Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suc11reg Structured version   Unicode version

Theorem suc11reg 7566
 Description: The successor operation behaves like a one-to-one function (assuming the Axiom of Regularity). Exercise 35 of [Enderton] p. 208 and its converse. (Contributed by NM, 25-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
suc11reg

Proof of Theorem suc11reg
StepHypRef Expression
1 en2lp 7563 . . . . 5
2 ianor 475 . . . . 5
31, 2mpbi 200 . . . 4
4 sucidg 4651 . . . . . . . . . . 11
5 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11
64, 5syl5ibcom 212 . . . . . . . . . 10
7 elsucg 4640 . . . . . . . . . 10
86, 7sylibd 206 . . . . . . . . 9
98imp 419 . . . . . . . 8
109ord 367 . . . . . . 7
1110ex 424 . . . . . 6
1211com23 74 . . . . 5
13 sucidg 4651 . . . . . . . . . . . 12
14 eleq2 2496 . . . . . . . . . . . 12
1513, 14syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11
16 elsucg 4640 . . . . . . . . . . 11
1715, 16sylibd 206 . . . . . . . . . 10
1817imp 419 . . . . . . . . 9
1918ord 367 . . . . . . . 8
20 eqcom 2437 . . . . . . . 8
2119, 20syl6ib 218 . . . . . . 7
2221ex 424 . . . . . 6
2322com23 74 . . . . 5
2412, 23jaao 496 . . . 4
253, 24mpi 17 . . 3
26 sucexb 4781 . . . . 5
27 sucexb 4781 . . . . . 6
2827notbii 288 . . . . 5
29 nelneq 2533 . . . . 5
3026, 28, 29syl2anb 466 . . . 4
3130pm2.21d 100 . . 3
32 eqcom 2437 . . . 4
3326notbii 288 . . . . . . 7
34 nelneq 2533 . . . . . . 7
3527, 33, 34syl2anb 466 . . . . . 6
3635ancoms 440 . . . . 5
3736pm2.21d 100 . . . 4
3832, 37syl5bi 209 . . 3
39 sucprc 4648 . . . . 5
40 sucprc 4648 . . . . 5
4139, 40eqeqan12d 2450 . . . 4
4241biimpd 199 . . 3
4325, 31, 38, 424cases 916 . 2
44 suceq 4638 . 2
4543, 44impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   csuc 4575 This theorem is referenced by:  rankxpsuc  7798  bnj551  29047 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7552 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-eprel 4486  df-fr 4533  df-suc 4579
 Copyright terms: Public domain W3C validator