Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem20 Structured version   Unicode version

Theorem stoweidlem20 27745
 Description: If a set A of real functions from a common domain T is closed under the sum of two functions, then it is closed under the sum of a finite number of functions, indexed by G. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem20.1
stoweidlem20.2
stoweidlem20.3
stoweidlem20.4
stoweidlem20.5
stoweidlem20.6
Assertion
Ref Expression
stoweidlem20
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem stoweidlem20
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 stoweidlem20.2 . 2
2 stoweidlem20.3 . . 3
32nnred 10015 . . . . 5
43leidd 9593 . . . 4
54ancli 535 . . 3
6 eleq1 2496 . . . . 5
7 breq1 4215 . . . . . . 7
87anbi2d 685 . . . . . 6
9 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
109sumeq1d 12495 . . . . . . . 8
1110mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
1211eleq1d 2502 . . . . . 6
138, 12imbi12d 312 . . . . 5
146, 13imbi12d 312 . . . 4
15 breq1 4215 . . . . . . 7
1615anbi2d 685 . . . . . 6
17 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
1817sumeq1d 12495 . . . . . . . 8
1918mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
2019eleq1d 2502 . . . . . 6
2116, 20imbi12d 312 . . . . 5
22 breq1 4215 . . . . . . 7
2322anbi2d 685 . . . . . 6
24 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
2524sumeq1d 12495 . . . . . . . 8
2625mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
2726eleq1d 2502 . . . . . 6
2823, 27imbi12d 312 . . . . 5
29 breq1 4215 . . . . . . 7
3029anbi2d 685 . . . . . 6
31 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
3231sumeq1d 12495 . . . . . . . 8
3332mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
3433eleq1d 2502 . . . . . 6
3530, 34imbi12d 312 . . . . 5
36 breq1 4215 . . . . . . 7
3736anbi2d 685 . . . . . 6
38 oveq2 6089 . . . . . . . . 9
3938sumeq1d 12495 . . . . . . . 8
4039mpteq2dv 4296 . . . . . . 7
4140eleq1d 2502 . . . . . 6
4237, 41imbi12d 312 . . . . 5
43 stoweidlem20.1 . . . . . . . . 9
44 1z 10311 . . . . . . . . . 10
45 stoweidlem20.4 . . . . . . . . . . . . . 14
46 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . . . 16
472, 46syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
48 eluzfz1 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5045, 49ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . 13
5150ancli 535 . . . . . . . . . . . . 13
52 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 feq1 5576 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . 14
56 stoweidlem20.6 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56vtoclg 3011 . . . . . . . . . . . . 13
5850, 51, 57sylc 58 . . . . . . . . . . . 12
5958ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . 11
6059recnd 9114 . . . . . . . . . 10
61 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
6261fveq1d 5730 . . . . . . . . . . 11
6362fsum1 12535 . . . . . . . . . 10
6444, 60, 63sylancr 645 . . . . . . . . 9
6543, 64mpteq2da 4294 . . . . . . . 8
6658feqmptd 5779 . . . . . . . 8
6765, 66eqtr4d 2471 . . . . . . 7
6867, 50eqeltrd 2510 . . . . . 6
6968adantr 452 . . . . 5
70 simprl 733 . . . . . . . 8
71 simpll 731 . . . . . . . 8
72 simprr 734 . . . . . . . 8
7370, 71, 723jca 1134 . . . . . . 7
74 simp1 957 . . . . . . . . . 10
75 nnre 10007 . . . . . . . . . . . 12
76753ad2ant2 979 . . . . . . . . . . 11
77 1re 9090 . . . . . . . . . . . . 13
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
7976, 78readdcld 9115 . . . . . . . . . . 11
8023ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . 12
8180nnred 10015 . . . . . . . . . . 11
8276lep1d 9942 . . . . . . . . . . 11
83 simp3 959 . . . . . . . . . . 11
8476, 79, 81, 82, 83letrd 9227 . . . . . . . . . 10
8574, 84jca 519 . . . . . . . . 9
8670, 71, 72, 85syl3anc 1184 . . . . . . . 8
87 simplr 732 . . . . . . . 8
8886, 87mpd 15 . . . . . . 7
89 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
90 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
9143, 89, 90nf3an 1849 . . . . . . . . . 10
92 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . 13
9392, 46syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . 12
94 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . 13
9544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
962nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97963ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
99 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
101 elfzle1 11060 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
10399zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . 16
104103adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
10579ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
10681ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . . . . 16
108107adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15
109 simpll3 998 . . . . . . . . . . . . . . 15
110104, 105, 106, 108, 109letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . 14
111 elfz4 11052 . . . . . . . . . . . . . 14
11295, 98, 100, 102, 110, 111syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . 13
113 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13
11445ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1151143adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16
116 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117116, 115jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119118anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 feq1 5576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121119, 120imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122121, 56vtoclg 3011 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123115, 117, 122sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . 15
124 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . 15
125123, 124ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . 14
126125recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13
12794, 112, 113, 126syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
128 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13
129128fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . 12
13093, 127, 129fsump1 12540 . . . . . . . . . . 11
131 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
132 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . . 14
133 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . . . 15
13444a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13597ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137136adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
138 elfzle1 11060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139138adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140136zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14279adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14381adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14476adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145 elfzle2 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
146145adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
147 letrp1 9852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148141, 144, 146, 147syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150141, 142, 143, 148, 149letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
151150adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152134, 135, 137, 139, 151, 111syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . 15
153 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
154133, 152, 153, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
155132, 154fsumrecl 12528 . . . . . . . . . . . . 13
156 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
157156fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . 13
158131, 155, 157syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
159158oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11
160130, 159eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10
16191, 160mpteq2da 4294 . . . . . . . . 9
162161adantr 452 . . . . . . . 8
16344a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164 peano2nn 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165164nnzd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1661653ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167164nnge1d 10042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1681673ad2ant2 979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
169 elfz4 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170163, 97, 166, 168, 83, 169syl32anc 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17145ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17274, 170, 171syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15
173 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
174173anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
175 feq1 5576 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176174, 175imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
177176, 56vtoclg 3011 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178177anabsi7 793 . . . . . . . . . . . . . . 15
17974, 172, 178syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
180179ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . . 13
181 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14
182181fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . 13
183131, 180, 182syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
184183oveq2d 6097 . . . . . . . . . . 11
18591, 184mpteq2da 4294 . . . . . . . . . 10
186185adantr 452 . . . . . . . . 9
187 simpl1 960 . . . . . . . . . 10
188 simpr 448 . . . . . . . . . 10
189170adantr 452 . . . . . . . . . . 11
190178feqmptd 5779 . . . . . . . . . . . . 13
191171, 190syldan 457 . . . . . . . . . . . 12
192191, 171eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . 11
193187, 189, 192syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
194 stoweidlem20.5 . . . . . . . . . . 11
195 nfmpt1 4298 . . . . . . . . . . 11
196 nfmpt1 4298 . . . . . . . . . . 11
197194, 195, 196stoweidlem8 27733 . . . . . . . . . 10
198187, 188, 193, 197syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
199186, 198eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8
200162, 199eqeltrd 2510 . . . . . . 7
20173, 88, 200syl2anc 643 . . . . . 6
202201exp31 588 . . . . 5
20321, 28, 35, 42, 69, 202nnind 10018 . . . 4
20414, 203vtoclg 3011 . . 3
2052, 2, 5, 204syl3c 59 . 2
2061, 205syl5eqel 2520 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936  wnf 1553   wceq 1652   wcel 1725   class class class wbr 4212   cmpt 4266  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cr 8989  c1 8991   caddc 8993   cle 9121  cn 10000  cz 10282  cuz 10488  cfz 11043  csu 12479 This theorem is referenced by:  stoweidlem32  27757 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480
 Copyright terms: Public domain W3C validator