MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdid Unicode version

Theorem subdid 9115
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdid  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdi 9093 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C )
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1187 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5710   CCcc 8615    x. cmul 8622    - cmin 8917
This theorem is referenced by:  recextlem1  9278  cru  9618  cju  9622  zneo  9973  qbtwnre  10404  lincmb01cmp  10655  iccf1o  10656  intfracq  10841  modlt  10859  moddi  10885  modsubdir  10886  subsq  11088  expmulnbnd  11111  crre  11476  remullem  11490  mulcn2  11946  iseraltlem3  12033  fsumparts  12141  geoserg  12198  mertens  12216  tanval3  12288  tanadd  12321  eirrlem  12356  3dvds  12465  bezoutlem3  12593  eulerthlem2  12724  prmdiv  12727  prmdiveq  12728  4sqlem10  12868  mul4sqlem  12874  4sqlem17  12882  blcvx  18136  icopnfhmeo  18273  pcoass  18354  pjthlem1  18633  itgmulc2lem2  19019  dvmulbr  19120  cmvth  19170  dvcvx  19199  dvfsumle  19200  dvfsumabs  19202  dvfsumlem2  19206  aaliou3lem8  19557  abelthlem2  19640  tangtx  19705  tanregt0  19733  efif1olem2  19737  efif1olem4  19739  ang180lem5  19855  isosctrlem2  19863  isosctrlem3  19864  affineequiv  19867  dcubic1  19973  dquart  19981  quartlem1  19985  asinsin  20020  efiatan  20040  atanlogsublem  20043  efiatan2  20045  2efiatan  20046  tanatan  20047  atantayl2  20066  wilthlem2  20139  ftalem5  20146  basellem3  20152  basellem5  20154  logfaclbnd  20293  bposlem1  20355  lgseisenlem2  20421  lgsquadlem1  20425  2sqlem4  20438  vmadivsum  20463  rplogsumlem1  20465  dchrmusum2  20475  dchrvmasumiflem2  20483  rpvmasum2  20493  dchrisum0lem2a  20498  dchrisum0lem2  20499  rplogsum  20508  mulogsumlem  20512  mulogsum  20513  mulog2sumlem1  20515  mulog2sumlem2  20516  mulog2sumlem3  20517  vmalogdivsum2  20519  vmalogdivsum  20520  2vmadivsumlem  20521  logsqvma  20523  selberglem1  20526  selberglem2  20527  selberg2lem  20531  chpdifbndlem1  20534  selberg3lem1  20538  selberg4lem1  20541  selberg4  20542  pntrsumo1  20546  selbergr  20549  selberg3r  20550  selberg4r  20551  selberg34r  20552  pntrlog2bndlem4  20561  pntrlog2bndlem5  20562  pntrlog2bndlem6  20564  pntlemo  20588  pjhthlem1  21800  brbtwn2  23707  colinearalglem1  23708  axcontlem8  23773  bpolydiflem  23963  bpoly4  23968  2wsms  24774  cntotbnd  25686  irrapxlem2  26074  irrapxlem3  26075  irrapxlem5  26077  pellexlem6  26085  pell1qrgaplem  26124  qirropth  26159  jm2.17a  26213  congmul  26220  jm2.18  26247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752  df-sub 8919
  Copyright terms: Public domain W3C validator