Theorem sucel 3037

Description: Membership of a successor in another class.

Assertion

Ref	Expression
sucel	|- (suc A e. B <-> E.x e. B A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem sucel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		risset 1682	. 2 |- (suc A e. B <-> E.x e. B x = suc A)
2		dfcleq 1468	. . . 4 |- (x = suc A <-> A.y(y e. x <-> y e. suc A))
3		visset 1809	. . . . . . 7 |- y e. V
4	3	elsuc 3033	. . . . . 6 |- (y e. suc A <-> (y e. A \/ y = A))
5	4	bibi2i 607	. . . . 5 |- ((y e. x <-> y e. suc A) <-> (y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
6	5	albii 997	. . . 4 |- (A.y(y e. x <-> y e. suc A) <-> A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
7	2, 6	bitr 173	. . 3 |- (x = suc A <-> A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
8	7	rexbii 1665	. 2 |- (E.x e. B x = suc A <-> E.x e. B A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))
9	1, 8	bitr 173	1 |- (suc A e. B <-> E.x e. B A.y(y e. x <-> (y e. A \/ y = A)))

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wrex 1643  suc csuc 2945

This theorem is referenced by:  axinf2 4604  zfinf 4606

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-rex 1647  df-v 1808  df-un 2046  df-sn 2408  df-pr 2409  df-suc 2949

Copyright terms: Public domain