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Theorem subfaclim 23125
Description: The subfactorial converges rapidly to  N !  /  _e. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
Assertion
Ref Expression
subfaclim  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, N    D, n    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    D( x, y, f)    S( f)

Proof of Theorem subfaclim
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 9967 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 faccl 11293 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
31, 2syl 15 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
43nncnd 9757 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
5 ere 12365 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
65recni 8844 . . . . . 6  |-  _e  e.  CC
7 epos 12480 . . . . . . 7  |-  0  <  _e
85, 7gt0ne0ii 9304 . . . . . 6  |-  _e  =/=  0
9 divcl 9425 . . . . . 6  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  CC  /\  _e  e.  CC  /\  _e  =/=  0 )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  CC )
106, 8, 9mp3an23 1269 . . . . 5  |-  ( ( ! `  N )  e.  CC  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  CC )
114, 10syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  e.  CC )
12 derang.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
13 subfac.n . . . . . . . 8  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
1412, 13subfacf 23112 . . . . . . 7  |-  S : NN0
--> NN0
1514ffvelrni 5625 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  e. 
NN0 )
161, 15syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  NN0 )
1716nn0cnd 10015 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  e.  CC )
1811, 17subcld 9152 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  e.  CC )
1918abscld 11913 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  e.  RR )
20 peano2nn 9753 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
2120peano2nnd 9758 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN )
2221nnred 9756 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  RR )
2320, 20nnmulcld 9788 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN )
2422, 23nndivred 9789 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
25 nnrecre 9777 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
26 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
27 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( abs `  -u 1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( abs `  -u 1
) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )
28 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ! `  ( N  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ^ n
) ) )  =  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  /  ( ! `  ( N  +  1
) ) )  x.  ( ( 1  / 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) ^ n
) ) )
29 neg1cn 9808 . . . . . . 7  |-  -u 1  e.  CC
3029a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  -u 1  e.  CC )
31 ax-1cn 8790 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3231absnegi 11878 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  -u 1 )  =  ( abs `  1
)
33 abs1 11777 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  1 )  =  1
3432, 33eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  -u 1 )  =  1
35 1le1 9391 . . . . . . . 8  |-  1  <_  1
3634, 35eqbrtri 4042 . . . . . . 7  |-  ( abs `  -u 1 )  <_ 
1
3736a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  -u 1 )  <_ 
1 )
3826, 27, 28, 20, 30, 37eftlub 12384 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  <_ 
( ( ( abs `  -u 1 ) ^
( N  +  1 ) )  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
3920nnnn0d 10013 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
40 eluznn0 10283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
4139, 40sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
4226eftval 12353 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) `  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
4443sumeq2dv 12171 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  = 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )
4544fveq2d 5489 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  k ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )
4634oveq1i 5829 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( 1 ^ ( N  +  1 ) )
4720nnzd 10111 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
48 1exp 11126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( N  +  1 ) )  =  1 )
4947, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1 ^ ( N  +  1 ) )  =  1 )
5046, 49syl5eq 2327 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  =  1 )
5150oveq1d 5834 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 1  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
52 faccl 11293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  e.  NN )
5339, 52syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  e.  NN )
5453, 20nnmulcld 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN )
5522, 54nndivred 9789 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  RR )
5655recnd 8856 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5756mulid2d 8848 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
5851, 57eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( abs `  -u 1
) ^ ( N  +  1 ) )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
5938, 45, 583brtr3d 4052 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  <_  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )
60 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) )
61 eftcl 12350 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
6229, 61mpan 651 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) )  e.  CC )
6341, 62syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
6426eftlcvg 12381 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  ->  seq  ( N  + 
1 ) (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6529, 39, 64sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  ( N  +  1
) (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6660, 47, 43, 63, 65isumcl 12219 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
6766abscld 11913 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  e.  RR )
683nnred 9756 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  RR )
693nngt0d 9784 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  ( ! `  N
) )
70 lemul2 9604 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ! `  N )  e.  RR  /\  0  <  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  <_  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  <-> 
( ( ! `  N )  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) ) )
7167, 55, 68, 69, 70syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) )  <_  ( (
( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( ( ! `  N )  x.  ( abs `  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )  <_  (
( ! `  N
)  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
7259, 71mpbid 201 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  <_ 
( ( ! `  N )  x.  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) ) )
7312, 13subfacval2 23124 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( S `
 N )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
741, 73syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
75 nncn 9749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
76 pncan 9052 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
7775, 31, 76sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
7877oveq2d 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
7978sumeq1d 12169 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
8079oveq2d 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
8174, 80eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( S `  N )  =  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )
8281oveq1d 5834 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
83 divrec 9435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  CC  /\  _e  e.  CC  /\  _e  =/=  0 )  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( 1  /  _e ) ) )
846, 8, 83mp3an23 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ! `  N )  e.  CC  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( 1  /  _e ) ) )
854, 84syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( 1  /  _e ) ) )
86 df-e 12345 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  =  ( exp `  1 )
8786oveq2i 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  /  _e )  =  ( 1  /  ( exp `  1 ) )
88 efneg 12373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( exp `  -u 1 )  =  ( 1  /  ( exp `  1 ) ) )
8931, 88ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  -u 1 )  =  ( 1  /  ( exp `  1 ) )
90 efval 12356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  ( exp `  -u 1
)  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) ) )
9129, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( exp `  -u 1 )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )
9287, 89, 913eqtr2i 2309 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  _e )  = 
sum_ k  e.  NN0  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )
93 nn0uz 10257 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
9442adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 k )  =  ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )
9562adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  e.  CC )
96 0nn0 9975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
9726eftlcvg 12381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  ->  seq  0 (  +  ,  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( -u
1 ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
9829, 96, 97mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  seq  0
(  +  ,  ( n  e.  NN0  |->  ( (
-u 1 ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )  e.  dom  ~~>
9998a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  seq  0 (  +  , 
( n  e.  NN0  |->  ( ( -u 1 ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
10093, 60, 39, 94, 95, 99isumsplit 12294 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  NN0  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )
10192, 100syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  _e )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  + 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )
102101oveq2d 5835 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( 1  /  _e ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
103 fzfid 11030 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
104 elfznn0 10817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
105104adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
10629, 105, 61sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
107103, 106fsumcl 12201 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u
1 ^ k )  /  ( ! `  k ) )  e.  CC )
1084, 107, 66adddid 8854 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
)  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
10985, 102, 1083eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  /  _e )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) ) )
11082, 109eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( S `  N
)  +  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  _e ) )
1114, 66mulcld 8850 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  / 
( ! `  k
) ) )  e.  CC )
11211, 17, 111subaddd 9170 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( ! `
 N )  /  _e )  -  ( S `  N )
)  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) )  <->  ( ( S `  N )  +  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ! `  N )  /  _e ) ) )
113110, 112mpbird 223 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) ( (
-u 1 ^ k
)  /  ( ! `
 k ) ) ) )
114113fveq2d 5489 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( abs `  ( ( ! `  N )  x.  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
1154, 66absmuld 11931 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ! `
 N )  x. 
sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( abs `  ( ! `  N )
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
1163nnnn0d 10013 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  e.  NN0 )
117116nn0ge0d 10016 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <_  ( ! `  N
) )
11868, 117absidd 11900 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ! `  N ) )  =  ( ! `  N
) )
119118oveq1d 5834 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( abs `  ( ! `  N )
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
120114, 115, 1193eqtrd 2319 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( abs `  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( N  + 
1 ) ) ( ( -u 1 ^ k )  /  ( ! `  k )
) ) ) )
121 facp1 11288 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
1221, 121syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
123122oveq1d 5834 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
12420nncnd 9757 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
1254, 124, 124mulassd 8853 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
126123, 125eqtr2d 2316 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) )
127126oveq2d 5835 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  / 
( ( ! `  ( N  +  1
) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
12821nncnd 9757 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  CC )
12923nncnd 9757 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
13023nnne0d 9785 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
1313nnne0d 9785 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =/=  0 )
132128, 129, 4, 130, 131divcan5d 9557 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ( ! `  N )  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  / 
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
13354nncnd 9757 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
13454nnne0d 9785 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) )  =/=  0 )
1354, 128, 133, 134divassd 9566 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ! `  N )  x.  (
( N  +  1 )  +  1 ) )  /  ( ( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
136127, 132, 1353eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  /  (
( ! `  ( N  +  1 ) )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )
13772, 120, 1363brtr4d 4053 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <_  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) ) )
138 nnmulcl 9764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  + 
1 )  +  1 )  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  e.  NN )
13921, 138mpancom 650 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  e.  NN )
140139nnred 9756 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  e.  RR )
141140ltp1d 9682 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  <  ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N )  +  1 ) )
142129mulid2d 8848 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
14331a1i 10 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  CC )
14475, 143, 124adddird 8855 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  x.  ( N  + 
1 ) )  +  ( 1  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
14575, 124mulcomd 8851 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  x.  N ) )
146124mulid2d 8848 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( N  + 
1 ) )
147145, 146oveq12d 5837 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  ( N  +  1 ) )  +  ( 1  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( N  +  1 ) ) )
148124, 143, 75adddird 8855 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( 1  x.  N
) ) )
149148oveq1d 5834 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  +  1 )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  +  1 ) )
15075mulid2d 8848 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  N )  =  N )
151150oveq2d 5835 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  x.  N
)  +  ( 1  x.  N ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  N ) )
152151oveq1d 5834 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( 1  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  N )  +  1 ) )
153124, 75mulcld 8850 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  N )  e.  CC )
154153, 75, 143addassd 8852 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  N
)  +  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( N  +  1 ) ) )
155149, 152, 1543eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  +  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  x.  N )  +  ( N  +  1 ) ) )
156147, 155eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  x.  ( N  +  1 ) )  +  ( 1  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N )  +  1 ) )
157142, 144, 1563eqtrd 2319 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N )  +  1 ) )
158141, 157breqtrrd 4049 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  <  ( 1  x.  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
159 nnre 9748 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
160 nngt0 9770 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
161159, 160jca 518 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )
162 1re 8832 . . . . 5  |-  1  e.  RR
163162a1i 10 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  1  e.  RR )
164 nnre 9748 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  (
( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
165 nngt0 9770 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  0  <  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )
166164, 165jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
16723, 166syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) )
168 lt2mul2div 9627 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  e.  RR  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  /\  ( 1  e.  RR  /\  (
( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) ) ) )  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  x.  N )  <  ( 1  x.  ( ( N  + 
1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  < 
( 1  /  N
) ) )
16922, 161, 163, 167, 168syl22anc 1183 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ( N  +  1 )  +  1 )  x.  N
)  <  ( 1  x.  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( (
( N  +  1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  +  1 ) ) )  < 
( 1  /  N
) ) )
170158, 169mpbid 201 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  +  1 )  /  ( ( N  +  1 )  x.  ( N  + 
1 ) ) )  <  ( 1  /  N ) )
17119, 24, 25, 137, 170lelttrd 8969 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( abs `  ( ( ( ! `  N )  /  _e )  -  ( S `  N ) ) )  <  (
1  /  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4687   -1-1-onto->wf1o 5219   ` cfv 5220  (class class class)co 5819   Fincfn 6858   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732   1c1 8733    + caddc 8735    x. cmul 8737    < clt 8862    <_ cle 8863    - cmin 9032   -ucneg 9033    / cdiv 9418   NNcn 9741   NN0cn0 9960   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   ...cfz 10777    seq cseq 11041   ^cexp 11099   !cfa 11283   #chash 11332   abscabs 11714    ~~> cli 11953   sum_csu 12153   expce 12338   _eceu 12339
This theorem is referenced by:  subfacval3  23126
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4186  ax-pr 4212  ax-un 4510  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4303  df-id 4307  df-po 4312  df-so 4313  df-fr 4350  df-se 4351  df-we 4352  df-ord 4393  df-on 4394  df-lim 4395  df-suc 4396  df-om 4655  df-xp 4693  df-rel 4694  df-cnv 4695  df-co 4696  df-dm 4697  df-rn 4698  df-res 4699  df-ima 4700  df-fun 5222  df-fn 5223  df-f 5224  df-f1 5225  df-fo 5226  df-f1o 5227  df-fv 5228  df-isom 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-ico 10657  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-seq 11042  df-exp 11100  df-fac 11284  df-bc 11311  df-hash 11333  df-shft 11557  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-limsup 11940  df-clim 11957  df-rlim 11958  df-sum 12154  df-ef 12344  df-e 12345
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