Theorem sucdom 4814

Description: Strict dominance of a set over a natural number is the same as dominance over its successor. The proof uses AC and Infinity. It is unclear if a proof without using these is possible, unlike the weaker versions omsucdom 4502, sucdomi 4503, and finsucdom 4506.

Assertion

Ref	Expression
sucdom	|- ((A e. om /\ B e. C) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Proof of Theorem sucdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4599	. . . 4 |- om e. V
2		entri2 4812	. . . 4 |- ((om e. V /\ B e. C) -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
3	1, 2	mpan 693	. . 3 |- (B e. C -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
4	3	adantl 388	. 2 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B \/ B ~< om))
5		sdomdomtr 4449	. . . . . . . . 9 |- (B e. C -> ((A ~< om /\ om ~<_ B) -> A ~< B))
6	5	exp3a 375	. . . . . . . 8 |- (B e. C -> (A ~< om -> (om ~<_ B -> A ~< B)))
7	6	imp 350	. . . . . . 7 |- ((B e. C /\ A ~< om) -> (om ~<_ B -> A ~< B))
8		nnsdom 4607	. . . . . . 7 |- (A e. om -> A ~< om)
9	7, 8	sylan2 451	. . . . . 6 |- ((B e. C /\ A e. om) -> (om ~<_ B -> A ~< B))
10	9	ancoms 436	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> A ~< B))
11		peano2b 3137	. . . . . . . 8 |- (A e. om <-> suc A e. om)
12		nnsdom 4607	. . . . . . . 8 |- (suc A e. om -> suc A ~< om)
13	11, 12	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (A e. om -> suc A ~< om)
14		sdomdom 4367	. . . . . . 7 |- (suc A ~< om -> suc A ~<_ om)
15		domtr 4396	. . . . . . . 8 |- ((suc A ~<_ om /\ om ~<_ B) -> suc A ~<_ B)
16	15	ex 373	. . . . . . 7 |- (suc A ~<_ om -> (om ~<_ B -> suc A ~<_ B))
17	13, 14, 16	3syl 20	. . . . . 6 |- (A e. om -> (om ~<_ B -> suc A ~<_ B))
18	17	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> suc A ~<_ B))
19	10, 18	jcad 598	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> (A ~< B /\ suc A ~<_ B)))
20		pm5.1 674	. . . 4 |- ((A ~< B /\ suc A ~<_ B) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
21	19, 20	syl6 22	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (om ~<_ B -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
22		finsucdom 4506	. . . . . 6 |- ((A e. om /\ E.x e. om B ~~ x) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))
23	22	ex 373	. . . . 5 |- (A e. om -> (E.x e. om B ~~ x -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
24		isfinite2 4523	. . . . 5 |- (B ~< om -> E.x e. om B ~~ x)
25	23, 24	syl5 21	. . . 4 |- (A e. om -> (B ~< om -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
26	25	adantr 389	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (B ~< om -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
27	21, 26	jaod 424	. 2 |- ((A e. om /\ B e. C) -> ((om ~<_ B \/ B ~< om) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B)))
28	4, 27	mpd 26	1 |- ((A e. om /\ B e. C) -> (A ~< B <-> suc A ~<_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   e. wcel 955  E.wrex 1638  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  suc csuc 2940  omcom 3121   ~~ cen 4348   ~<_ cdom 4349   ~< csdm 4350

This theorem is referenced by:  unxpdomlem 4815

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-er 4245  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-card 4788

Copyright terms: Public domain