Theorem stle1t 10147

Description: The value of a state is less than or equal to one.

Assertion

Ref	Expression
stle1t	|- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) <_ 1))

Proof of Theorem stle1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3730	. . . 4 |- (x = A -> (S` x) = (S` A))
2	1	breq1d 2634	. . 3 |- (x = A -> ((S` x) <_ 1 <-> (S` A) <_ 1))
3	2	rcla4v 1876	. 2 |- (A e. CH -> (A.x e. CH (S` x) <_ 1 -> (S` A) <_ 1))
4		stelt 10136	. . . . 5 |- (S e. States <-> ((S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)) /\ ((S` H~) = 1 /\ A.x e. CH A.y e. CH (x (_ (_|_` y) -> (S` (x vH y)) = ((S` x) + (S` y))))))
5	4	pm3.26bi 322	. . . 4 |- (S e. States -> (S:CH-->RR /\ A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1)))
6	5	pm3.27d 325	. . 3 |- (S e. States -> A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1))
7		pm3.27 323	. . . 4 |- ((0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1) -> (S` x) <_ 1)
8	7	r19.20si 1709	. . 3 |- (A.x e. CH (0 <_ (S` x) /\ (S` x) <_ 1) -> A.x e. CH (S` x) <_ 1)
9	6, 8	syl 10	. 2 |- (S e. States -> A.x e. CH (S` x) <_ 1)
10	3, 9	syl5com 52	1 |- (S e. States -> (A e. CH -> (S` A) <_ 1))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   + caddc 5249   <_ cle 5307  H~chil 8783  CHcch 8793  _|_cort 8794   vH chj 8797  Statescst 8826

This theorem is referenced by:  stge1 10160  stle 10162  stles 10163  stadd 10168  stadd3 10170

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-hilex 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-sh 9071  df-ch 9087  df-st 10134

Copyright terms: Public domain