Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  subfacp1lem2a Structured version   Unicode version

Theorem subfacp1lem2a 24897
Description: Lemma for subfacp1 24903. Properties of a bijection on  K augmented with the two-element flip to get a bijection on  K  u.  {
1 ,  M }. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
derang.d  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
subfac.n  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
subfacp1lem.a  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
subfacp1lem1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
subfacp1lem1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
subfacp1lem1.x  |-  M  e. 
_V
subfacp1lem1.k  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
subfacp1lem2.5  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
subfacp1lem2.6  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
Assertion
Ref Expression
subfacp1lem2a  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
Distinct variable groups:    f, n, x, y, A    f, F, x, y    f, N, n, x, y    ph, x, y    D, n    f, K, n, x, y    f, M, x, y    S, n, x, y
Allowed substitution hints:    ph( f, n)    D( x, y, f)    S( f)    F( n)    G( x, y, f, n)    M( n)

Proof of Theorem subfacp1lem2a
StepHypRef Expression
1 subfacp1lem2.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : K -1-1-onto-> K )
2 1z 10342 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
3 subfacp1lem1.x . . . . . 6  |-  M  e. 
_V
4 f1oprswap 5746 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  M  e.  _V )  ->  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )
52, 3, 4mp2an 655 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M }
65a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )
7 derang.d . . . . . 6  |-  D  =  ( x  e.  Fin  |->  ( # `  { f  |  ( f : x -1-1-onto-> x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =/=  y
) } ) )
8 subfac.n . . . . . 6  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( D `  ( 1 ... n ) ) )
9 subfacp1lem.a . . . . . 6  |-  A  =  { f  |  ( f : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) )  /\  A. y  e.  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ( f `  y )  =/=  y ) }
10 subfacp1lem1.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
11 subfacp1lem1.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( 2 ... ( N  + 
1 ) ) )
12 subfacp1lem1.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( 2 ... ( N  +  1 ) )  \  { M } )
137, 8, 9, 10, 11, 3, 12subfacp1lem1 24896 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  i^i  { 1 ,  M }
)  =  (/)  /\  ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( # `  K )  =  ( N  -  1 ) ) )
1413simp1d 970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  i^i  {
1 ,  M }
)  =  (/) )
15 f1oun 5723 . . . 4  |-  ( ( ( G : K -1-1-onto-> K  /\  { <. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } : { 1 ,  M } -1-1-onto-> { 1 ,  M } )  /\  (
( K  i^i  {
1 ,  M }
)  =  (/)  /\  ( K  i^i  { 1 ,  M } )  =  (/) ) )  ->  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. ,  <. M , 
1 >. } ) : ( K  u.  {
1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
161, 6, 14, 14, 15syl22anc 1186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
1713simp2d 971 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  u.  {
1 ,  M }
)  =  ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
18 subfacp1lem2.5 . . . . . . 7  |-  F  =  ( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } )
19 f1oeq1 5694 . . . . . . 7  |-  ( F  =  ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } )  ->  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) )
21 f1oeq2 5695 . . . . . 6  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( F : ( K  u.  { 1 ,  M }
)
-1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
2220, 21syl5bbr 252 . . . . 5  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } ) ) )
23 f1oeq3 5696 . . . . 5  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( K  u.  {
1 ,  M }
)  <->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2422, 23bitrd 246 . . . 4  |-  ( ( K  u.  { 1 ,  M } )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( G  u.  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2517, 24syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } ) : ( K  u.  { 1 ,  M } ) -1-1-onto-> ( K  u.  { 1 ,  M } )  <-> 
F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) ) )
2616, 25mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  F : ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  + 
1 ) ) )
27 f1ofun 5705 . . . . 5  |-  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  Fun  F )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  F )
29 snsspr1 3971 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  M >. } 
C_  { <. 1 ,  M >. ,  <. M , 
1 >. }
30 ssun2 3497 . . . . . . 7  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. }  C_  ( G  u.  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. } )
3130, 18sseqtr4i 3367 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  M >. , 
<. M ,  1 >. }  C_  F
3229, 31sstri 3343 . . . . 5  |-  { <. 1 ,  M >. } 
C_  F
33 1ex 9117 . . . . . . 7  |-  1  e.  _V
3433snid 3865 . . . . . 6  |-  1  e.  { 1 }
353dmsnop 5373 . . . . . 6  |-  dom  { <. 1 ,  M >. }  =  { 1 }
3634, 35eleqtrri 2515 . . . . 5  |-  1  e.  dom  { <. 1 ,  M >. }
37 funssfv 5775 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  { <. 1 ,  M >. } 
C_  F  /\  1  e.  dom  { <. 1 ,  M >. } )  -> 
( F `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 ) )
3832, 36, 37mp3an23 1272 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( F `  1 )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
) )
3928, 38syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 ) )
4033, 3fvsn 5955 . . 3  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } `  1 )  =  M
4139, 40syl6eq 2490 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  M )
42 snsspr2 3972 . . . . . 6  |-  { <. M ,  1 >. }  C_  {
<. 1 ,  M >. ,  <. M ,  1
>. }
4342, 31sstri 3343 . . . . 5  |-  { <. M ,  1 >. }  C_  F
443snid 3865 . . . . . 6  |-  M  e. 
{ M }
4533dmsnop 5373 . . . . . 6  |-  dom  { <. M ,  1 >. }  =  { M }
4644, 45eleqtrri 2515 . . . . 5  |-  M  e. 
dom  { <. M ,  1
>. }
47 funssfv 5775 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  { <. M ,  1 >. }  C_  F  /\  M  e.  dom  { <. M , 
1 >. } )  -> 
( F `  M
)  =  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )
)
4843, 46, 47mp3an23 1272 . . . 4  |-  ( Fun 
F  ->  ( F `  M )  =  ( { <. M ,  1
>. } `  M ) )
4928, 48syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )
)
503, 33fvsn 5955 . . 3  |-  ( {
<. M ,  1 >. } `  M )  =  1
5149, 50syl6eq 2490 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  =  1 )
5226, 41, 513jca 1135 1  |-  ( ph  ->  ( F : ( 1 ... ( N  +  1 ) ) -1-1-onto-> ( 1 ... ( N  +  1 ) )  /\  ( F ` 
1 )  =  M  /\  ( F `  M )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727   {cab 2428    =/= wne 2605   A.wral 2711   _Vcvv 2962    \ cdif 3303    u. cun 3304    i^i cin 3305    C_ wss 3306   (/)c0 3613   {csn 3838   {cpr 3839   <.cop 3841    e. cmpt 4291   dom cdm 4907   Fun wfun 5477   -1-1-onto->wf1o 5482   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Fincfn 7138   1c1 9022    + caddc 9024    - cmin 9322   NNcn 10031   2c2 10080   NN0cn0 10252   ZZcz 10313   ...cfz 11074   #chash 11649
This theorem is referenced by:  subfacp1lem2b  24898  subfacp1lem3  24899  subfacp1lem4  24900  subfacp1lem5  24901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-fz 11075  df-hash 11650
  Copyright terms: Public domain W3C validator