MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strov2rcl Unicode version

Theorem strov2rcl 16619
Description: Reverse closure for polynomial-resembling things. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strov2rcl.s  |-  S  =  ( I F R )
strov2rcl.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
strov2rcl.f  |-  Rel  dom  F
Assertion
Ref Expression
strov2rcl  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )

Proof of Theorem strov2rcl
StepHypRef Expression
1 noel 3624 . . 3  |-  -.  X  e.  (/)
2 strov2rcl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( I F R )
3 strov2rcl.f . . . . . . . 8  |-  Rel  dom  F
43ovprc1 6100 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( I F R )  =  (/) )
52, 4syl5eq 2479 . . . . . 6  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  S  =  (/) )
65fveq2d 5723 . . . . 5  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  (
Base `  S )  =  ( Base `  (/) ) )
7 strov2rcl.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  S
)
8 base0 13494 . . . . 5  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
96, 7, 83eqtr4g 2492 . . . 4  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  B  =  (/) )
109eleq2d 2502 . . 3  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  ( X  e.  B  <->  X  e.  (/) ) )
111, 10mtbiri 295 . 2  |-  ( -.  I  e.  _V  ->  -.  X  e.  B )
1211con4i 124 1  |-  ( X  e.  B  ->  I  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   dom cdm 4869   Rel wrel 4874   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457
This theorem is referenced by:  psropprmul  16620  frlmrcl  27140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fv 5453  df-ov 6075  df-slot 13461  df-base 13462
  Copyright terms: Public domain W3C validator