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Theorem stirlinglem5 27804
 Description: If is between and , then a series (without alternating negative and positive terms) is given that converges to log (1+T)/(1-T) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stirlinglem5.1
stirlinglem5.2
stirlinglem5.3
stirlinglem5.4
stirlinglem5.5
stirlinglem5.6
stirlinglem5.7
Assertion
Ref Expression
stirlinglem5
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem stirlinglem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10522 . . . . 5
2 1z 10312 . . . . . 6
32a1i 11 . . . . 5
4 stirlinglem5.1 . . . . . . . . 9
54a1i 11 . . . . . . . 8
6 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . . . . 14
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
87negcld 9399 . . . . . . . . . . . 12
9 nnm1nn0 10262 . . . . . . . . . . . . 13
109adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
118, 10expcld 11524 . . . . . . . . . . 11
12 nncn 10009 . . . . . . . . . . . 12
1312adantl 454 . . . . . . . . . . 11
14 stirlinglem5.6 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514rpred 10649 . . . . . . . . . . . . . 14
1615recnd 9115 . . . . . . . . . . . . 13
1716adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
18 nnnn0 10229 . . . . . . . . . . . . 13
1918adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
2017, 19expcld 11524 . . . . . . . . . . 11
21 nnne0 10033 . . . . . . . . . . . 12
2221adantl 454 . . . . . . . . . . 11
2311, 13, 20, 22div32d 9814 . . . . . . . . . 10
247, 17pncan2d 9414 . . . . . . . . . . . . 13
2524eqcomd 2442 . . . . . . . . . . . 12
2625oveq1d 6097 . . . . . . . . . . 11
2726oveq2d 6098 . . . . . . . . . 10
2823, 27eqtr3d 2471 . . . . . . . . 9
2928mpteq2dva 4296 . . . . . . . 8
305, 29eqtrd 2469 . . . . . . 7
3130seqeq3d 11332 . . . . . 6
326a1i 11 . . . . . . . . . 10
3332, 16addcld 9108 . . . . . . . . . 10
34 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11
3534cnmetdval 18806 . . . . . . . . . 10
3632, 33, 35syl2anc 644 . . . . . . . . 9
37 1m1e0 10069 . . . . . . . . . . . . . 14
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
3938oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . 12
4032, 32, 16subsub4d 9443 . . . . . . . . . . . 12
41 df-neg 9295 . . . . . . . . . . . . . 14
4241eqcomi 2441 . . . . . . . . . . . . 13
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
4439, 40, 433eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . 11
4544fveq2d 5733 . . . . . . . . . 10
4616absnegd 12252 . . . . . . . . . . 11
47 stirlinglem5.7 . . . . . . . . . . 11
4846, 47eqbrtrd 4233 . . . . . . . . . 10
4945, 48eqbrtrd 4233 . . . . . . . . 9
5036, 49eqbrtrd 4233 . . . . . . . 8
51 cnxmet 18808 . . . . . . . . . 10
5251a1i 11 . . . . . . . . 9
53 1re 9091 . . . . . . . . . . 11
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10
5554rexrd 9135 . . . . . . . . 9
56 elbl2 18421 . . . . . . . . 9
5752, 55, 32, 33, 56syl22anc 1186 . . . . . . . 8
5850, 57mpbird 225 . . . . . . 7
59 eqid 2437 . . . . . . . 8
6059logtayl2 20554 . . . . . . 7
6158, 60syl 16 . . . . . 6
6231, 61eqbrtrd 4233 . . . . 5
63 seqex 11326 . . . . . 6
6463a1i 11 . . . . 5
65 stirlinglem5.2 . . . . . . . 8
6665a1i 11 . . . . . . 7
6766seqeq3d 11332 . . . . . 6
68 logtayl 20552 . . . . . . 7
6916, 47, 68syl2anc 644 . . . . . 6
7067, 69eqbrtrd 4233 . . . . 5
71 simpr 449 . . . . . . 7
7271, 1syl6eleq 2527 . . . . . 6
734a1i 11 . . . . . . . 8
74 oveq1 6089 . . . . . . . . . . 11
7574oveq2d 6098 . . . . . . . . . 10
76 oveq2 6090 . . . . . . . . . . 11
77 id 21 . . . . . . . . . . 11
7876, 77oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10
7975, 78oveq12d 6100 . . . . . . . . 9
8079adantl 454 . . . . . . . 8
81 elfznn 11081 . . . . . . . . 9
8281adantl 454 . . . . . . . 8
836a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
8483negcld 9399 . . . . . . . . . . 11
85 nnm1nn0 10262 . . . . . . . . . . 11
8684, 85expcld 11524 . . . . . . . . . 10
8782, 86syl 16 . . . . . . . . 9
8816ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11
8982nnnn0d 10275 . . . . . . . . . . 11
9088, 89expcld 11524 . . . . . . . . . 10
9182nncnd 10017 . . . . . . . . . 10
9282nnne0d 10045 . . . . . . . . . 10
9390, 91, 92divcld 9791 . . . . . . . . 9
9487, 93mulcld 9109 . . . . . . . 8
9573, 80, 82, 94fvmptd 5811 . . . . . . 7
9695, 94eqeltrd 2511 . . . . . 6
97 addcl 9073 . . . . . . 7
9897adantl 454 . . . . . 6
9972, 96, 98seqcl 11344 . . . . 5
10065a1i 11 . . . . . . . 8
10178adantl 454 . . . . . . . 8
102100, 101, 82, 93fvmptd 5811 . . . . . . 7
103102, 93eqeltrd 2511 . . . . . 6
10472, 103, 98seqcl 11344 . . . . 5
105 simpll 732 . . . . . . 7
106 stirlinglem5.3 . . . . . . . . . 10
107106a1i 11 . . . . . . . . 9
10879, 78oveq12d 6100 . . . . . . . . . 10
109108adantl 454 . . . . . . . . 9
110 simpr 449 . . . . . . . . 9
11186adantl 454 . . . . . . . . . . 11
11216adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
113110nnnn0d 10275 . . . . . . . . . . . . 13
114112, 113expcld 11524 . . . . . . . . . . . 12
115110nncnd 10017 . . . . . . . . . . . 12
116110nnne0d 10045 . . . . . . . . . . . 12
117114, 115, 116divcld 9791 . . . . . . . . . . 11
118111, 117mulcld 9109 . . . . . . . . . 10
119118, 117addcld 9108 . . . . . . . . 9
120107, 109, 110, 119fvmptd 5811 . . . . . . . 8
1214a1i 11 . . . . . . . . . . 11
12279adantl 454 . . . . . . . . . . 11
123121, 122, 110, 118fvmptd 5811 . . . . . . . . . 10
124123eqcomd 2442 . . . . . . . . 9
12565a1i 11 . . . . . . . . . . 11
12678adantl 454 . . . . . . . . . . 11
127125, 126, 110, 117fvmptd 5811 . . . . . . . . . 10
128127eqcomd 2442 . . . . . . . . 9
129124, 128oveq12d 6100 . . . . . . . 8
130120, 129eqtrd 2469 . . . . . . 7
131105, 82, 130syl2anc 644 . . . . . 6
13272, 96, 103, 131seradd 11366 . . . . 5
1331, 3, 62, 64, 70, 99, 104, 132climadd 12426 . . . 4
134 1rp 10617 . . . . . . . . 9
135134a1i 11 . . . . . . . 8
136135, 14rpaddcld 10664 . . . . . . 7
137136rpne0d 10654 . . . . . 6
13833, 137logcld 20469 . . . . 5
13932, 16subcld 9412 . . . . . 6
14015, 54absltd 12233 . . . . . . . . . 10
14147, 140mpbid 203 . . . . . . . . 9
142141simprd 451 . . . . . . . 8
14315, 142gtned 9209 . . . . . . 7
14432, 16, 143subne0d 9421 . . . . . 6
145139, 144logcld 20469 . . . . 5
146138, 145negsubd 9418 . . . 4
147133, 146breqtrd 4237 . . 3
148 nn0uz 10521 . . . 4
149 0z 10294 . . . . 5
150149a1i 11 . . . 4
151 stirlinglem5.5 . . . . . 6
152 2nn0 10239 . . . . . . . . 9
153152a1i 11 . . . . . . . 8
154 id 21 . . . . . . . 8
155153, 154nn0mulcld 10280 . . . . . . 7
156 nn0p1nn 10260 . . . . . . 7
157155, 156syl 16 . . . . . 6
158151, 157fmpti 5893 . . . . 5
159158a1i 11 . . . 4
160 2re 10070 . . . . . . . . 9
161160a1i 11 . . . . . . . 8
162 nn0re 10231 . . . . . . . 8
163161, 162remulcld 9117 . . . . . . 7
16453a1i 11 . . . . . . . . 9
165162, 164readdcld 9116 . . . . . . . 8
166161, 165remulcld 9117 . . . . . . 7
167 2rp 10618 . . . . . . . . 9
168167a1i 11 . . . . . . . 8
169162ltp1d 9942 . . . . . . . 8
170162, 165, 168, 169ltmul2dd 10701 . . . . . . 7
171163, 166, 164, 170ltadd1dd 9638 . . . . . 6
172151a1i 11 . . . . . . 7
173 simpr 449 . . . . . . . . 9
174173oveq2d 6098 . . . . . . . 8
175174oveq1d 6097 . . . . . . 7
176 id 21 . . . . . . 7
177 2cn 10071 . . . . . . . . . 10
178177a1i 11 . . . . . . . . 9
179 nn0cn 10232 . . . . . . . . 9
180178, 179mulcld 9109 . . . . . . . 8
1816a1i 11 . . . . . . . 8
182180, 181addcld 9108 . . . . . . 7
183172, 175, 176, 182fvmptd 5811 . . . . . 6
184 simpr 449 . . . . . . . . 9
185184oveq2d 6098 . . . . . . . 8
186185oveq1d 6097 . . . . . . 7
187 peano2nn0 10261 . . . . . . 7
188179, 181addcld 9108 . . . . . . . . 9
189178, 188mulcld 9109 . . . . . . . 8
190189, 181addcld 9108 . . . . . . 7
191172, 186, 187, 190fvmptd 5811 . . . . . 6
192171, 183, 1913brtr4d 4243 . . . . 5
193192adantl 454 . . . 4
194 eldifi 3470 . . . . . . 7
195194adantl 454 . . . . . 6
1966a1i 11 . . . . . . . . . . 11
197196negcld 9399 . . . . . . . . . 10
198194, 85syl 16 . . . . . . . . . 10
199197, 198expcld 11524 . . . . . . . . 9
200199adantl 454 . . . . . . . 8
20116adantr 453 . . . . . . . . . 10
202195nnnn0d 10275 . . . . . . . . . 10
203201, 202expcld 11524 . . . . . . . . 9
204195nncnd 10017 . . . . . . . . 9
205195nnne0d 10045 . . . . . . . . 9
206203, 204, 205divcld 9791 . . . . . . . 8
207200, 206mulcld 9109 . . . . . . 7
208207, 206addcld 9108 . . . . . 6
209108, 106fvmptg 5805 . . . . . 6
210195, 208, 209syl2anc 644 . . . . 5
211 eldifn 3471 . . . . . . . . . . . 12
212 0nn0 10237 . . . . . . . . . . . . . . . 16
213 1nn0 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
214152, 213num0h 10393 . . . . . . . . . . . . . . . 16
215 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
216215oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
217216eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
218217rspcev 3053 . . . . . . . . . . . . . . . 16
219212, 214, 218mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . 15
220151elrnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2216, 220ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15
222219, 221mpbir 202 . . . . . . . . . . . . . 14
223222a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
224 eleq1 2497 . . . . . . . . . . . . 13
225223, 224mpbird 225 . . . . . . . . . . . 12
226211, 225nsyl 116 . . . . . . . . . . 11
227 nn1m1nn 10021 . . . . . . . . . . . . 13
228194, 227syl 16 . . . . . . . . . . . 12
229228ord 368 . . . . . . . . . . 11
230226, 229mpd 15 . . . . . . . . . 10
231 nfcv 2573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
232 nfmpt1 4299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
233151, 232nfcxfr 2570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
234233nfrn 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
235231, 234nfdif 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
236235nfcri 2567 . . . . . . . . . . . . . . . 16
237151elrnmpt 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
238211, 237mtbid 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
239 ralnex 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
240238, 239sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
241240r19.21bi 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
242241neneqad 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
243242necomd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
244243adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
245 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
246 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
247194ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
248160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
249 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
250249zred 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
251248, 250remulcld 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
252 0re 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
253252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
255177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
256250recnd 9115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
257255, 256mulcomd 9110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
258 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
259 elnn0z 10295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
260258, 259sylnib 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
261 nan 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
262260, 261mpbi 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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264250, 253ltnled 9221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
265263, 264mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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268 mulltgt0 27670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
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278 nnge1 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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281 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
282 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600  wral 2706  wrex 2707  cvv 2957   cdif 3318   class class class wbr 4213   cmpt 4267   crn 4880   ccom 4883  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  cc 8989  cr 8990  cc0 8991  c1 8992   caddc 8994   cmul 8996  cxr 9120   clt 9121   cle 9122   cmin 9292  cneg 9293   cdiv 9678  cn 10001  c2 10050  cn0 10222  cz 10283  cuz 10489  crp 10613  cfz 11044   cseq 11324  cexp 11383  cabs 12040   cli 12279   cdivides 12853  cxmt 16687  cbl 16689  clog 20453 This theorem is referenced by:  stirlinglem6  27805 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-ioo 10921  df-ioc 10922  df-ico 10923  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-shft 11883  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-limsup 12266  df-clim 12283  df-rlim 12284  df-sum 12481  df-ef 12671  df-sin 12673  df-cos 12674  df-tan 12675  df-pi 12676  df-dvds 12854  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cld 17084  df-ntr 17085  df-cls 17086  df-nei 17163  df-lp 17201  df-perf 17202  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-haus 17380  df-cmp 17451  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-fil 17879  df-fm 17971  df-flim 17972  df-flf 17973  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-cncf 18909  df-limc 19754  df-dv 19755  df-ulm 20294  df-log 20455
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