Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoi Unicode version

Theorem stoi 24767
Description: The underlying set of the standard topology on an open interval is the open interval itself. (Contributed by FL, 31-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
stoi  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( A (,) B
) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )
>. }  e.  TopSp

Proof of Theorem stoi
StepHypRef Expression
1 retopon 18104 . . 3  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
2 ioossre 10590 . . 3  |-  ( A (,) B )  C_  RR
3 resttopon 16724 . . 3  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( A (,) B
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
41, 2, 3mp2an 656 . 2  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )
5 eqid 2253 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( A (,) B
) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )
>. }  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( A (,) B
) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )
>. }
65eltpsg 16515 . 2  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )  ->  { <. ( Base `  ndx ) ,  ( A (,) B
) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )
>. }  e.  TopSp )
74, 6ax-mp 10 1  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( A (,) B
) >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( A (,) B ) )
>. }  e.  TopSp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1621    C_ wss 3078   {cpr 3545   <.cop 3547   ran crn 4581   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RRcr 8616   (,)cioo 10534   ndxcnx 13019   Basecbs 13022  TopSetcts 13088   ↾t crest 13199   topGenctg 13216  TopOnctopon 16464   TopSpctps 16466
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-ioo 10538  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-tset 13101  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472
  Copyright terms: Public domain W3C validator