MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Unicode version

Theorem sum2dchr 20509
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  x ( A ) for fixed  A and all  x is  0 if  A  =  1 and  phi ( n ) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sum2dchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
sum2dchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
sum2dchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
sum2dchr.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
sum2dchr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
sum2dchr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
sum2dchr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
sum2dchr  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D    x, G    x, N    ph, x    x, Z
Allowed substitution groups:    B( x)    U( x)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 sum2dchr.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
3 sum2dchr.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2286 . . 3  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
5 sum2dchr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 sum2dchr.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10015 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
83zncrng 16494 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
9 crngrng 15347 . . . . 5  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
11 sum2dchr.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 sum2dchr.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
13 sum2dchr.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  Z )
14 eqid 2286 . . . . 5  |-  (/r `  Z
)  =  (/r `  Z
)
155, 13, 14dvrcl 15464 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  e.  B )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  e.  B )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 20507 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
18 eqid 2286 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
19 eqid 2286 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  (
invr `  Z )
205, 18, 13, 19, 14dvrval 15463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2111, 12, 20syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2221adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  =  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
2322fveq2d 5491 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( x `  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) ) )
241, 3, 2dchrmhm 20476 . . . . . 6  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
25 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
2624, 25sseldi 3181 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
2711adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  B )
285, 13unitss 15438 . . . . . 6  |-  U  C_  B
2913, 19unitinvcl 15452 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  C  e.  U )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3010, 12, 29syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U )
3130adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3228, 31sseldi 3181 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  B
)
33 eqid 2286 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
3433, 5mgpbas 15327 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
3533, 18mgpplusg 15325 . . . . . 6  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
36 eqid 2286 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
37 cnfldmul 16381 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3836, 37mgpplusg 15325 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3934, 35, 38mhmlin 14418 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A  e.  B  /\  ( ( invr `  Z ) `  C
)  e.  B )  ->  ( x `  ( A ( .r `  Z ) ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )  =  ( ( x `
 A )  x.  ( x `  (
( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
4026, 27, 32, 39syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
41 eqid 2286 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
42 eqid 2286 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 20491 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
4412adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  U )
4513, 41unitgrpbas 15444 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
4613, 41, 19invrfval 15451 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  ( inv g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
47 cnfldbas 16379 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  ( Base ` fld )
48 cnfld0 16394 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
49 cndrng 16399 . . . . . . . . . 10  |-fld  e.  DivRing
5047, 48, 49drngui 15514 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
51 eqid 2286 . . . . . . . . 9  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
5250, 42, 51invrfval 15451 . . . . . . . 8  |-  ( invr ` fld )  =  ( inv g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5345, 46, 52ghminv 14686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  C  e.  U
)  ->  ( (
x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( (
invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
5443, 44, 53syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
55 fvres 5504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U  ->  ( ( x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
5631, 55syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( x `  ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )
57 fvres 5504 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  U  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5844, 57syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5958fveq2d 5491 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) ) )
601, 3, 2, 5, 25dchrf 20477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : B --> CC )
6128, 44sseldi 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  B )
62 ffvelrn 5626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x : B --> CC  /\  C  e.  B )  ->  ( x `  C
)  e.  CC )
6360, 61, 62syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  e.  CC )
641, 3, 2, 5, 13, 25, 61dchrn0 20485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  C
)  =/=  0  <->  C  e.  U ) )
6544, 64mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  =/=  0 )
66 cnfldinv 16401 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( x `  C ) )  =  ( 1  /  (
x `  C )
) )
6763, 65, 66syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) )  =  ( 1  / 
( x `  C
) ) )
68 recval 11802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( x `  C
) )  =  ( ( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) ) )
6963, 65, 68syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
( ( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 ) ) )
701, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 20495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( abs `  ( x `  C ) )  =  1 )
7170oveq1d 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
72 sq1 11194 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7371, 72syl6eq 2334 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  1 )
7473oveq2d 5837 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
1 ) )
7563cjcld 11677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
* `  ( x `  C ) )  e.  CC )
7675div1d 9525 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  1 )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7769, 74, 763eqtrd 2322 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7859, 67, 773eqtrd 2322 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
7954, 56, 783eqtr3d 2326 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
8079oveq2d 5837 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  A
)  x.  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) ) )
8123, 40, 803eqtrd 2322 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( ( x `  A
)  x.  ( * `
 ( x `  C ) ) ) )
8281sumeq2dv 12172 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  ( * `  ( x `  C
) ) ) )
835, 13, 14, 4dvreq1 15471 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  (
( A (/r `  Z
) C )  =  ( 1r `  Z
)  <->  A  =  C
) )
8410, 11, 12, 83syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z )  <->  A  =  C ) )
8584ifbid 3586 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r
`  Z ) ,  ( phi `  N
) ,  0 )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
8617, 82, 853eqtr3d 2326 1  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449    \ cdif 3152   ifcif 3568   {csn 3643    |` cres 4692   -->wf 5219   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732   0cc0 8734   1c1 8735    x. cmul 8739    / cdiv 9420   NNcn 9743   2c2 9792   NN0cn0 9962   ^cexp 11100   *ccj 11577   abscabs 11715   sum_csu 12154   phicphi 12828   Basecbs 13144   ↾s cress 13145   .rcmulr 13205   MndHom cmhm 14409    GrpHom cghm 14676  mulGrpcmgp 15321   Ringcrg 15333   CRingccrg 15334   1rcur 15335  Unitcui 15417   invrcinvr 15449  /rcdvr 15460  ℂfldccnfld 16373  ℤ/nczn 16450  DChrcdchr 20467
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  20657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-disj 3997  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-tpos 6197  df-rpss 6240  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-ec 6659  df-qs 6663  df-map 6771  df-pm 6772  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-acn 7572  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-word 11405  df-concat 11406  df-s1 11407  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-ef 12345  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-dvds 12528  df-gcd 12682  df-prm 12755  df-phi 12830  df-pc 12886  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-divs 13408  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-mhm 14411  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-mulg 14488  df-subg 14614  df-nsg 14615  df-eqg 14616  df-ghm 14677  df-gim 14719  df-ga 14740  df-cntz 14789  df-oppg 14815  df-od 14840  df-gex 14841  df-pgp 14842  df-lsm 14943  df-pj1 14944  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-cyg 15161  df-dprd 15229  df-dpj 15230  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-cring 15337  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-dvr 15461  df-rnghom 15492  df-drng 15510  df-subrg 15539  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lsp 15725  df-sra 15921  df-rgmod 15922  df-lidl 15923  df-rsp 15924  df-2idl 15980  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-zrh 16451  df-zn 16454  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-0p 19021  df-limc 19212  df-dv 19213  df-ply 19566  df-idp 19567  df-coe 19568  df-dgr 19569  df-quot 19667  df-log 19910  df-cxp 19911  df-dchr 20468
  Copyright terms: Public domain W3C validator