Theorem sucelon 3058

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number.

Assertion

Ref	Expression
sucelon	|- (A e. On <-> suc A e. On)

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordsuc 3055	. . 3 |- (Ord A <-> Ord suc A)
2		sucexb 3038	. . 3 |- (A e. V <-> suc A e. V)
3	1, 2	anbi12i 481	. 2 |- ((Ord A /\ A e. V) <-> (Ord suc A /\ suc A e. V))
4		elon2 2949	. 2 |- (A e. On <-> (Ord A /\ A e. V))
5		elon2 2949	. 2 |- (suc A e. On <-> (Ord suc A /\ suc A e. V))
6	3, 4, 5	3bitr4 183	1 |- (A e. On <-> suc A e. On)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 955  Vcvv 1802  Ord word 2937  Oncon0 2938  suc csuc 2940

This theorem is referenced by:  onsucmin 3062  onsucuni2 3081  tfindsg2 3153  rdgsucopabn 3932  2on 4123  oaordi 4164  oalimcl 4178  omlimcl 4193  oeordi 4198  oeworde 4204  oeordsuc 4205  infensuc 4610  r1val1 4630  rankr1 4646  r1pwcl 4659  alephnbtwn 4840  cfsuc 4887  alephsuc3 7527

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-suc 2944

Copyright terms: Public domain