MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Unicode version

Theorem subdird 9252
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9230 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751    x. cmul 8758    - cmin 9053
This theorem is referenced by:  ltmul1a  9621  lincmb01cmp  10793  iccf1o  10794  modmul1  11018  remullem  11629  mulcn2  12085  fsumparts  12280  geo2sum  12345  mul4sqlem  13016  vdwapun  13037  icopnfcnv  18456  itgconst  19189  itgmulc2lem2  19203  dvmulbr  19304  dvrec  19320  dvsincos  19344  cmvth  19354  dvcvx  19383  dvfsumlem1  19389  dvfsumlem2  19390  coeeulem  19622  abelthlem6  19828  tangtx  19889  tanarg  19986  logdivlti  19987  logcnlem4  20008  affineequiv  20139  affineequiv2  20140  chordthmlem2  20146  chordthmlem4  20148  mcubic  20159  dquartlem2  20164  quart1lem  20167  quart1  20168  quartlem1  20169  dvatan  20247  atantayl  20249  wilthlem2  20323  logfaclbnd  20477  logexprlim  20480  perfectlem2  20485  dchrsum2  20523  sumdchr2  20525  bposlem9  20547  lgsquadlem1  20609  chebbnd1lem3  20636  rpvmasumlem  20652  log2sumbnd  20709  chpdifbndlem1  20718  selberg3lem1  20722  selberg4lem1  20725  selbergr  20733  selberg3r  20734  selberg4r  20735  pntrlog2bndlem3  20744  pntrlog2bndlem5  20746  pntibndlem2  20756  pntlemo  20772  sinccvglem  24020  brbtwn2  24605  colinearalglem1  24606  axsegconlem9  24625  axcontlem2  24665  axcontlem7  24670  axcontlem8  24671  bpoly4  24866  itg2addnc  25005  itgmulc2nclem2  25018  bfp  26651  pellexlem6  27022  congmul  27157  itgsinexp  27852  sigarmf  27947  cevathlem2  27961
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-sub 9055
  Copyright terms: Public domain W3C validator