MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdid Unicode version

Theorem subdid 9203
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdid  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdi 9181 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C )
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1187 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5792   CCcc 8703    x. cmul 8710    - cmin 9005
This theorem is referenced by:  recextlem1  9366  cru  9706  cju  9710  zneo  10061  qbtwnre  10492  lincmb01cmp  10743  iccf1o  10744  intfracq  10929  modlt  10947  moddi  10973  modsubdir  10974  subsq  11176  expmulnbnd  11199  crre  11564  remullem  11578  mulcn2  12034  iseraltlem3  12121  fsumparts  12229  geoserg  12286  mertens  12304  tanval3  12376  tanadd  12409  eirrlem  12444  3dvds  12553  bezoutlem3  12681  eulerthlem2  12812  prmdiv  12815  prmdiveq  12816  4sqlem10  12956  mul4sqlem  12962  4sqlem17  12970  blcvx  18266  icopnfhmeo  18403  pcoass  18484  pjthlem1  18763  itgmulc2lem2  19149  dvmulbr  19250  cmvth  19300  dvcvx  19329  dvfsumle  19330  dvfsumabs  19332  dvfsumlem2  19336  aaliou3lem8  19687  abelthlem2  19770  tangtx  19835  tanregt0  19863  efif1olem2  19867  efif1olem4  19869  ang180lem5  20073  isosctrlem2  20081  isosctrlem3  20082  affineequiv  20085  dcubic1  20103  dquart  20111  quartlem1  20115  asinsin  20150  efiatan  20170  atanlogsublem  20173  efiatan2  20175  2efiatan  20176  tanatan  20177  atantayl2  20196  wilthlem2  20269  ftalem5  20276  basellem3  20282  basellem5  20284  logfaclbnd  20423  bposlem1  20485  lgseisenlem2  20551  lgsquadlem1  20555  2sqlem4  20568  vmadivsum  20593  rplogsumlem1  20595  dchrmusum2  20605  dchrvmasumiflem2  20613  rpvmasum2  20623  dchrisum0lem2a  20628  dchrisum0lem2  20629  rplogsum  20638  mulogsumlem  20642  mulogsum  20643  mulog2sumlem1  20645  mulog2sumlem2  20646  mulog2sumlem3  20647  vmalogdivsum2  20649  vmalogdivsum  20650  2vmadivsumlem  20651  logsqvma  20653  selberglem1  20656  selberglem2  20657  selberg2lem  20661  chpdifbndlem1  20664  selberg3lem1  20668  selberg4lem1  20671  selberg4  20672  pntrsumo1  20676  selbergr  20679  selberg3r  20680  selberg4r  20681  selberg34r  20682  pntrlog2bndlem4  20691  pntrlog2bndlem5  20692  pntrlog2bndlem6  20694  pntlemo  20718  pjhthlem1  21930  brbtwn2  23908  colinearalglem1  23909  axcontlem8  23974  bpolydiflem  24164  bpoly4  24169  2wsms  24975  cntotbnd  25887  irrapxlem2  26275  irrapxlem3  26276  irrapxlem5  26278  pellexlem6  26286  pell1qrgaplem  26325  qirropth  26360  jm2.17a  26414  congmul  26421  jm2.18  26448
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840  df-sub 9007
  Copyright terms: Public domain W3C validator