MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Unicode version

Theorem subdird 9236
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9214 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1182 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735    x. cmul 8742    - cmin 9037
This theorem is referenced by:  ltmul1a  9605  lincmb01cmp  10777  iccf1o  10778  modmul1  11002  remullem  11613  mulcn2  12069  fsumparts  12264  geo2sum  12329  mul4sqlem  13000  vdwapun  13021  icopnfcnv  18440  itgconst  19173  itgmulc2lem2  19187  dvmulbr  19288  dvrec  19304  dvsincos  19328  cmvth  19338  dvcvx  19367  dvfsumlem1  19373  dvfsumlem2  19374  coeeulem  19606  abelthlem6  19812  tangtx  19873  tanarg  19970  logdivlti  19971  logcnlem4  19992  affineequiv  20123  affineequiv2  20124  chordthmlem2  20130  chordthmlem4  20132  mcubic  20143  dquartlem2  20148  quart1lem  20151  quart1  20152  quartlem1  20153  dvatan  20231  atantayl  20233  wilthlem2  20307  logfaclbnd  20461  logexprlim  20464  perfectlem2  20469  dchrsum2  20507  sumdchr2  20509  bposlem9  20531  lgsquadlem1  20593  chebbnd1lem3  20620  rpvmasumlem  20636  log2sumbnd  20693  chpdifbndlem1  20702  selberg3lem1  20706  selberg4lem1  20709  selbergr  20717  selberg3r  20718  selberg4r  20719  pntrlog2bndlem3  20728  pntrlog2bndlem5  20730  pntibndlem2  20740  pntlemo  20756  sinccvglem  24005  brbtwn2  24533  colinearalglem1  24534  axsegconlem9  24553  axcontlem2  24593  axcontlem7  24598  axcontlem8  24599  bpoly4  24794  bfp  26548  pellexlem6  26919  congmul  27054  itgsinexp  27749  sigarmf  27844  cevathlem2  27858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-sub 9039
  Copyright terms: Public domain W3C validator