 27syl 15 . . . . 5
2928oveq2d 5890 . . . 4
30 2re 9831 . . . . . . . . . . 11
3130a1i 10 . . . . . . . . . 10
326a1i 10 . . . . . . . . . 10
3331, 32remulcld 8879 . . . . . . . . 9
34 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12
35 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . 13
3635nngt0i 9795 . . . . . . . . . . . 12
3734, 30, 36ltleii 8957 . . . . . . . . . . 11
3837a1i 10 . . . . . . . . . 10
39 pipos 19849 . . . . . . . . . . . 12
4034, 6pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . 13
41 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
4339, 42ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
4443a1i 10 . . . . . . . . . 10
4531, 32, 38, 44mulge0d 9365 . . . . . . . . 9
463nn0red 10035 . . . . . . . . 9
473nn0ge0d 10037 . . . . . . . . 9
4833, 45, 46, 47sqrmuld 11923 . . . . . . . 8
4931, 38, 32, 44sqrmuld 11923 . . . . . . . . . 10
5049oveq1d 5889 . . . . . . . . 9
515sqrcld 11935 . . . . . . . . . 10
528sqrcld 11935 . . . . . . . . . 10
5311sqrcld 11935 . . . . . . . . . 10
5451, 52, 53mulassd 8874 . . . . . . . . 9
5551, 52, 53mul12d 9037 . . . . . . . . . 10
5631, 38, 46, 47sqrmuld 11923 . . . . . . . . . . . 12
5756eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11
5857oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
5955, 58eqtrd 2328 . . . . . . . . 9
6050, 54, 593eqtrd 2332 . . . . . . . 8
6148, 60eqtrd 2328 . . . . . . 7
6261oveq1d 5889 . . . . . 6
6362oveq2d 5890 . . . . 5
644a1i 10 . . . . . . . . . . 11
6564, 10mulcld 8871 . . . . . . . . . 10
6665sqrcld 11935 . . . . . . . . 9
6766adantl 452 . . . . . . . 8
6852, 67, 23mulassd 8874 . . . . . . 7
69 stirlinglem15.9 . . . . . . . . . . . . . 14
7069rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . 13
71 sqrsq 11771 . . . . . . . . . . . . 13
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . 12
7372eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11
7469rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7776a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877halfcld 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15
794a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8034a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8136a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8280, 81ltned 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8382necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8479, 83recne0d 9546 . . . . . . . . . . . . . . 15
8575, 78, 84divcan4d 9558 . . . . . . . . . . . . . 14
8685eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13
87 stirlinglem15.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8987, 88nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 stirlinglem15.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
91 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9290, 91nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
93 stirlinglem15.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
94 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9593, 94nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
96 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
97 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9897a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
99 stirlinglem15.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
100 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10199, 100nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 stirlinglem15.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104102, 103nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105 faccl 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1062, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
107106nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
108 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
109108a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
110 nnrp 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
111109, 110rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
112111rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
113 epr 12502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
114113a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
115110, 114rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
116 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
117115, 116rpexpcld 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
118112, 117rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
119107, 118rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
120119rgen 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12199fmpt 5697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
122120, 121mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123122a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
127122a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12835a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
129128, 126nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
130127, 129ffvelrnd 5682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
131126, 130jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
132102fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
134133, 130eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
135134adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136 stirlinglem15.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1371, 101, 104, 102, 123, 87, 124, 125, 135, 69, 136stirlinglem8 27933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138 nnex 9768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
139138mptex 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14093, 139eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
141140a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14590, 142, 143, 144stirlinglem1 27926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146145a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147106nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
14866, 22mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
14934a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
150111sqrgt0d 11911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
151149, 150ltned 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
152151necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
153 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15410, 16, 153, 20divne0d 9568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
15521, 154, 116expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
15666, 22, 152, 155mulne0d 9436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
157147, 148, 156divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
158126, 157jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
15999fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
160158, 159syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
161160, 157eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
162 4nn0 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
163162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
164161, 163expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
165134rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
166165sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
167134rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
168 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
169168a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
170165, 167, 169expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
171164, 166, 170divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
172126, 171jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
17387fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
174172, 173syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
175133, 165eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
176133, 175eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
177176sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
178176, 167, 169expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
179164, 177, 178divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
180174, 179eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
181180adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18210sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
18376a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
18465, 183addcld 8870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
18510, 184mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
186129nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
187 1re 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
188187a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
189129nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
190 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
191190a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
192186, 188, 189, 191addgt0d 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
193149, 192ltned 8971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
194193necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19510, 184, 153, 194mulne0d 9436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
196182, 185, 195divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
197126, 196jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
19890fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
199197, 198syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
200199, 196eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
201200adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
202171, 196mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
203126, 202jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
204 stirlinglem15.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
20599, 102, 204, 93stirlinglem3 27928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
206205fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
207203, 206syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
208174, 199oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
209208eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
210207, 209eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
211210adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2121, 89, 92, 95, 96, 98, 137, 141, 146, 181, 201, 211climmulf 27833 . . . . . . . . . . . . . . . 16
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