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Theorem subfaclim 23056
Description: The subfactorial converges rapidly to  N !  /  _e. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfaclim  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfaclim
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9904 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 faccl 11229 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
43nncnd 9695 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
5 ere 12297 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
65recni 8782 . . . . . 6  |-  _e  e.  CC
7 epos 12412 . . . . . . 7  |-  0  <  _e
85, 7gt0ne0ii 9242 . . . . . 6  |-  _e  =/=  0
9 divcl 9363 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  CC  /\  _e  e.  CC  /\  _e  =/=  0 )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  CC )
106, 8, 9mp3an23 1274 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  CC  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  CC )
114, 10syl 17 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  CC )
12 derang.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
13 subfac.n . . . . . . . 8  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
1412, 13subfacf 23043 . . . . . . 7  |-  S : NN0
--> NN0
1514ffvelrni 5563 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  e. 
NN0 )
161, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  NN0 )
1716nn0cnd 9952 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  CC )
1811, 17subcld 9090 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
1918abscld 11848 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  e.  RR )
20 peano2nn 9691 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2120peano2nnd 9696 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN )
2221nnred 9694 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  RR )
2320, 20nnmulcld 9726 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN )
2422, 23nndivred 9727 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
25 nnrecre 9715 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
26 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
27 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  -u 1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  -u 1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )
28 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ! `  ( N  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ! `  ( N  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ^ n
) ) )
29 neg1cn 9746 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
3029a1i 12 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
31 ax-1cn 8728 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3231absnegi 11813 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
33 abs1 11712 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
3432, 33eqtri 2276 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
35 1le1 9329 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
3634, 35eqbrtri 3982 . . . . . . 7  |-  ( abs `  -u 1 )  <_ 
1
3736a1i 12 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  -u 1 )  <_ 
1 )
3826, 27, 28, 20, 30, 37eftlub 12316 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  <_ 
( ( ( abs `  -u 1 ) ^
( N  +  1 ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
3920nnnn0d 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
40 eluznn0 10220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
4139, 40sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
4226eftval 12285 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
4443sumeq2dv 12106 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )
4544fveq2d 5427 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )
4634oveq1i 5767 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( 1 ^ ( N  +  1 ) )
4720nnzd 10048 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
48 1exp 11062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( N  +  1 ) )  =  1 )
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ^ ( N  +  1 ) )  =  1 )
5046, 49syl5eq 2300 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  =  1 )
5150oveq1d 5772 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
52 faccl 11229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  e.  NN )
5339, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  NN )
5453, 20nnmulcld 9726 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN )
5522, 54nndivred 9727 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
5655recnd 8794 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5756mulid2d 8786 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
5851, 57eqtrd 2288 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
5938, 45, 583brtr3d 3992 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  <_  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )
60 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )
61 eftcl 12282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
6229, 61mpan 654 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  CC )
6341, 62syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
6426eftlcvg 12313 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  ->  seq  ( N  + 
1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6529, 39, 64sylancr 647 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  ( N  +  1
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6660, 47, 43, 63, 65isumcl 12154 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
6766abscld 11848 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  e.  RR )
683nnred 9694 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR )
693nngt0d 9722 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ! `  N
) )
70 lemul2 9542 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  <_  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ! `  N )  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
7167, 55, 68, 69, 70syl112anc 1191 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  <_  ( (
( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  <_  (
( ! `  N
)  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
7259, 71mpbid 203 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
7312, 13subfacval2 23055 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
741, 73syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
75 nncn 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
76 pncan 8990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
7775, 31, 76sylancl 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
7877oveq2d 5773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
7978sumeq1d 12104 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
8079oveq2d 5773 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
8174, 80eqtr4d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
8281oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
83 divrec 9373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  CC  /\  _e  e.  CC  /\  _e  =/=  0 )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( 1  /  _e ) ) )
846, 8, 83mp3an23 1274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  CC  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( 1  /  _e ) ) )
854, 84syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( 1  /  _e ) ) )
86 df-e 12277 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  =  ( exp `  1 )
8786oveq2i 5768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  _e )  =  ( 1  /  ( exp `  1 ) )
88 efneg 12305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( exp `  -u 1 )  =  ( 1  /  ( exp `  1 ) ) )
8931, 88ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  -u 1 )  =  ( 1  /  ( exp `  1 ) )
90 efval 12288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  ( exp `  -u 1
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
9129, 90ax-mp 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  -u 1 )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )
9287, 89, 913eqtr2i 2282 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _e )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )
93 nn0uz 10194 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9442adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
9562adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
96 0nn0 9912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
9726eftlcvg 12313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9829, 96, 97mp2an 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )  e.  dom  ~~>
9998a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
10093, 60, 39, 94, 95, 99isumsplit 12226 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )
10192, 100syl5eq 2300 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  _e )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
102101oveq2d 5773 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( 1  /  _e ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
103 fzfid 10966 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
104 elfznn0 10753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
105104adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
10629, 105, 61sylancr 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
107103, 106fsumcl 12136 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
1084, 107, 66adddid 8792 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
10985, 102, 1083eqtrd 2292 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
11082, 109eqtr4d 2291 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  _e ) )
1114, 66mulcld 8788 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
11211, 17, 111subaddd 9108 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
)  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  <->  ( ( S `  N )  +  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  _e ) ) )
113110, 112mpbird 225 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )
114113fveq2d 5427 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( abs `  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
1154, 66absmuld 11866 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( abs `  ( ! `  N )
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
1163nnnn0d 9950 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN0 )
117116nn0ge0d 9953 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  N
) )
11868, 117absidd 11835 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
119118oveq1d 5772 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  ( ! `  N )
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
120114, 115, 1193eqtrd 2292 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
121 facp1 11224 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
1221, 121syl 17 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
123122oveq1d 5772 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
12420nncnd 9695 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
1254, 124, 124mulassd 8791 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
126123, 125eqtr2d 2289 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
127126oveq2d 5773 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
12821nncnd 9695 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  CC )
12923nncnd 9695 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
13023nnne0d 9723 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
1313nnne0d 9723 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
132128, 129, 4, 130, 131divcan5d 9495 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
13354nncnd 9695 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
13454nnne0d 9723 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
1354, 128, 133, 134divassd 9504 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
136127, 132, 1353eqtr3d 2296 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13772, 120, 1363brtr4d 3993 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <_  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )
138 nnmulcl 9702 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  1 )  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  e.  NN )
13921, 138mpancom 653 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  e.  NN )
140139nnred 9694 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  e.  RR )
141140ltp1d 9620 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  <  ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N )  +  1 ) )
142129mulid2d 8786 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
14331a1i 12 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
14475, 143, 124adddird 8793 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  ( N  + 
1 ) )  +  ( 1  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
14575, 124mulcomd 8789 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  N ) )
146124mulid2d 8786 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
147145, 146oveq12d 5775 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  ( N  +  1 ) )  +  ( 1  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( N  +  1 ) ) )
148124, 143, 75adddird 8793 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( 1  x.  N
) ) )
149148oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  +  1 )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  +  1 ) )
15075mulid2d 8786 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  N )  =  N )
151150oveq2d 5773 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  x.  N
)  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  N ) )
152151oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  N )  +  1 ) )
153124, 75mulcld 8788 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  N )  e.  CC )
154153, 75, 143addassd 8790 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  N
)  +  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( N  +  1 ) ) )
155149, 152, 1543eqtrd 2292 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  +  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( N  +  1 ) ) )
156147, 155eqtr4d 2291 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  ( N  +  1 ) )  +  ( 1  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N )  +  1 ) )
157142, 144, 1563eqtrd 2292 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N )  +  1 ) )
158141, 157breqtrrd 3989 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  <  ( 1  x.  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
159 nnre 9686 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
160 nngt0 9708 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
161159, 160jca 520 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
162 1re 8770 . . . . 5  |-  1  e.  RR
163162a1i 12 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
164 nnre 9686 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
165 nngt0 9708 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
166164, 165jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
16723, 166syl 17 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
168 lt2mul2div 9565 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  (
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  <  ( 1  x.  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  < 
( 1  /  N
) ) )
16922, 161, 163, 167, 168syl22anc 1188 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  <  ( 1  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  < 
( 1  /  N
) ) )
170158, 169mpbid 203 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  <  ( 1  /  N ) )
17119, 24, 25, 137, 170lelttrd 8907 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    =/= wne 2419   A.wral 2516   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   dom cdm 4626   -1-1-onto->wf1o 4637   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   Fincfn 6796   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    < clt 8800    <_ cle 8801    - cmin 8970   -ucneg 8971    / cdiv 9356   NNcn 9679   NN0cn0 9897   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   ...cfz 10713    seq cseq 10977   ^cexp 11035   !cfa 11219   #chash 11268   abscabs 11649    ~~> cli 11888   sum_csu 12088   expce 12270   _eceu 12271
This theorem is referenced by:  subfacval3  23057
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748  ax-addf 8749  ax-mulf 8750
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-ico 10593  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-shft 11492  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-limsup 11875  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-sum 12089  df-ef 12276  df-e 12277
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