Theorem sucprc 3039

Description: A proper class is its own successor.

Assertion

Ref	Expression
sucprc	|- (-. A e. V -> suc A = A)

Proof of Theorem sucprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snprc 2439	. . . 4 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
2		uneq2 2174	. . . 4 |- ({A} = (/) -> (A u. {A}) = (A u. (/)))
3	1, 2	sylbi 199	. . 3 |- (-. A e. V -> (A u. {A}) = (A u. (/)))
4		df-suc 2949	. . 3 |- suc A = (A u. {A})
5	3, 4	syl5eq 1516	. 2 |- (-. A e. V -> suc A = (A u. (/)))
6		un0 2293	. 2 |- (A u. (/)) = A
7	5, 6	syl6eq 1520	1 |- (-. A e. V -> suc A = A)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   u. cun 2041  (/)c0 2276  {csn 2405  suc csuc 2945

This theorem is referenced by:  sucon 3040  nsuceq0 3048  trsuc 3050  ordsuc 3060  ordunisuc 3084  sucprcreg 4580  suc11reg 4585

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-12 966  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-nul 2277  df-sn 2408  df-suc 2949

Copyright terms: Public domain