Theorem subadd 5383

Description: Relationship between subtraction and addition.

Hypotheses

Ref	Expression
subadd.1	|- A e. CC
subadd.2	|- B e. CC
subadd.3	|- C e. CC

Assertion

Ref	Expression
subadd	|- ((A - B) = C <-> (B + C) = A)

Proof of Theorem subadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subadd.3	. 2 |- C e. CC
2		eqeq2 1487	. . . 4 |- (x = C -> ((A - B) = x <-> (A - B) = C))
3		opreq2 3975	. . . . 5 |- (x = C -> (B + x) = (B + C))
4	3	eqeq1d 1486	. . . 4 |- (x = C -> ((B + x) = A <-> (B + C) = A))
5	2, 4	bibi12d 631	. . 3 |- (x = C -> (((A - B) = x <-> (B + x) = A) <-> ((A - B) = C <-> (B + C) = A)))
6		subadd.2	. . . . . 6 |- B e. CC
7		subadd.1	. . . . . 6 |- A e. CC
8	6, 7	negeu 5367	. . . . 5 |- E!x e. CC (B + x) = A
9		reuuni1 2888	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ E!x e. CC (B + x) = A) -> ((B + x) = A <-> U.{x e. CC | (B + x) = A} = x))
10	8, 9	mpan2 698	. . . 4 |- (x e. CC -> ((B + x) = A <-> U.{x e. CC | (B + x) = A} = x))
11		subvalt 5369	. . . . . 6 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A - B) = U.{x e. CC | (B + x) = A})
12	7, 6, 11	mp2an 699	. . . . 5 |- (A - B) = U.{x e. CC | (B + x) = A}
13	12	eqeq1i 1485	. . . 4 |- ((A - B) = x <-> U.{x e. CC | (B + x) = A} = x)
14	10, 13	syl6rbbr 541	. . 3 |- (x e. CC -> ((A - B) = x <-> (B + x) = A))
15	5, 14	vtoclga 1855	. 2 |- (C e. CC -> ((A - B) = C <-> (B + C) = A))
16	1, 15	ax-mp 7	1 |- ((A - B) = C <-> (B + C) = A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 958   e. wcel 960  E!wreu 1650  {crab 1651  U.cuni 2507  (class class class)co 3969  CCcc 5244   + caddc 5249   - cmin 5304

This theorem is referenced by:  subaddri 5384  subadd2 5385  subsub23 5386  subaddt 5387  neg11 5418  lesubadd 5607  isumsplit 7216  cos2bnd 7476  efifolem2 8718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368

Copyright terms: Public domain