HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem subaddt 5355
Description: Relationship between subtraction and addition.
Assertion
Ref Expression
subaddt |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A - B) = C <-> (B + C) = A))
Proof of Theorem subaddt
StepHypRef Expression
1 opreq1 3959 . . . 4 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (A - B) = (if(A e. CC, A, 0) - B))
21eqeq1d 1480 . . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((A - B) = C <-> (if(A e. CC, A, 0) - B) = C))
3 eqeq2 1481 . . 3 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> ((B + C) = A <-> (B + C) = if(A e. CC, A, 0)))
42, 3bibi12d 628 . 2 |- (A = if(A e. CC, A, 0) -> (((A - B) = C <-> (B + C) = A) <-> ((if(A e. CC, A, 0) - B) = C <-> (B + C) = if(A e. CC, A, 0))))
5 opreq2 3960 . . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (if(A e. CC, A, 0) - B) = (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)))
65eqeq1d 1480 . . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) - B) = C <-> (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) = C))
7 opreq1 3959 . . . 4 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (B + C) = (if(B e. CC, B, 0) + C))
87eqeq1d 1480 . . 3 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> ((B + C) = if(A e. CC, A, 0) <-> (if(B e. CC, B, 0) + C) = if(A e. CC, A, 0)))
96, 8bibi12d 628 . 2 |- (B = if(B e. CC, B, 0) -> (((if(A e. CC, A, 0) - B) = C <-> (B + C) = if(A e. CC, A, 0)) <-> ((if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) = C <-> (if(B e. CC, B, 0) + C) = if(A e. CC, A, 0))))
10 eqeq2 1481 . . 3 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> ((if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) = C <-> (if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) = if(C e. CC, C, 0)))
11 opreq2 3960 . . . 4 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (if(B e. CC, B, 0) + C) = (if(B e. CC, B, 0) + if(C e. CC, C, 0)))
1211eqeq1d 1480 . . 3 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> ((if(B e. CC, B, 0) + C) = if(A e. CC, A, 0) <-> (if(B e. CC, B, 0) + if(C e. CC, C, 0)) = if(A e. CC, A, 0)))
1310, 12bibi12d 628 . 2 |- (C = if(C e. CC, C, 0) -> (((if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) = C <-> (if(B e. CC, B, 0) + C) = if(A e. CC, A, 0)) <-> ((if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) = if(C e. CC, C, 0) <-> (if(B e. CC, B, 0) + if(C e. CC, C, 0)) = if(A e. CC, A, 0))))
14 0cn 5308 . . . 4 |- 0 e. CC
1514elimel 2390 . . 3 |- if(A e. CC, A, 0) e. CC
1614elimel 2390 . . 3 |- if(B e. CC, B, 0) e. CC
1714elimel 2390 . . 3 |- if(C e. CC, C, 0) e. CC
1815, 16, 17subadd 5351 . 2 |- ((if(A e. CC, A, 0) - if(B e. CC, B, 0)) = if(C e. CC, C, 0) <-> (if(B e. CC, B, 0) + if(C e. CC, C, 0)) = if(A e. CC, A, 0))
194, 9, 13, 18dedth3h 2384 1 |- ((A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC) -> ((A - B) = C <-> (B + C) = A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  ifcif 2357  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214   + caddc 5217   - cmin 5272
This theorem is referenced by:  subsub23t 5356  pncan3t 5357  renegcl 5396  subdit 5407  reim0t 6719  fsumsplit 6966  ser1ser0 6994  clim2serzt 7078  clim2serz 7089  serzf0 7113  ser1f0 7114  cos2tt 7413  nn0ennn 7447  minveclem18 8506  minveclem36 8524  sincosq1eq 8645  efifolem5 8660  sto2 10102  mslb1 10509  2wsms 10510
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336
Copyright terms: Public domain