MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strleun Structured version   Unicode version

Theorem strleun 13561
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f  |-  F Struct  <. A ,  B >.
strleun.g  |-  G Struct  <. C ,  D >.
strleun.l  |-  B  < 
C
Assertion
Ref Expression
strleun  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6  |-  F Struct  <. A ,  B >.
2 isstruct 13481 . . . . . 6  |-  ( F Struct  <. A ,  B >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  dom  F 
C_  ( A ... B ) ) )
31, 2mpbi 201 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )  /\  Fun  ( F  \  { (/) } )  /\  dom  F  C_  ( A ... B
) )
43simp1i 967 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  A  <_  B )
54simp1i 967 . . 3  |-  A  e.  NN
6 strleun.g . . . . . 6  |-  G Struct  <. C ,  D >.
7 isstruct 13481 . . . . . 6  |-  ( G Struct  <. C ,  D >.  <->  (
( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/)
} )  /\  dom  G 
C_  ( C ... D ) ) )
86, 7mpbi 201 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } )  /\  dom  G  C_  ( C ... D
) )
98simp1i 967 . . . 4  |-  ( C  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  C  <_  D )
109simp2i 968 . . 3  |-  D  e.  NN
114simp3i 969 . . . . 5  |-  A  <_  B
124simp2i 968 . . . . . . 7  |-  B  e.  NN
1312nnrei 10011 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
149simp1i 967 . . . . . . 7  |-  C  e.  NN
1514nnrei 10011 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
16 strleun.l . . . . . 6  |-  B  < 
C
1713, 15, 16ltleii 9198 . . . . 5  |-  B  <_  C
185nnrei 10011 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
1918, 13, 15letri 9204 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
2011, 17, 19mp2an 655 . . . 4  |-  A  <_  C
219simp3i 969 . . . 4  |-  C  <_  D
2210nnrei 10011 . . . . 5  |-  D  e.  RR
2318, 15, 22letri 9204 . . . 4  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  A  <_  D )
2420, 21, 23mp2an 655 . . 3  |-  A  <_  D
255, 10, 243pm3.2i 1133 . 2  |-  ( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )
263simp2i 968 . . . . 5  |-  Fun  ( F  \  { (/) } )
278simp2i 968 . . . . 5  |-  Fun  ( G  \  { (/) } )
2826, 27pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  /\  Fun  ( G  \  { (/) } ) )
29 difss 3476 . . . . . . . 8  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
30 dmss 5071 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  dom  ( F  \  { (/)
} )  C_  dom  F )
3129, 30ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  dom  F
323simp3i 969 . . . . . . 7  |-  dom  F  C_  ( A ... B
)
3331, 32sstri 3359 . . . . . 6  |-  dom  ( F  \  { (/) } ) 
C_  ( A ... B )
34 difss 3476 . . . . . . . 8  |-  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  G
35 dmss 5071 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  { (/) } )  C_  G  ->  dom  ( G  \  { (/)
} )  C_  dom  G )
3634, 35ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  dom  G
378simp3i 969 . . . . . . 7  |-  dom  G  C_  ( C ... D
)
3836, 37sstri 3359 . . . . . 6  |-  dom  ( G  \  { (/) } ) 
C_  ( C ... D )
39 ss2in 3570 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( F  \  { (/) } )  C_  ( A ... B )  /\  dom  ( G 
\  { (/) } ) 
C_  ( C ... D ) )  -> 
( dom  ( F  \  { (/) } )  i^i 
dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) ) )
4033, 38, 39mp2an 655 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  C_  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )
41 fzdisj 11080 . . . . . 6  |-  ( B  <  C  ->  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )
4216, 41ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D ) )  =  (/)
43 sseq0 3661 . . . . 5  |-  ( ( ( dom  ( F 
\  { (/) } )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) ) 
C_  ( ( A ... B )  i^i  ( C ... D
) )  /\  (
( A ... B
)  i^i  ( C ... D ) )  =  (/) )  ->  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )
4440, 42, 43mp2an 655 . . . 4  |-  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/)
45 funun 5497 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  ( F 
\  { (/) } )  /\  Fun  ( G 
\  { (/) } ) )  /\  ( dom  ( F  \  { (/)
} )  i^i  dom  ( G  \  { (/) } ) )  =  (/) )  ->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) ) )
4628, 44, 45mp2an 655 . . 3  |-  Fun  (
( F  \  { (/)
} )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
47 difundir 3596 . . . 4  |-  ( ( F  u.  G ) 
\  { (/) } )  =  ( ( F 
\  { (/) } )  u.  ( G  \  { (/) } ) )
4847funeqi 5476 . . 3  |-  ( Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  <->  Fun  ( ( F  \  { (/) } )  u.  ( G 
\  { (/) } ) ) )
4946, 48mpbir 202 . 2  |-  Fun  (
( F  u.  G
)  \  { (/) } )
50 dmun 5078 . . 3  |-  dom  ( F  u.  G )  =  ( dom  F  u.  dom  G )
5112nnzi 10307 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
5210nnzi 10307 . . . . . . 7  |-  D  e.  ZZ
5313, 15, 22letri 9204 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  D )  ->  B  <_  D )
5417, 21, 53mp2an 655 . . . . . . 7  |-  B  <_  D
55 eluz2 10496 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  B  <_  D ) )
5651, 52, 54, 55mpbir3an 1137 . . . . . 6  |-  D  e.  ( ZZ>= `  B )
57 fzss2 11094 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  B
)  ->  ( A ... B )  C_  ( A ... D ) )
5856, 57ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( A ... B )  C_  ( A ... D )
5932, 58sstri 3359 . . . 4  |-  dom  F  C_  ( A ... D
)
605nnzi 10307 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
6114nnzi 10307 . . . . . . 7  |-  C  e.  ZZ
62 eluz2 10496 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
6360, 61, 20, 62mpbir3an 1137 . . . . . 6  |-  C  e.  ( ZZ>= `  A )
64 fzss1 11093 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  ( C ... D )  C_  ( A ... D ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( C ... D )  C_  ( A ... D )
6637, 65sstri 3359 . . . 4  |-  dom  G  C_  ( A ... D
)
6759, 66unssi 3524 . . 3  |-  ( dom 
F  u.  dom  G
)  C_  ( A ... D )
6850, 67eqsstri 3380 . 2  |-  dom  ( F  u.  G )  C_  ( A ... D
)
69 isstruct 13481 . 2  |-  ( ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.  <->  (
( A  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  A  <_  D )  /\  Fun  ( ( F  u.  G )  \  { (/)
} )  /\  dom  ( F  u.  G
)  C_  ( A ... D ) ) )
7025, 49, 68, 69mpbir3an 1137 1  |-  ( F  u.  G ) Struct  <. A ,  D >.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   {csn 3816   <.cop 3819   class class class wbr 4214   dom cdm 4880   Fun wfun 5450   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    < clt 9122    <_ cle 9123   NNcn 10002   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ...cfz 11045   Struct cstr 13467
This theorem is referenced by:  strle2  13563  strle3  13564  srngfn  13586  lmodstr  13595  algstr  13600  phlstr  13610  odrngstr  13636  imasvalstr  13677  prdsvalstr  13678  ipostr  14581  psrvalstr  16432  cnfldstr  16707
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473
  Copyright terms: Public domain W3C validator