MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Unicode version

Theorem subdird 9190
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9168 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1187 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5778   CCcc 8689    x. cmul 8696    - cmin 8991
This theorem is referenced by:  ltmul1a  9559  lincmb01cmp  10729  iccf1o  10730  modmul1  10954  remullem  11564  mulcn2  12020  fsumparts  12215  geo2sum  12277  mul4sqlem  12948  vdwapun  12969  icopnfcnv  18388  itgconst  19121  itgmulc2lem2  19135  dvmulbr  19236  dvrec  19252  dvsincos  19276  cmvth  19286  dvcvx  19315  dvfsumlem1  19321  dvfsumlem2  19322  coeeulem  19554  abelthlem6  19760  tangtx  19821  tanarg  19918  logdivlti  19919  logcnlem4  19940  affineequiv  20071  affineequiv2  20072  chordthmlem2  20078  chordthmlem4  20080  mcubic  20091  dquartlem2  20096  quart1lem  20099  quart1  20100  quartlem1  20101  dvatan  20179  atantayl  20181  wilthlem2  20255  logfaclbnd  20409  logexprlim  20412  perfectlem2  20417  dchrsum2  20455  sumdchr2  20457  bposlem9  20479  lgsquadlem1  20541  chebbnd1lem3  20568  rpvmasumlem  20584  log2sumbnd  20641  chpdifbndlem1  20650  selberg3lem1  20654  selberg4lem1  20657  selbergr  20665  selberg3r  20666  selberg4r  20667  pntrlog2bndlem3  20676  pntrlog2bndlem5  20678  pntibndlem2  20688  pntlemo  20704  sinccvglem  23363  brbtwn2  23894  colinearalglem1  23895  axsegconlem9  23914  axcontlem2  23954  axcontlem7  23959  axcontlem8  23960  bpoly4  24155  bfp  25901  pellexlem6  26272  congmul  26407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-ltxr 8826  df-sub 8993
  Copyright terms: Public domain W3C validator