Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2a Unicode version

Theorem subfacp1lem2a 24638
Description: Lemma for subfacp1 24644. Properties of a bijection on  K augmented with the two-element flip to get a bijection on  K  u.  {
1 ,  M }. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
subfacp1lem.a  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
subfacp1lem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
subfacp1lem1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
subfacp1lem1.x  |-  M  e. 
_V
subfacp1lem1.k  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
subfacp1lem2.5  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
subfacp1lem2.6  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2a  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, A    f, F, x, y    f, N, n, x, y    ph, x, y    D, n    f, K, n, x, y    f, M, x, y    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, n)    D( x, y, f)    S( f)    F( n)    G( x, y, f, n)    M( n)

Proof of Theorem subfacp1lem2a
StepHypRef Expression
1 subfacp1lem2.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
2 1z 10236 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3 subfacp1lem1.x . . . . . 6  |-  M  e. 
_V
4 f1oprswap 5650 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  _V )  ->  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )
52, 3, 4mp2an 654 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M }
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )
7 derang.d . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
8 subfac.n . . . . . 6  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
9 subfacp1lem.a . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
10 subfacp1lem1.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
11 subfacp1lem1.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
12 subfacp1lem1.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
137, 8, 9, 10, 11, 3, 12subfacp1lem1 24637 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  { 1 ,  M }
)  =  (/)  /\  ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( # `  K )  =  ( N  -  1 ) ) )
1413simp1d 969 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  {
1 ,  M }
)  =  (/) )
15 f1oun 5627 . . . 4  |-  ( ( ( G : K -1-1-onto-> K  /\  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )  /\  (
( K  i^i  {
1 ,  M }
)  =  (/)  /\  ( K  i^i  { 1 ,  M } )  =  (/) ) )  ->  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. ,  <. M , 
1 >. } ) : ( K  u.  {
1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
161, 6, 14, 14, 15syl22anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
1713simp2d 970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  u.  {
1 ,  M }
)  =  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
18 subfacp1lem2.5 . . . . . . 7  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
19 f1oeq1 5598 . . . . . . 7  |-  ( F  =  ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } )  ->  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
2018, 19ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
21 f1oeq2 5599 . . . . . 6  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
2220, 21syl5bbr 251 . . . . 5  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
23 f1oeq3 5600 . . . . 5  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  {
1 ,  M }
)  <->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2422, 23bitrd 245 . . . 4  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2517, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2616, 25mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
27 f1ofun 5609 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  Fun  F )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  F )
29 snsspr1 3883 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  M >. } 
C_  { <. 1 ,  M >. ,  <. M , 
1 >. }
30 ssun2 3447 . . . . . . 7  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. }  C_  ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } )
3130, 18sseqtr4i 3317 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. }  C_  F
3229, 31sstri 3293 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  M >. } 
C_  F
33 1ex 9012 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
3433snid 3777 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 }
353dmsnop 5277 . . . . . 6  |-  dom  { <. 1 ,  M >. }  =  { 1 }
3634, 35eleqtrri 2453 . . . . 5  |-  1  e.  dom  { <. 1 ,  M >. }
37 funssfv 5679 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  { <. 1 ,  M >. } 
C_  F  /\  1  e.  dom  { <. 1 ,  M >. } )  -> 
( F `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 ) )
3832, 36, 37mp3an23 1271 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( F `  1 )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
) )
3928, 38syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 ) )
4033, 3fvsn 5858 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 )  =  M
4139, 40syl6eq 2428 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  M )
42 snsspr2 3884 . . . . . 6  |-  { <. M ,  1 >. }  C_  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. }
4342, 31sstri 3293 . . . . 5  |-  { <. M ,  1 >. }  C_  F
443snid 3777 . . . . . 6  |-  M  e. 
{ M }
4533dmsnop 5277 . . . . . 6  |-  dom  { <. M ,  1 >. }  =  { M }
4644, 45eleqtrri 2453 . . . . 5  |-  M  e. 
dom  { <. M ,  1
>. }
47 funssfv 5679 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  { <. M ,  1 >. }  C_  F  /\  M  e.  dom  { <. M , 
1 >. } )  -> 
( F `  M
)  =  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )
)
4843, 46, 47mp3an23 1271 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( F `  M )  =  ( { <. M ,  1
>. } `  M ) )
4928, 48syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )
)
503, 33fvsn 5858 . . 3  |-  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )  =  1
5149, 50syl6eq 2428 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  1 )
5226, 41, 513jca 1134 1  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2366    =/= wne 2543   A.wral 2642   _Vcvv 2892    \ cdif 3253    u. cun 3254    i^i cin 3255    C_ wss 3256   (/)c0 3564   {csn 3750   {cpr 3751   <.cop 3753    e. cmpt 4200   dom cdm 4811   Fun wfun 5381   -1-1-onto->wf1o 5386   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   1c1 8917    + caddc 8919    - cmin 9216   NNcn 9925   2c2 9974   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ...cfz 10968   #chash 11538
This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  24639  subfacp1lem3  24640  subfacp1lem4  24641  subfacp1lem5  24642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-hash 11539
  Copyright terms: Public domain W3C validator