Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Unicode version

Theorem sum2dchr 20345
 Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of for fixed and all is if and otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g DChr
sum2dchr.d
sum2dchr.z ℤ/n
sum2dchr.b
sum2dchr.u Unit
sum2dchr.n
sum2dchr.a
sum2dchr.c
Assertion
Ref Expression
sum2dchr
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3 DChr
2 sum2dchr.d . . 3
3 sum2dchr.z . . 3 ℤ/n
4 eqid 2253 . . 3
5 sum2dchr.b . . 3
6 sum2dchr.n . . 3
76nnnn0d 9897 . . . . 5
83zncrng 16330 . . . . 5
9 crngrng 15186 . . . . 5
107, 8, 93syl 20 . . . 4
11 sum2dchr.a . . . 4
12 sum2dchr.c . . . 4
13 sum2dchr.u . . . . 5 Unit
14 eqid 2253 . . . . 5 /r /r
155, 13, 14dvrcl 15303 . . . 4 /r
1610, 11, 12, 15syl3anc 1187 . . 3 /r
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 20343 . 2 /r /r
18 eqid 2253 . . . . . . . 8
19 eqid 2253 . . . . . . . 8
205, 18, 13, 19, 14dvrval 15302 . . . . . . 7 /r
2111, 12, 20syl2anc 645 . . . . . 6 /r
2221adantr 453 . . . . 5 /r
2322fveq2d 5381 . . . 4 /r
241, 3, 2dchrmhm 20312 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
25 simpr 449 . . . . . 6
2624, 25sseldi 3101 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
2711adantr 453 . . . . 5
285, 13unitss 15277 . . . . . 6
2913, 19unitinvcl 15291 . . . . . . . 8
3010, 12, 29syl2anc 645 . . . . . . 7
3130adantr 453 . . . . . 6
3228, 31sseldi 3101 . . . . 5
33 eqid 2253 . . . . . . 7 mulGrp mulGrp
3433, 5mgpbas 15166 . . . . . 6 mulGrp
3533, 18mgpplusg 15164 . . . . . 6 mulGrp
36 eqid 2253 . . . . . . 7 mulGrpfld mulGrpfld
37 cnfldmul 16217 . . . . . . 7 fld
3836, 37mgpplusg 15164 . . . . . 6 mulGrpfld
3934, 35, 38mhmlin 14257 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
4026, 27, 32, 39syl3anc 1187 . . . 4
41 eqid 2253 . . . . . . . 8 mulGrps mulGrps
42 eqid 2253 . . . . . . . 8 mulGrpflds mulGrpflds
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 20327 . . . . . . 7 mulGrps mulGrpflds
4412adantr 453 . . . . . . 7
4513, 41unitgrpbas 15283 . . . . . . . 8 mulGrps
4613, 41, 19invrfval 15290 . . . . . . . 8 mulGrps
47 cnfldbas 16215 . . . . . . . . . 10 fld
48 cnfld0 16230 . . . . . . . . . 10 fld
49 cndrng 16235 . . . . . . . . . 10 fld
5047, 48, 49drngui 15353 . . . . . . . . 9 Unitfld
51 eqid 2253 . . . . . . . . 9 fld fld
5250, 42, 51invrfval 15290 . . . . . . . 8 fld mulGrpflds
5345, 46, 52ghminv 14525 . . . . . . 7 mulGrps mulGrpflds fld
5443, 44, 53syl2anc 645 . . . . . 6 fld
55 fvres 5394 . . . . . . 7
5631, 55syl 17 . . . . . 6
57 fvres 5394 . . . . . . . . 9
5844, 57syl 17 . . . . . . . 8
5958fveq2d 5381 . . . . . . 7 fld fld
601, 3, 2, 5, 25dchrf 20313 . . . . . . . . 9
6128, 44sseldi 3101 . . . . . . . . 9
62 ffvelrn 5515 . . . . . . . . 9
6360, 61, 62syl2anc 645 . . . . . . . 8
641, 3, 2, 5, 13, 25, 61dchrn0 20321 . . . . . . . . 9
6544, 64mpbird 225 . . . . . . . 8
66 cnfldinv 16237 . . . . . . . 8 fld
6763, 65, 66syl2anc 645 . . . . . . 7 fld
68 recval 11683 . . . . . . . . 9
6963, 65, 68syl2anc 645 . . . . . . . 8
701, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 20331 . . . . . . . . . . 11
7170oveq1d 5725 . . . . . . . . . 10
72 sq1 11076 . . . . . . . . . 10
7371, 72syl6eq 2301 . . . . . . . . 9
7473oveq2d 5726 . . . . . . . 8
7563cjcld 11558 . . . . . . . . 9
7675div1d 9408 . . . . . . . 8
7769, 74, 763eqtrd 2289 . . . . . . 7
7859, 67, 773eqtrd 2289 . . . . . 6 fld
7954, 56, 783eqtr3d 2293 . . . . 5
8079oveq2d 5726 . . . 4
8123, 40, 803eqtrd 2289 . . 3 /r
8281sumeq2dv 12053 . 2 /r
835, 13, 14, 4dvreq1 15310 . . . 4 /r
8410, 11, 12, 83syl3anc 1187 . . 3 /r
8584ifbid 3488 . 2 /r
8617, 82, 853eqtr3d 2293 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 6   wb 178   wa 360   wceq 1619   wcel 1621   wne 2412   cdif 3075  cif 3470  csn 3544   cres 4582  wf 4588  cfv 4592  (class class class)co 5710  cc 8615  cc0 8617  c1 8618   cmul 8622   cdiv 9303  cn 9626  c2 9675  cn0 9844  cexp 10982  ccj 11458  cabs 11596  csu 12035  cphi 12706  cbs 13022   ↾s cress 13023  cmulr 13083   MndHom cmhm 14248   cghm 14515  mulGrpcmgp 15160  crg 15172  ccrg 15173  cur 15174  Unitcui 15256  cinvr 15288  /rcdvr 15299  ℂfldccnfld 16209  ℤ/nℤczn 16286  DChrcdchr 20303 This theorem is referenced by:  rpvmasum2  20493 This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-rpss 6129  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-word 11286  df-concat 11287  df-s1 11288  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-phi 12708  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-divs 13286  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-gim 14558  df-ga 14579  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-od 14679  df-gex 14680  df-pgp 14681  df-lsm 14782  df-pj1 14783  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-cyg 15000  df-dprd 15068  df-dpj 15069  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-rnghom 15331  df-drng 15349  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-0p 18857  df-limc 19048  df-dv 19049  df-ply 19402  df-idp 19403  df-coe 19404  df-dgr 19405  df-quot 19503  df-log 19746  df-cxp 19747  df-dchr 20304
 Copyright terms: Public domain W3C validator