MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Structured version   Unicode version

Theorem sum2dchr 21058
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  x ( A ) for fixed  A and all  x is  0 if  A  =  1 and  phi ( n ) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sum2dchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
sum2dchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
sum2dchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
sum2dchr.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
sum2dchr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
sum2dchr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
sum2dchr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
sum2dchr  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D    x, G    x, N    ph, x    x, Z
Allowed substitution hints:    B( x)    U( x)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 sum2dchr.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
3 sum2dchr.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2436 . . 3  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
5 sum2dchr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 sum2dchr.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10274 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
83zncrng 16825 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
9 crngrng 15674 . . . . 5  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
107, 8, 93syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
11 sum2dchr.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 sum2dchr.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
13 sum2dchr.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  Z )
14 eqid 2436 . . . . 5  |-  (/r `  Z
)  =  (/r `  Z
)
155, 13, 14dvrcl 15791 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  e.  B )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  e.  B )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 21056 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
18 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
19 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  (
invr `  Z )
205, 18, 13, 19, 14dvrval 15790 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2111, 12, 20syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  =  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
2322fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( x `  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) ) )
241, 3, 2dchrmhm 21025 . . . . . 6  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
25 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
2624, 25sseldi 3346 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
2711adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  B )
285, 13unitss 15765 . . . . . 6  |-  U  C_  B
2913, 19unitinvcl 15779 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  C  e.  U )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3010, 12, 29syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U )
3130adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3228, 31sseldi 3346 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  B
)
33 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
3433, 5mgpbas 15654 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
3533, 18mgpplusg 15652 . . . . . 6  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
36 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
37 cnfldmul 16709 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3836, 37mgpplusg 15652 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3934, 35, 38mhmlin 14745 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A  e.  B  /\  ( ( invr `  Z ) `  C
)  e.  B )  ->  ( x `  ( A ( .r `  Z ) ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )  =  ( ( x `
 A )  x.  ( x `  (
( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
4026, 27, 32, 39syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
41 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
42 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 21040 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
4412adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  U )
4513, 41unitgrpbas 15771 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
4613, 41, 19invrfval 15778 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  ( inv g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
47 cnfldbas 16707 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  ( Base ` fld )
48 cnfld0 16725 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
49 cndrng 16730 . . . . . . . . . 10  |-fld  e.  DivRing
5047, 48, 49drngui 15841 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
51 eqid 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
5250, 42, 51invrfval 15778 . . . . . . . 8  |-  ( invr ` fld )  =  ( inv g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5345, 46, 52ghminv 15013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  C  e.  U
)  ->  ( (
x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( (
invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
5443, 44, 53syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
55 fvres 5745 . . . . . . 7  |-  ( ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U  ->  ( ( x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
5631, 55syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( x `  ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )
57 fvres 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  U  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5844, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5958fveq2d 5732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) ) )
601, 3, 2, 5, 25dchrf 21026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : B --> CC )
6128, 44sseldi 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  B )
6260, 61ffvelrnd 5871 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  e.  CC )
631, 3, 2, 5, 13, 25, 61dchrn0 21034 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  C
)  =/=  0  <->  C  e.  U ) )
6444, 63mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  =/=  0 )
65 cnfldinv 16732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( x `  C ) )  =  ( 1  /  (
x `  C )
) )
6662, 64, 65syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) )  =  ( 1  / 
( x `  C
) ) )
67 recval 12126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( x `  C
) )  =  ( ( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) ) )
6862, 64, 67syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
( ( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 ) ) )
691, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 21044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( abs `  ( x `  C ) )  =  1 )
7069oveq1d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
71 sq1 11476 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7270, 71syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  1 )
7372oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
1 ) )
7462cjcld 12001 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
* `  ( x `  C ) )  e.  CC )
7574div1d 9782 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  1 )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7668, 73, 753eqtrd 2472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7759, 66, 763eqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
7854, 56, 773eqtr3d 2476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
7978oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  A
)  x.  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) ) )
8023, 40, 793eqtrd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( ( x `  A
)  x.  ( * `
 ( x `  C ) ) ) )
8180sumeq2dv 12497 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  ( * `  ( x `  C
) ) ) )
825, 13, 14, 4dvreq1 15798 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  (
( A (/r `  Z
) C )  =  ( 1r `  Z
)  <->  A  =  C
) )
8310, 11, 12, 82syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z )  <->  A  =  C ) )
8483ifbid 3757 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r
`  Z ) ,  ( phi `  N
) ,  0 )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
8517, 81, 843eqtr3d 2476 1  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    \ cdif 3317   ifcif 3739   {csn 3814    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ^cexp 11382   *ccj 11901   abscabs 12039   sum_csu 12479   phicphi 13153   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   .rcmulr 13530   MndHom cmhm 14736    GrpHom cghm 15003  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661   1rcur 15662  Unitcui 15744   invrcinvr 15776  /rcdvr 15787  ℂfldccnfld 16703  ℤ/nczn 16781  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  21206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-rpss 6522  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-word 11723  df-concat 11724  df-s1 11725  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-phi 13155  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-gim 15046  df-ga 15067  df-cntz 15116  df-oppg 15142  df-od 15167  df-gex 15168  df-pgp 15169  df-lsm 15270  df-pj1 15271  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-cyg 15488  df-dprd 15556  df-dpj 15557  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-0p 19562  df-limc 19753  df-dv 19754  df-ply 20107  df-idp 20108  df-coe 20109  df-dgr 20110  df-quot 20208  df-log 20454  df-cxp 20455  df-dchr 21017
  Copyright terms: Public domain W3C validator