MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Unicode version

Theorem subdird 9479
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9457 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1184 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725  (class class class)co 6072   CCcc 8977    x. cmul 8984    - cmin 9280
This theorem is referenced by:  ltmul1a  9848  lincmb01cmp  11027  iccf1o  11028  modmul1  11267  remullem  11921  mulcn2  12377  fsumparts  12573  geo2sum  12638  mul4sqlem  13309  vdwapun  13330  icopnfcnv  18955  itgconst  19698  itgmulc2lem2  19712  dvmulbr  19813  dvrec  19829  dvsincos  19853  cmvth  19863  dvcvx  19892  dvfsumlem1  19898  dvfsumlem2  19899  coeeulem  20131  abelthlem6  20340  tangtx  20401  tanarg  20502  logdivlti  20503  logcnlem4  20524  affineequiv  20655  affineequiv2  20656  chordthmlem2  20662  chordthmlem4  20664  mcubic  20675  dquartlem2  20680  quart1lem  20683  quart1  20684  quartlem1  20685  dvatan  20763  atantayl  20765  wilthlem2  20840  logfaclbnd  20994  logexprlim  20997  perfectlem2  21002  dchrsum2  21040  sumdchr2  21042  bposlem9  21064  lgsquadlem1  21126  chebbnd1lem3  21153  rpvmasumlem  21169  log2sumbnd  21226  chpdifbndlem1  21235  selberg3lem1  21239  selberg4lem1  21242  selbergr  21250  selberg3r  21251  selberg4r  21252  pntrlog2bndlem3  21261  pntrlog2bndlem5  21263  pntibndlem2  21273  pntlemo  21289  lgamcvg2  24827  sinccvglem  25097  fallfacfwd  25341  brbtwn2  25792  colinearalglem1  25793  axsegconlem9  25812  axcontlem2  25852  axcontlem7  25857  axcontlem8  25858  bpoly4  26053  itgmulc2nclem2  26218  bfp  26470  pellexlem6  26834  congmul  26969  itgsinexp  27663  stoweidlem13  27676  stoweidlem14  27677  stoweidlem26  27689  sigarmf  27758  cevathlem2  27772  modprm0  28112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-ltxr 9114  df-sub 9282
  Copyright terms: Public domain W3C validator