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Theorem stirlinglem5 27930
Description: If  T is between  0 and  1, then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.2  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
stirlinglem5.3  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
stirlinglem5.4  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
stirlinglem5.5  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
stirlinglem5.6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
stirlinglem5.7  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, j    T, j
Allowed substitution hints:    D( j)    E( j)    F( j)    G( j)    H( j)

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables  i 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10279 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
32a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
54a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) ) ) )
6 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
76a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
87negcld 9160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  -u 1  e.  CC )
9 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  -  1 )  e.  NN0 )
109adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( j  -  1 )  e. 
NN0 )
118, 10expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  e.  CC )
12 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  CC )
1312adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  CC )
14 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
1514rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
1615recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1716adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
18 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  NN0 )
1918adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  e. 
NN0 )
2017, 19expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  e.  CC )
21 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  =/=  0 )
2221adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  j  =/=  0 )
2311, 13, 20, 22div32d 9575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
2423eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( T ^
j ) ) )
257, 17pncan2d 9175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( 1  +  T )  -  1 )  =  T )
2625eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  T  =  ( ( 1  +  T )  -  1 ) )
2726oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( T ^ j )  =  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) )
2827oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( T ^ j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
29 eqidd 2297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( ( ( 1  +  T
)  -  1 ) ^ j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
3024, 28, 293eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) )
3130mpteq2dva 4122 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  - 
1 ) ^ j
) ) ) )
325, 31eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  /  j
)  x.  ( ( ( 1  +  T
)  -  1 ) ^ j ) ) ) )
3332seqeq3d 11070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  D )  =  seq  1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) ) )
346a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3534, 16addcld 8870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  CC )
3634, 35jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T
)  e.  CC ) )
37 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3837cnmetdval 18296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T
)  e.  CC )  ->  ( 1 ( abs  o.  -  )
( 1  +  T
) )  =  ( abs `  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) ) )
3936, 38syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  =  ( abs `  ( 1  -  (
1  +  T ) ) ) )
4034, 34, 16subsub4d 9204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 1  -  ( 1  +  T ) ) )
4140eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
1  +  T ) )  =  ( ( 1  -  1 )  -  T ) )
42 1m1e0 9830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  1 )  =  0 )
4443oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  1 )  -  T
)  =  ( 0  -  T ) )
45 df-neg 9056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u T  =  ( 0  -  T )
4645eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  -  T )  = 
-u T
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  -  T
)  =  -u T
)
4841, 44, 473eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  -  (
1  +  T ) )  =  -u T
)
4948fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  =  ( abs `  -u T ) )
5016absnegd 11947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  =  ( abs `  T ) )
51 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  T
)  <  1 )
5250, 51eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u T
)  <  1 )
5349, 52eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( 1  +  T ) ) )  <  1 )
5439, 53eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1 ( abs 
o.  -  ) (
1  +  T ) )  <  1 )
55 cnxmet 18298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
5655a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
57 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
5857a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
5958rexrd 8897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR* )
6056, 59, 36jca31 520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T )  e.  CC ) ) )
61 elbl2 17966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  1  e.  RR* )  /\  ( 1  e.  CC  /\  ( 1  +  T )  e.  CC ) )  -> 
( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
6260, 61syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  <->  ( 1 ( abs  o.  -  ) ( 1  +  T ) )  <  1 ) )
6354, 62mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 ) )
64 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )  =  ( 1 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) 1 )
6564logtayl2 20025 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  T )  e.  ( 1 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) 1 )  ->  seq  1
(  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  / 
j )  x.  (
( ( 1  +  T )  -  1 ) ^ j ) ) ) )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
6663, 65syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( (
-u 1 ^ (
j  -  1 ) )  /  j )  x.  ( ( ( 1  +  T )  -  1 ) ^
j ) ) ) )  ~~>  ( log `  (
1  +  T ) ) )
6733, 66eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  D )  ~~>  ( log `  ( 1  +  T
) ) )
68 seqex 11064 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  F
)  e.  _V
6968a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  e. 
_V )
70 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8  |-  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) )
7170a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  /  j ) ) )
7271seqeq3d 11070 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  E )  =  seq  1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
7316, 51jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T  e.  CC  /\  ( abs `  T
)  <  1 ) )
74 logtayl 20023 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  CC  /\  ( abs `  T )  <  1 )  ->  seq  1 (  +  , 
( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
7573, 74syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )  ~~> 
-u ( log `  (
1  -  T ) ) )
7672, 75eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  E )  ~~>  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )
77 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
7877, 1syl6eleq 2386 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
794a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) ) )
80 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  (
j  -  1 )  =  ( n  - 
1 ) )
8180oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) ) )
82 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  ( T ^ j )  =  ( T ^ n
) )
83 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  n  ->  j  =  n )
8482, 83oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
8581, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
8685adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( -u 1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
87 elfznn 10835 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
8887adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN )
896a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  1  e.  CC )
9089negcld 9160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
91 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
9290, 91expcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
9388, 92syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
9416adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
9594adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  T  e.  CC )
9688nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  NN0 )
9795, 96expcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
9888nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  e.  CC )
9988nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  n  =/=  0 )
10097, 98, 99divcld 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
10193, 100mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
10279, 86, 88, 101fvmptd 5622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
103102, 101eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( D `  n )  e.  CC )
104 addcl 8835 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  CC  /\  i  e.  CC )  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
105104adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
n  e.  CC  /\  i  e.  CC )
)  ->  ( n  +  i )  e.  CC )
10678, 103, 105seqcl 11082 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  D ) `  k
)  e.  CC )
10770a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^ j )  / 
j ) ) )
10884adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  (
1 ... k ) )  /\  j  =  n )  ->  ( ( T ^ j )  / 
j )  =  ( ( T ^ n
)  /  n ) )
109107, 108, 88, 100fvmptd 5622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
110109, 100eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( E `  n )  e.  CC )
11178, 110, 105seqcl 11082 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  E ) `  k
)  e.  CC )
112 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ph )
113112, 88jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( ph  /\  n  e.  NN ) )
114 stirlinglem5.3 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
115114a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
11685, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  n  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
117116adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  +  ( ( T ^ j
)  /  j ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
118 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
11992adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
12016adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  T  e.  CC )
121118nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e. 
NN0 )
122120, 121expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
123118nncnd 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
124118nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
125122, 123, 124divcld 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  e.  CC )
126119, 125mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
127126, 125addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
128115, 117, 118, 127fvmptd 5622 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
129 eqidd 2297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
1304a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  D  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
13185adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  /  j ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
132130, 131, 118, 126fvmptd 5622 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( D `
 n )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
133132eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( D `  n ) )
13470a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( T ^
j )  /  j
) ) )
13584adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  j  =  n )  ->  (
( T ^ j
)  /  j )  =  ( ( T ^ n )  /  n ) )
136134, 135, 118, 125fvmptd 5622 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( E `
 n )  =  ( ( T ^
n )  /  n
) )
137136eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( T ^ n )  /  n )  =  ( E `  n
) )
138133, 137oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
139128, 129, 1383eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  =  ( ( D `  n )  +  ( E `  n ) ) )
140113, 139syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( D `
 n )  +  ( E `  n
) ) )
14178, 103, 110, 140seradd 11104 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  k
)  =  ( (  seq  1 (  +  ,  D ) `  k )  +  (  seq  1 (  +  ,  E ) `  k ) ) )
1421, 3, 67, 69, 76, 106, 111, 141climadd 12121 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  +  -u ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
143 1rp 10374 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
144143a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
145144, 14rpaddcld 10421 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  e.  RR+ )
146145rpne0d 10411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  T
)  =/=  0 )
14735, 146logcld 19944 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  +  T ) )  e.  CC )
14834, 16subcld 9173 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  CC )
14915, 58absltd 11928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  T
)  <  1  <->  ( -u 1  <  T  /\  T  <  1 ) ) )
15051, 149mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u 1  < 
T  /\  T  <  1 ) )
151150simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  <  1 )
15215, 151gtned 8970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  =/=  T )
15334, 16, 152subne0d 9182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  =/=  0 )
154148, 153logcld 19944 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( log `  (
1  -  T ) )  e.  CC )
155147, 154negsubd 9179 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
1  +  T ) )  +  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) )
156155eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
1  +  T ) )  -  ( log `  ( 1  -  T
) ) )  =  ( ( log `  (
1  +  T ) )  +  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) ) )
157156eqcomd 2301 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
1  +  T ) )  +  -u ( log `  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) )
158142, 157breqtrd 4063 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
159 nn0uz 10278 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
160 0z 10051 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
161160a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
162 2nn0 9998 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN0
163162a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
164 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN0  ->  j  e. 
NN0 )
165163, 164nn0mulcld 10039 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( 2  x.  j )  e. 
NN0 )
166 nn0p1nn 10019 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  x.  j )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
167165, 166syl 15 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
168167rgen 2621 . . . . . 6  |-  A. j  e.  NN0  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN
169 stirlinglem5.5 . . . . . . 7  |-  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
170169fmpt 5697 . . . . . 6  |-  ( A. j  e.  NN0  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN  <->  G : NN0 --> NN )
171168, 170mpbi 199 . . . . 5  |-  G : NN0
--> NN
172171a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : NN0 --> NN )
173 2re 9831 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
174173a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
175 nn0re 9990 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
176174, 175remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
17757a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  RR )
178175, 177readdcld 8878 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
179174, 178remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
180 2rp 10375 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
181180a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  RR+ )
182175ltp1d 9703 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  < 
( k  +  1 ) )
183175, 178, 181, 182ltmul2dd 10458 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  < 
( 2  x.  (
k  +  1 ) ) )
184176, 179, 177, 183ltadd1dd 9399 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  < 
( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
185169a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  G  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
186 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  j  =  k )
187186oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
188187oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  k )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
189 id 19 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e. 
NN0 )
190 2cn 9832 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
191190a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e.  CC )
192 nn0cn 9991 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  CC )
193191, 192mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
1946a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
195193, 194addcld 8870 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
196185, 188, 189, 195fvmptd 5622 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
197 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  j  =  ( k  +  1 ) )
198197oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( 2  x.  ( k  +  1 ) ) )
199198oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  j  =  ( k  +  1 ) )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  (
k  +  1 ) )  +  1 ) )
200 peano2nn0 10020 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
201192, 194addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  CC )
202191, 201mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
203202, 194addcld 8870 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 )  e.  CC )
204185, 199, 200, 203fvmptd 5622 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( k  +  1 ) )  +  1 ) )
205184, 196, 2043brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  < 
( G `  (
k  +  1 ) ) )
206205adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  <  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
207 eldifi 3311 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  NN )
208207adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN )
2096a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  1  e.  CC )
210209negcld 9160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u 1  e.  CC )
211207, 91syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
212210, 211expcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
213212adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  e.  CC )
21416adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  T  e.  CC )
215208nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  NN0 )
216214, 215expcld 11261 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( T ^ n )  e.  CC )
217208nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  e.  CC )
218208nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  n  =/=  0 )
219216, 217, 218divcld 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
220213, 219mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  e.  CC )
221220, 219addcld 8870 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  e.  CC )
222208, 221jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
n  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) )  e.  CC ) )
223 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ j
n
224 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ j
( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) )
225223, 224, 116, 114fvmptf 5632 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ( -u
1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^
n )  /  n
) )  e.  CC )  ->  ( F `  n )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) ) )
226222, 225syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  ( ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
227 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  e.  ran  G )
228 0nn0 9996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  NN0
229 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  NN0
230162, 229num0h 10150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 )
231228, 230pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  NN0  /\  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
232 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  0  ->  (
2  x.  j )  =  ( 2  x.  0 ) )
233232oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  0  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) )
234233eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  0  ->  (
1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  1  =  ( ( 2  x.  0 )  +  1 ) ) )
235234rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  1  =  ( (
2  x.  0 )  +  1 ) )  ->  E. j  e.  NN0  1  =  ( (
2  x.  j )  +  1 ) )
236231, 235ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 )
237169elrnmpt 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
2386, 237ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  1  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
239236, 238mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ran  G
240239a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  1  e.  ran  G )
241 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  ran  G  <->  1  e.  ran  G ) )
242240, 241mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  n  e.  ran  G )
243242con3i 127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  n  e.  ran  G  ->  -.  n  =  1 )
244227, 243syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  n  =  1 )
245 nn1m1nn 9782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
246207, 245syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  =  1  \/  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
247246ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  n  =  1  ->  ( n  -  1 )  e.  NN ) )
248244, 247mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  NN )
249 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j NN
250 nfmpt1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ j
( j  e.  NN0  |->  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
251169, 250nfcxfr 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ j G
252251nfrn 4937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ j ran  G
253249, 252nfdif 3310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ j
( NN  \  ran  G )
254223, 253nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ j  n  e.  ( NN 
\  ran  G )
255169elrnmpt 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
256207, 255syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  e.  ran  G  <->  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )
257227, 256mtbid 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
258 ralnex 2566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <->  -.  E. j  e.  NN0  n  =  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
259257, 258sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  NN0  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
260259r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  -.  n  =  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
261260neneqad 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  n  =/=  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )
262261necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
263262adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
264 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
265 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
266207ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN )
267264, 265, 266jca31 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  (
( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN ) )
268173a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
269 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  ZZ )
270269zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  RR )
271268, 270remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  e.  RR )
272 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  0  e.  RR
273272a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
27457a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
275190a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
276270recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  e.  CC )
277275, 276mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  =  ( j  x.  2 ) )
278 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 ) )
279278, 269jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )
)
280 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  j  e.  NN0 )
281 elnn0z 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( j  e.  NN0  <->  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
282280, 281sylnib 295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )
283 nan 563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( j  e.  ZZ  /\  0  <_ 
j ) )  <->  ( (
( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j ) )
284282, 283mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  0  <_  j )
285279, 284syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  0  <_  j )
286270, 273ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  <  0  <->  -.  0  <_  j ) )
287285, 286mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  j  <  0
)
288180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR+ )
289288rpregt0d 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
290270, 287, 289jca31 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( j  e.  RR  /\  j  <  0 )  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) ) )
291 mulltgt0 27796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( j  e.  RR  /\  j  <  0 )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( j  x.  2 )  <  0 )
292290, 291syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( j  x.  2 )  <  0
)
293277, 292eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  j )  <  0
)
294271, 273, 274, 293ltadd1dd 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  (
0  +  1 ) )
2956a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
296295addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  1 )  =  1 )
297294, 296breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1
)
298271, 274readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  RR )
299298, 274ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  ( ( ( 2  x.  j )  +  1 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) ) )
300297, 299mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  1  <_  ( ( 2  x.  j
)  +  1 ) )
301 nnge1 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( 2  x.  j
)  +  1 )  e.  NN  ->  1  <_  ( ( 2  x.  j )  +  1 ) )
302301con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  1  <_  ( (
2  x.  j )  +  1 )  ->  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
303300, 302syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
304303adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
305 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
306 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  n  e.  NN )
307305, 306eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
308307adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( j  e.  ZZ  /\  -.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  /\  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  e.  NN )
309304, 308mtand 640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
310309neneqad 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( j  e.  ZZ  /\ 
-.  j  e.  NN0 )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
311267, 310syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( n  e.  ( NN  \  ran  G
)  /\  j  e.  ZZ )  /\  -.  j  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =/=  n )
312263, 311pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =/=  n
)
313312neneqd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( NN 
\  ran  G )  /\  j  e.  ZZ )  ->  -.  ( (
2  x.  j )  +  1 )  =  n )
314313ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
j  e.  ZZ  ->  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
315254, 314ralrimi 2637 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
316 ralnex 2566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. j  e.  ZZ  -.  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n  <->  -.  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n )
317315, 316sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  E. j  e.  ZZ  (
( 2  x.  j
)  +  1 )  =  n )
318207nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  ZZ )
319 odd2np1 12603 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
320318, 319syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  n  <->  E. j  e.  ZZ  ( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  n ) )
321317, 320mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  -.  2  ||  n )
322321notnotrd 105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  n )
323207nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  e.  CC )
324323, 209npcand 9177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
( n  -  1 )  +  1 )  =  n )
325324eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  n  =  ( ( n  -  1 )  +  1 ) )
326322, 325breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) )
327211nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
n  -  1 )  e.  ZZ )
328 oddp1even 12605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
329327, 328syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -.  2  ||  ( n  -  1 )  <->  2  ||  ( ( n  - 
1 )  +  1 ) ) )
330326, 329mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -.  2  ||  ( n  - 
1 ) )
331209, 248, 3303jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
1  e.  CC  /\  ( n  -  1
)  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( n  -  1 ) ) )
332 oexpneg 12606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( n  -  1
)  e.  NN  /\  -.  2  ||  ( n  -  1 ) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  = 
-u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
333331, 332syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u ( 1 ^ ( n  -  1 ) ) )
334 1exp 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  -  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
335327, 334syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  1 )
336335negeqd 9062 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  -u (
1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
337333, 336eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( NN  \  ran  G )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
338337adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  =  -u 1 )
339338oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) ) )
340339oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
n )  /  n
) )  +  ( ( T ^ n
)  /  n ) )  =  ( (
-u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
341219mulm1d 9247 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u 1  x.  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  -u ( ( T ^ n )  /  n ) )
342341oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( -u (
( T ^ n
)  /  n )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
343219negcld 9160 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  -u (
( T ^ n
)  /  n )  e.  CC )
344343, 219addcomd 9030 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u ( ( T ^
n )  /  n
)  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  ( ( ( T ^ n )  /  n )  + 
-u ( ( T ^ n )  /  n ) ) )
345219negidd 9163 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( ( T ^
n )  /  n
)  +  -u (
( T ^ n
)  /  n ) )  =  0 )
346344, 345eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( -u ( ( T ^
n )  /  n
)  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  0 )
347342, 346eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  (
( -u 1  x.  (
( T ^ n
)  /  n ) )  +  ( ( T ^ n )  /  n ) )  =  0 )
348226, 340, 3473eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( NN  \  ran  G
) )  ->  ( F `  n )  =  0 )
349128, 127eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  CC )
350 stirlinglem5.4 . . . . . . 7  |-  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) )
351350a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  H  =  ( j  e.  NN0  |->  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) ) ) )
352 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
j  =  k )
353352oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  j
)  =  ( 2  x.  k ) )
354353oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 2  x.  j )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
355354oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
356354oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( T ^ (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
357355, 356oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( ( 1  / 
( ( 2  x.  j )  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) )  =  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )
358357oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  -> 
( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  j
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  j )  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) ) )
359 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
360190a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  CC )
361359, 192syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
362360, 361mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  CC )
3636a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
364362, 363addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  CC )
365272a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
36657a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
367173a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  RR )
368359, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  RR )
369367, 368remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e.  RR )
370369, 366readdcld 8878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  RR )
371 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
372371a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  1 )
373 1e0p1 10168 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 0  +  1 )
374373a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  =  ( 0  +  1 ) )
375162nn0ge0i 10009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  2
376375a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  2 )
377359nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  k )
378367, 368, 376, 377mulge0d 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( 2  x.  k ) )
379365, 369, 366, 378leadd1dd 9402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 0  +  1 )  <_ 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
380374, 379eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  <_  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
381365, 366, 370, 372, 380ltletrd 8992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
382365, 381ltned 8971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  =/=  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
383382necomd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  =/=  0 )
384364, 383reccld 9545 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
38516adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  T  e.  CC )
386162a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  2  e.  NN0 )
387386, 359nn0mulcld 10039 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
388229a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN0 )
389387, 388nn0addcld 10038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
390385, 389expcld 11261 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
391384, 390mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
392360, 391mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
393351, 358, 359, 392fvmptd 5622 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
394114a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  F  =  ( j  e.  NN  |->  ( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) ) ) )
395 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
396395oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( j  -  1 )  =  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )
397396oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( -u 1 ^ (
j  -  1 ) )  =  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) ) )
398395oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( T ^ j
)  =  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
399398, 395oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( T ^
j )  /  j
)  =  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
400397, 399oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
401400, 399oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  -> 
( ( ( -u
1 ^ ( j  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ j )  / 
j ) )  +  ( ( T ^
j )  /  j
) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
402 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  x.  k )  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
403387, 402syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
2  x.  k )  +  1 )  e.  NN )
404194negcld 9160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  -u 1  e.  CC )
405193, 194pncand 9174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
406162a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  2  e. 
NN0 )
407406, 189nn0mulcld 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( 2  x.  k )  e. 
NN0 )
408405, 407eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  e. 
NN0 )
409404, 408expcld 11261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  e.  CC )
410409adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  e.  CC )
411390, 364, 383divcld 9552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  e.  CC )
412410, 411mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
413412, 411addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  e.  CC )
414394, 401, 403, 413fvmptd 5622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  x.  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
415359, 405syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  k
) )
416415oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k
) ) )
417 m1expeven 27828 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
418359, 417syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( 2  x.  k ) )  =  1 )
419416, 418eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k )  +  1 )  - 
1 ) )  =  1 )
420419oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 1  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
421411mulid2d 8869 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 1  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
422420, 421eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ ( ( ( 2  x.  k
)  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
423422oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
4244112timesd 9970 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
425424eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
426390, 364, 383divrec2d 9556 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( ( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) )
427426oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
428423, 425, 4273eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( (
( -u 1 ^ (
( ( 2  x.  k )  +  1 )  -  1 ) )  x.  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  +  ( ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  / 
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
429 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  x.  (
( 1  /  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) )  x.  ( T ^ ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
430414, 428, 4293eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^
( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) ) ) )
431430eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( 2  x.  ( ( 1  /  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  x.  ( T ^ (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) ) )  =  ( F `  (
( 2  x.  k
)  +  1 ) ) )
432229a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  e. 
NN0 )
433407, 432nn0addcld 10038 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( 2  x.  k )  +  1 )  e. 
NN0 )
434185, 188, 189, 433fvmptd 5622 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( G `
 k )  =  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )
435434adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( G `  k )  =  ( ( 2  x.  k
)  +  1 ) )
436435fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( G `  k
) )  =  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) ) )
437436eqcomd 2301 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( F `  ( ( 2  x.  k )  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `
 k ) ) )
438393, 431, 4373eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( H `  k )  =  ( F `  ( G `
 k ) ) )
439159, 1, 161, 3, 172, 206, 348, 349, 438isercoll2 12158 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  (
1  +  T ) )  -  ( log `  ( 1  -  T
) ) )  <->  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T
) )  -  ( log `  ( 1  -  T ) ) ) ) )
440158, 439mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
44158, 15resubcld 9227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR )
44216subidd 9161 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  =  0 )
443442eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  =  ( T  -  T ) )
44415, 58, 15, 151ltsub1dd 9400 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T  -  T
)  <  ( 1  -  T ) )
445443, 444eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  T ) )
446441, 445elrpd 10404 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  -  T
)  e.  RR+ )
447145, 446relogdivd 19993 . . 3  |-  ( ph  ->  ( log `  (
( 1  +  T
)  /  ( 1  -  T ) ) )  =  ( ( log `  ( 1  +  T ) )  -  ( log `  (
1  -  T ) ) ) )
448447eqcomd 2301 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( log `  (
1  +  T ) )  -  ( log `  ( 1  -  T
) ) )  =  ( log `  (
( 1  +  T
)  /  ( 1  -  T ) ) ) )
449440, 448breqtrd 4063 1  |-  ( ph  ->  seq  0 (  +  ,  H )  ~~>  ( log `  ( ( 1  +  T )  /  (
1  -  T ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735    ~~> cli 11974    || cdivides 12547   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   logclog 19928
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-ulm 19772  df-log 19930
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