MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Unicode version

Theorem subdird 9232
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9210 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685  (class class class)co 5820   CCcc 8731    x. cmul 8738    - cmin 9033
This theorem is referenced by:  ltmul1a  9601  lincmb01cmp  10772  iccf1o  10773  modmul1  10997  remullem  11608  mulcn2  12064  fsumparts  12259  geo2sum  12324  mul4sqlem  12995  vdwapun  13016  icopnfcnv  18435  itgconst  19168  itgmulc2lem2  19182  dvmulbr  19283  dvrec  19299  dvsincos  19323  cmvth  19333  dvcvx  19362  dvfsumlem1  19368  dvfsumlem2  19369  coeeulem  19601  abelthlem6  19807  tangtx  19868  tanarg  19965  logdivlti  19966  logcnlem4  19987  affineequiv  20118  affineequiv2  20119  chordthmlem2  20125  chordthmlem4  20127  mcubic  20138  dquartlem2  20143  quart1lem  20146  quart1  20147  quartlem1  20148  dvatan  20226  atantayl  20228  wilthlem2  20302  logfaclbnd  20456  logexprlim  20459  perfectlem2  20464  dchrsum2  20502  sumdchr2  20504  bposlem9  20526  lgsquadlem1  20588  chebbnd1lem3  20615  rpvmasumlem  20631  log2sumbnd  20688  chpdifbndlem1  20697  selberg3lem1  20701  selberg4lem1  20704  selbergr  20712  selberg3r  20713  selberg4r  20714  pntrlog2bndlem3  20723  pntrlog2bndlem5  20725  pntibndlem2  20735  pntlemo  20751  sinccvglem  23410  brbtwn2  23941  colinearalglem1  23942  axsegconlem9  23961  axcontlem2  24001  axcontlem7  24006  axcontlem8  24007  bpoly4  24202  bfp  25948  pellexlem6  26319  congmul  26454  itgsinexp  27149
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-ltxr 8868  df-sub 9035
  Copyright terms: Public domain W3C validator