MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subdird Unicode version

Theorem subdird 9116
Description: Distribution of multiplication over subtraction. Theorem I.5 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
subdid.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subdird  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )

Proof of Theorem subdird
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subdid.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4 subdir 9094 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  -  B
)  x.  C )  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1187 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  -  B )  x.  C
)  =  ( ( A  x.  C )  -  ( B  x.  C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5710   CCcc 8615    x. cmul 8622    - cmin 8917
This theorem is referenced by:  ltmul1a  9485  lincmb01cmp  10655  iccf1o  10656  modmul1  10880  remullem  11490  mulcn2  11946  fsumparts  12141  geo2sum  12203  mul4sqlem  12874  vdwapun  12895  icopnfcnv  18272  itgconst  19005  itgmulc2lem2  19019  dvmulbr  19120  dvrec  19136  dvsincos  19160  cmvth  19170  dvcvx  19199  dvfsumlem1  19205  dvfsumlem2  19206  coeeulem  19438  abelthlem6  19644  tangtx  19705  tanarg  19802  logdivlti  19803  logcnlem4  19824  affineequiv  19867  affineequiv2  19868  chordthmlem2  19874  chordthmlem4  19876  mcubic  19975  dquartlem2  19980  quart1lem  19983  quart1  19984  quartlem1  19985  dvatan  20063  atantayl  20065  wilthlem2  20139  logfaclbnd  20293  logexprlim  20296  perfectlem2  20301  dchrsum2  20339  sumdchr2  20341  bposlem9  20363  lgsquadlem1  20425  chebbnd1lem3  20452  rpvmasumlem  20468  log2sumbnd  20525  chpdifbndlem1  20534  selberg3lem1  20538  selberg4lem1  20541  selbergr  20549  selberg3r  20550  selberg4r  20551  pntrlog2bndlem3  20560  pntrlog2bndlem5  20562  pntibndlem2  20572  pntlemo  20588  sinccvglem  23176  brbtwn2  23707  colinearalglem1  23708  axsegconlem9  23727  axcontlem2  23767  axcontlem7  23772  axcontlem8  23773  bpoly4  23968  bfp  25714  pellexlem6  26085  congmul  26220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-iota 6143  df-riota 6190  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752  df-sub 8919
  Copyright terms: Public domain W3C validator