Theorem sucprc 3048

Description: A proper class is its own successor.

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- (-. A e. V -> suc A = A)

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 2504	. . . 4 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
2		uneq2 2230	. . . 4 |- ({A} = (/) -> (A u. {A}) = (A u. (/)))
3	1, 2	sylbi 197	. . 3 |- (-. A e. V -> (A u. {A}) = (A u. (/)))
4		df-suc 2981	. . 3 |- suc A = (A u. {A})
5	3, 4	syl5eq 1562	. 2 |- (-. A e. V -> suc A = (A u. (/)))
6		un0 2350	. 2 |- (A u. (/)) = A
7	5, 6	syl6eq 1566	1 |- (-. A e. V -> suc A = A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857   u. cun 2097  (/)c0 2332  {csn 2467  suc csuc 2977

This theorem is referenced by:  nsuceq0 3053  trsuc 3056  sucon 3165  ordsuc 3171  ordunisuc 3186  sucprcreg 4743  suc11reg 4750

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-10 1002  ax-12 1004  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1017  df-sb 1209  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-v 1858  df-dif 2101  df-un 2102  df-nul 2333  df-sn 2470  df-suc 2981

Copyright terms: Public domain