Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem5 Unicode version

Theorem stirlinglem5 27930
 Description: If is between and , then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1
stirlinglem5.2
stirlinglem5.3
stirlinglem5.4
stirlinglem5.5
stirlinglem5.6
stirlinglem5.7
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . . . 5
2 1z 10069 . . . . . 6
32a1i 10 . . . . 5
4 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9
54a1i 10 . . . . . . . 8
6 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . 15
76a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
87negcld 9160 . . . . . . . . . . . . 13
9 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . 14
109adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
118, 10expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12
12 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . 13
1312adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
14 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1514rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15
1615recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
18 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
2017, 19expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12
21 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . 13
2221adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
2311, 13, 20, 22div32d 9575 . . . . . . . . . . 11
2423eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10
257, 17pncan2d 9175 . . . . . . . . . . . . 13
2625eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12
2726oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11
2827oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
29 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10
3024, 28, 293eqtrd 2332 . . . . . . . . 9
3130mpteq2dva 4122 . . . . . . . 8
325, 31eqtrd 2328 . . . . . . 7
3332seqeq3d 11070 . . . . . 6
346a1i 10 . . . . . . . . . . 11
3534, 16addcld 8870 . . . . . . . . . . 11
3634, 35jca 518 . . . . . . . . . 10
37 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
3837cnmetdval 18296 . . . . . . . . . 10
3936, 38syl 15 . . . . . . . . 9
4034, 34, 16subsub4d 9204 . . . . . . . . . . . . 13
4140eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12
42 1m1e0 9830 . . . . . . . . . . . . . 14
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
4443oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12
45 df-neg 9056 . . . . . . . . . . . . . 14
4645eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . 13
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
4841, 44, 473eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11
4948fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10
5016absnegd 11947 . . . . . . . . . . 11
51 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11
5250, 51eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10
5349, 52eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9
5439, 53eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8
55 cnxmet 18298 . . . . . . . . . . 11
5655a1i 10 . . . . . . . . . 10
57 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12
5857a1i 10 . . . . . . . . . . 11
5958rexrd 8897 . . . . . . . . . 10
6056, 59, 36jca31 520 . . . . . . . . 9
61 elbl2 17966 . . . . . . . . 9
6260, 61syl 15 . . . . . . . 8
6354, 62mpbird 223 . . . . . . 7
64 eqid 2296 . . . . . . . 8
6564logtayl2 20025 . . . . . . 7
6663, 65syl 15 . . . . . 6
6733, 66eqbrtrd 4059 . . . . 5
68 seqex 11064 . . . . . 6
6968a1i 10 . . . . 5
70 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8
7170a1i 10 . . . . . . 7
7271seqeq3d 11070 . . . . . 6
7316, 51jca 518 . . . . . . 7
74 logtayl 20023 . . . . . . 7
7573, 74syl 15 . . . . . 6
7672, 75eqbrtrd 4059 . . . . 5
77 simpr 447 . . . . . . 7
7877, 1syl6eleq 2386 . . . . . 6
794a1i 10 . . . . . . . 8
80 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11
8180oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
82 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11
83 id 19 . . . . . . . . . . 11
8482, 83oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10
8581, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . 9
8685adantl 452 . . . . . . . 8
87 elfznn 10835 . . . . . . . . 9
8887adantl 452 . . . . . . . 8
896a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
9089negcld 9160 . . . . . . . . . . 11
91 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . 11
9290, 91expcld 11261 . . . . . . . . . 10
9388, 92syl 15 . . . . . . . . 9
9416adantr 451 . . . . . . . . . . . 12
9594adantr 451 . . . . . . . . . . 11
9688nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11
9795, 96expcld 11261 . . . . . . . . . 10
9888nncnd 9778 . . . . . . . . . 10
9988nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10
10097, 98, 99divcld 9552 . . . . . . . . 9
10193, 100mulcld 8871 . . . . . . . 8
10279, 86, 88, 101fvmptd 5622 . . . . . . 7
103102, 101eqeltrd 2370 . . . . . 6
104 addcl 8835 . . . . . . 7
105104adantl 452 . . . . . 6
10678, 103, 105seqcl 11082 . . . . 5
10770a1i 10 . . . . . . . 8
10884adantl 452 . . . . . . . 8
109107, 108, 88, 100fvmptd 5622 . . . . . . 7
110109, 100eqeltrd 2370 . . . . . 6
11178, 110, 105seqcl 11082 . . . . 5
112 simpll 730 . . . . . . . 8
113112, 88jca 518 . . . . . . 7
114 stirlinglem5.3 . . . . . . . . . 10
115114a1i 10 . . . . . . . . 9
11685, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10
117116adantl 452 . . . . . . . . 9
118 simpr 447 . . . . . . . . 9
11992adantl 452 . . . . . . . . . . 11
12016adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
121118nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . 13
122120, 121expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12
123118nncnd 9778 . . . . . . . . . . . 12
124118nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . 12
125122, 123, 124divcld 9552 . . . . . . . . . . 11
126119, 125mulcld 8871 . . . . . . . . . 10
127126, 125addcld 8870 . . . . . . . . 9
128115, 117, 118, 127fvmptd 5622 . . . . . . . 8
129 eqidd 2297 . . . . . . . 8
1304a1i 10 . . . . . . . . . . 11
13185adantl 452 . . . . . . . . . . 11
132130, 131, 118, 126fvmptd 5622 . . . . . . . . . 10
133132eqcomd 2301 . . . . . . . . 9
13470a1i 10 . . . . . . . . . . 11
13584adantl 452 . . . . . . . . . . 11
136134, 135, 118, 125fvmptd 5622 . . . . . . . . . 10
137136eqcomd 2301 . . . . . . . . 9
138133, 137oveq12d 5892 . . . . . . . 8
139128, 129, 1383eqtrd 2332 . . . . . . 7
140113, 139syl 15 . . . . . 6
14178, 103, 110, 140seradd 11104 . . . . 5
1421, 3, 67, 69, 76, 106, 111, 141climadd 12121 . . . 4
143 1rp 10374 . . . . . . . . . . 11
144143a1i 10 . . . . . . . . . 10
145144, 14rpaddcld 10421 . . . . . . . . 9
146145rpne0d 10411 . . . . . . . 8
14735, 146logcld 19944 . . . . . . 7
14834, 16subcld 9173 . . . . . . . 8
14915, 58absltd 11928 . . . . . . . . . . . 12
15051, 149mpbid 201 . . . . . . . . . . 11
151150simprd 449 . . . . . . . . . 10
15215, 151gtned 8970 . . . . . . . . 9
15334, 16, 152subne0d 9182 . . . . . . . 8
154148, 153logcld 19944 . . . . . . 7
155147, 154negsubd 9179 . . . . . 6
156155eqcomd 2301 . . . . 5
157156eqcomd 2301 . . . 4
158142, 157breqtrd 4063 . . 3
159 nn0uz 10278 . . . 4
160 0z 10051 . . . . 5
161160a1i 10 . . . 4
162 2nn0 9998 . . . . . . . . . 10
163162a1i 10 . . . . . . . . 9
164 id 19 . . . . . . . . 9
165163, 164nn0mulcld 10039 . . . . . . . 8
166 nn0p1nn 10019 . . . . . . . 8
167165, 166syl 15 . . . . . . 7
168167rgen 2621 . . . . . 6
169 stirlinglem5.5 . . . . . . 7
170169fmpt 5697 . . . . . 6
171168, 170mpbi 199 . . . . 5
172171a1i 10 . . . 4
173 2re 9831 . . . . . . . . 9
174173a1i 10 . . . . . . . 8
175 nn0re 9990 . . . . . . . 8
176174, 175remulcld 8879 . . . . . . 7
17757a1i 10 . . . . . . . . 9
178175, 177readdcld 8878 . . . . . . . 8
179174, 178remulcld 8879 . . . . . . 7
180 2rp 10375 . . . . . . . . 9
181180a1i 10 . . . . . . . 8
182175ltp1d 9703 . . . . . . . 8
183175, 178, 181, 182ltmul2dd 10458 . . . . . . 7
184176, 179, 177, 183ltadd1dd 9399 . . . . . 6
185169a1i 10 . . . . . . 7
186 simpr 447 . . . . . . . . 9
187186oveq2d 5890 . . . . . . . 8
188187oveq1d 5889 . . . . . . 7
189 id 19 . . . . . . 7
190 2cn 9832 . . . . . . . . . 10
191190a1i 10 . . . . . . . . 9
192 nn0cn 9991 . . . . . . . . 9
193191, 192mulcld 8871 . . . . . . . 8
1946a1i 10 . . . . . . . 8
195193, 194addcld 8870 . . . . . . 7
196185, 188, 189, 195fvmptd 5622 . . . . . 6
197 simpr 447 . . . . . . . . 9
198197oveq2d 5890 . . . . . . . 8
199198oveq1d 5889 . . . . . . 7
200 peano2nn0 10020 . . . . . . 7
201192, 194addcld 8870 . . . . . . . . 9
202191, 201mulcld 8871 . . . . . . . 8
203202, 194addcld 8870 . . . . . . 7
204185, 199, 200, 203fvmptd 5622 . . . . . 6
205184, 196, 2043brtr4d 4069 . . . . 5
206205adantl 452 . . . 4
207 eldifi 3311 . . . . . . . 8
208207adantl 452 . . . . . . 7
2096a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
210209negcld 9160 . . . . . . . . . . 11
211207, 91syl 15 . . . . . . . . . . 11
212210, 211expcld 11261 . . . . . . . . . 10
213212adantl 452 . . . . . . . . 9
21416adantr 451 . . . . . . . . . . 11
215208nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11
216214, 215expcld 11261 . . . . . . . . . 10
217208nncnd 9778 . . . . . . . . . 10
218208nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10
219216, 217, 218divcld 9552 . . . . . . . . 9
220213, 219mulcld 8871 . . . . . . . 8
221220, 219addcld 8870 . . . . . . 7
222208, 221jca 518 . . . . . 6
223 nfcv 2432 . . . . . . 7
224 nfcv 2432 . . . . . . 7
225223, 224, 116, 114fvmptf 5632 . . . . . 6
226222, 225syl 15 . . . . 5
227 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . 13
228 0nn0 9996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
229 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
230162, 229num0h 10150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
231228, 230pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
232 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
233232oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
234233eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
235234rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
236231, 235ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
237169elrnmpt 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2386, 237ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
239236, 238mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16
240239a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
241 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15
242240, 241mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
243242con3i 127 . . . . . . . . . . . . 13
244227, 243syl 15 . . . . . . . . . . . 12
245 nn1m1nn 9782 . . . . . . . . . . . . . 14
246207, 245syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
247246ord 366 . . . . . . . . . . . 12
248244, 247mpd 14 . . . . . . . . . . 11
249 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
250 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
251169, 250nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
252251nfrn 4937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
253249, 252nfdif 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
254223, 253nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
255169elrnmpt 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
256207, 255syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
257227, 256mtbid 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
258 ralnex 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
259257, 258sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
260259r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
261260neneqad 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
262261necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
263262adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
264 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
265 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
266207ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
267264, 265, 266jca31 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
268173a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
269 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
270269zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
271268, 270remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
272 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
273272a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
27457a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
275190a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
276270recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
277275, 276mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
278 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
279278, 269jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
280 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
281 elnn0z 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
282280, 281sylnib 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
283 nan 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
284282, 283mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
285279, 284syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
286270, 273ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
287285, 286mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
288180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
289288rpregt0d 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
290270, 287, 289jca31 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
291 mulltgt0 27796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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293277, 292eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
294271, 273, 274, 293ltadd1dd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2956a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
296295addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
297294, 296breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
298271, 274readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
299298, 274ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
300297, 299mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
301 nnge1 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
302301con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
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304303adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
305 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
306 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
307305, 306eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
308307adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
309304, 308mtand 640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
310309neneqad 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
311267, 310syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
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314313ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
315254, 314ralrimi 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16
316 ralnex 2566 . . . . . . . . . . . . . . . 16
317315, 316sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15
318207nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . 16
319 odd2np1 12603 . . . . . . . . . . . . . . . 16
320318, 319syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
321317, 320mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . 14
322321notnotrd 105 . . . . . . . . . . . . 13
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324323, 209npcand 9177 . . . . . . . . . . . . . 14
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332 oexpneg 12606 . . . . . . . . . 10
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350 stirlinglem5.4 . . . . . . 7
351350a1i 10 . . . . . 6
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358357oveq2d 5890 . . . . . 6
359 simpr 447 . . . . . 6
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367173a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
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371 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . 13
372371a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
373 1e0p1 10168 . . . . . . . . . . . . . 14
374373a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
375162nn0ge0i 10009 . . . . . . . . . . . . . . . 16
376375a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15
377359nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15
378367, 368, 376, 377mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . . . 14
379365, 369, 366, 378leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . . 13
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383382necomd 2542 . . . . . . . . 9
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406162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
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 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cdif 3162   class class class wbr 4039   cmpt 4093   crn 4706   ccom 4709  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053  cneg 9054   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cfz 10798   cseq 11062  cexp 11120  cabs 11735   cli 11974   cdivides 12547  cxmt 16385  cbl 16387  clog 19928 This theorem is referenced by:  stirlinglem6  27931 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ulm 19772  df-log 19930
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