Theorem sucexb 3166

Description: A successor exists iff its class argument exists.

Assertion

Ref	Expression
sucexb	|- (A e. V <-> suc A e. V)

Proof of Theorem sucexb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexb 3096	. 2 |- ((A e. V /\ {A} e. V) <-> (A u. {A}) e. V)
2		snex 2826	. . 3 |- {A} e. V
3	2	biantru 729	. 2 |- (A e. V <-> (A e. V /\ {A} e. V))
4		df-suc 2981	. . 3 |- suc A = (A u. {A})
5	4	eleq1i 1580	. 2 |- (suc A e. V <-> (A u. {A}) e. V)
6	1, 3, 5	3bitr4i 181	1 |- (A e. V <-> suc A e. V)

Syntax hints:   <-> wb 144   /\ wa 221   e. wcel 994  Vcvv 1857   u. cun 2097  {csn 2467  suc csuc 2977

This theorem is referenced by:  sucexg 3167  sucelon 3174  ordsucelsuc 3178  oeordi 4350  suc11reg 4750  r1ord 4801  rankxpsuc 4861

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-sep 2777  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-uni 2570  df-suc 2981

Copyright terms: Public domain