MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdid Unicode version

Theorem subdid 9230
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdid  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdid
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdi 9208 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B  -  C ) )  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C )
) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  ( B  -  C )
)  =  ( ( A  x.  B )  -  ( A  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685  (class class class)co 5819   CCcc 8730    x. cmul 8737    - cmin 9032
This theorem is referenced by:  recextlem1  9393  cru  9733  cju  9737  zneo  10089  qbtwnre  10520  lincmb01cmp  10771  iccf1o  10772  intfracq  10957  modlt  10975  moddi  11001  modsubdir  11002  subsq  11204  expmulnbnd  11227  crre  11593  remullem  11607  mulcn2  12063  iseraltlem3  12150  fsumparts  12258  geoserg  12318  mertens  12336  tanval3  12408  tanadd  12441  eirrlem  12476  3dvds  12585  bezoutlem3  12713  eulerthlem2  12844  prmdiv  12847  prmdiveq  12848  4sqlem10  12988  mul4sqlem  12994  4sqlem17  13002  blcvx  18298  icopnfhmeo  18435  pcoass  18516  pjthlem1  18795  itgmulc2lem2  19181  dvmulbr  19282  cmvth  19332  dvcvx  19361  dvfsumle  19362  dvfsumabs  19364  dvfsumlem2  19368  aaliou3lem8  19719  abelthlem2  19802  tangtx  19867  tanregt0  19895  efif1olem2  19899  efif1olem4  19901  ang180lem5  20105  isosctrlem2  20113  isosctrlem3  20114  affineequiv  20117  dcubic1  20135  dquart  20143  quartlem1  20147  asinsin  20182  efiatan  20202  atanlogsublem  20205  efiatan2  20207  2efiatan  20208  tanatan  20209  atantayl2  20228  wilthlem2  20301  ftalem5  20308  basellem3  20314  basellem5  20316  logfaclbnd  20455  bposlem1  20517  lgseisenlem2  20583  lgsquadlem1  20587  2sqlem4  20600  vmadivsum  20625  rplogsumlem1  20627  dchrmusum2  20637  dchrvmasumiflem2  20645  rpvmasum2  20655  dchrisum0lem2a  20660  dchrisum0lem2  20661  rplogsum  20670  mulogsumlem  20674  mulogsum  20675  mulog2sumlem1  20677  mulog2sumlem2  20678  mulog2sumlem3  20679  vmalogdivsum2  20681  vmalogdivsum  20682  2vmadivsumlem  20683  logsqvma  20685  selberglem1  20688  selberglem2  20689  selberg2lem  20693  chpdifbndlem1  20696  selberg3lem1  20700  selberg4lem1  20703  selberg4  20704  pntrsumo1  20708  selbergr  20711  selberg3r  20712  selberg4r  20713  selberg34r  20714  pntrlog2bndlem4  20723  pntrlog2bndlem5  20724  pntrlog2bndlem6  20726  pntlemo  20750  pjhthlem1  21962  brbtwn2  23940  colinearalglem1  23941  axcontlem8  24006  bpolydiflem  24196  bpoly4  24201  2wsms  25007  cntotbnd  25919  irrapxlem2  26307  irrapxlem3  26308  irrapxlem5  26310  pellexlem6  26318  pell1qrgaplem  26357  qirropth  26392  jm2.17a  26446  congmul  26453  jm2.18  26480  itgsinexp  27148  stirlinglem7  27228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-iota 6252  df-riota 6299  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-ltxr 8867  df-sub 9034
  Copyright terms: Public domain W3C validator