MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Unicode version

Theorem sum2dchr 20475
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  x ( A ) for fixed  A and all  x is  0 if  A  =  1 and  phi ( n ) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sum2dchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
sum2dchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
sum2dchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
sum2dchr.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
sum2dchr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
sum2dchr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
sum2dchr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
sum2dchr  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D    x, G    x, N    ph, x    x, Z
Allowed substitution hints:    B( x)    U( x)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 sum2dchr.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
3 sum2dchr.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2258 . . 3  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
5 sum2dchr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 sum2dchr.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 9985 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
83zncrng 16460 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
9 crngrng 15313 . . . . 5  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
11 sum2dchr.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 sum2dchr.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
13 sum2dchr.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  Z )
14 eqid 2258 . . . . 5  |-  (/r `  Z
)  =  (/r `  Z
)
155, 13, 14dvrcl 15430 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  e.  B )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  e.  B )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 20473 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
18 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
19 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  (
invr `  Z )
205, 18, 13, 19, 14dvrval 15429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2111, 12, 20syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2221adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  =  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
2322fveq2d 5462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( x `  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) ) )
241, 3, 2dchrmhm 20442 . . . . . 6  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
25 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
2624, 25sseldi 3153 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
2711adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  B )
285, 13unitss 15404 . . . . . 6  |-  U  C_  B
2913, 19unitinvcl 15418 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  C  e.  U )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3010, 12, 29syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U )
3130adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3228, 31sseldi 3153 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  B
)
33 eqid 2258 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
3433, 5mgpbas 15293 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
3533, 18mgpplusg 15291 . . . . . 6  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
36 eqid 2258 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
37 cnfldmul 16347 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3836, 37mgpplusg 15291 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3934, 35, 38mhmlin 14384 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A  e.  B  /\  ( ( invr `  Z ) `  C
)  e.  B )  ->  ( x `  ( A ( .r `  Z ) ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )  =  ( ( x `
 A )  x.  ( x `  (
( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
4026, 27, 32, 39syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
41 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
42 eqid 2258 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 20457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
4412adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  U )
4513, 41unitgrpbas 15410 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
4613, 41, 19invrfval 15417 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  ( inv g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
47 cnfldbas 16345 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  ( Base ` fld )
48 cnfld0 16360 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
49 cndrng 16365 . . . . . . . . . 10  |-fld  e.  DivRing
5047, 48, 49drngui 15480 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
51 eqid 2258 . . . . . . . . 9  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
5250, 42, 51invrfval 15417 . . . . . . . 8  |-  ( invr ` fld )  =  ( inv g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5345, 46, 52ghminv 14652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  C  e.  U
)  ->  ( (
x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( (
invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
5443, 44, 53syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
55 fvres 5475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U  ->  ( ( x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
5631, 55syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( x `  ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )
57 fvres 5475 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  U  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5844, 57syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5958fveq2d 5462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) ) )
601, 3, 2, 5, 25dchrf 20443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : B --> CC )
6128, 44sseldi 3153 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  B )
62 ffvelrn 5597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x : B --> CC  /\  C  e.  B )  ->  ( x `  C
)  e.  CC )
6360, 61, 62syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  e.  CC )
641, 3, 2, 5, 13, 25, 61dchrn0 20451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  C
)  =/=  0  <->  C  e.  U ) )
6544, 64mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  =/=  0 )
66 cnfldinv 16367 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( x `  C ) )  =  ( 1  /  (
x `  C )
) )
6763, 65, 66syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) )  =  ( 1  / 
( x `  C
) ) )
68 recval 11771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( x `  C
) )  =  ( ( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) ) )
6963, 65, 68syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
( ( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 ) ) )
701, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 20461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( abs `  ( x `  C ) )  =  1 )
7170oveq1d 5807 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
72 sq1 11164 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7371, 72syl6eq 2306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  1 )
7473oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
1 ) )
7563cjcld 11646 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
* `  ( x `  C ) )  e.  CC )
7675div1d 9496 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  1 )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7769, 74, 763eqtrd 2294 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7859, 67, 773eqtrd 2294 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
7954, 56, 783eqtr3d 2298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
8079oveq2d 5808 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  A
)  x.  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) ) )
8123, 40, 803eqtrd 2294 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( ( x `  A
)  x.  ( * `
 ( x `  C ) ) ) )
8281sumeq2dv 12141 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  ( * `  ( x `  C
) ) ) )
835, 13, 14, 4dvreq1 15437 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  (
( A (/r `  Z
) C )  =  ( 1r `  Z
)  <->  A  =  C
) )
8410, 11, 12, 83syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z )  <->  A  =  C ) )
8584ifbid 3557 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r
`  Z ) ,  ( phi `  N
) ,  0 )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
8617, 82, 853eqtr3d 2298 1  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421    \ cdif 3124   ifcif 3539   {csn 3614    |` cres 4663   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   0cc0 8705   1c1 8706    x. cmul 8710    / cdiv 9391   NNcn 9714   2c2 9763   NN0cn0 9932   ^cexp 11070   *ccj 11546   abscabs 11684   sum_csu 12123   phicphi 12794   Basecbs 13110   ↾s cress 13111   .rcmulr 13171   MndHom cmhm 14375    GrpHom cghm 14642  mulGrpcmgp 15287   Ringcrg 15299   CRingccrg 15300   1rcur 15301  Unitcui 15383   invrcinvr 15415  /rcdvr 15426  ℂfldccnfld 16339  ℤ/nczn 16416  DChrcdchr 20433
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  20623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-rpss 6211  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ec 6630  df-qs 6634  df-map 6742  df-pm 6743  df-ixp 6786  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-fi 7133  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-7 9777  df-8 9778  df-9 9779  df-10 9780  df-n0 9933  df-z 9992  df-dec 10092  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-mod 10940  df-seq 11013  df-exp 11071  df-fac 11255  df-bc 11282  df-hash 11304  df-word 11374  df-concat 11375  df-s1 11376  df-shft 11527  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-limsup 11910  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-ef 12311  df-sin 12313  df-cos 12314  df-pi 12316  df-divides 12494  df-gcd 12648  df-prime 12721  df-phi 12796  df-pc 12852  df-struct 13112  df-ndx 13113  df-slot 13114  df-base 13115  df-sets 13116  df-ress 13117  df-plusg 13183  df-mulr 13184  df-starv 13185  df-sca 13186  df-vsca 13187  df-tset 13189  df-ple 13190  df-ds 13192  df-hom 13194  df-cco 13195  df-rest 13289  df-topn 13290  df-topgen 13306  df-pt 13307  df-prds 13310  df-xrs 13365  df-0g 13366  df-gsum 13367  df-qtop 13372  df-imas 13373  df-divs 13374  df-xps 13375  df-mre 13450  df-mrc 13451  df-acs 13453  df-mnd 14329  df-mhm 14377  df-submnd 14378  df-grp 14451  df-minusg 14452  df-sbg 14453  df-mulg 14454  df-subg 14580  df-nsg 14581  df-eqg 14582  df-ghm 14643  df-gim 14685  df-ga 14706  df-cntz 14755  df-oppg 14781  df-od 14806  df-gex 14807  df-pgp 14808  df-lsm 14909  df-pj1 14910  df-cmn 15053  df-abl 15054  df-cyg 15127  df-dprd 15195  df-dpj 15196  df-mgp 15288  df-ring 15302  df-cring 15303  df-ur 15304  df-oppr 15367  df-dvdsr 15385  df-unit 15386  df-invr 15416  df-dvr 15427  df-rnghom 15458  df-drng 15476  df-subrg 15505  df-lmod 15591  df-lss 15652  df-lsp 15691  df-sra 15887  df-rgmod 15888  df-lidl 15889  df-rsp 15890  df-2idl 15946  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-cnfld 16340  df-zrh 16417  df-zn 16420  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-topsp 16602  df-cld 16718  df-ntr 16719  df-cls 16720  df-nei 16797  df-lp 16830  df-perf 16831  df-cn 16919  df-cnp 16920  df-haus 17005  df-tx 17219  df-hmeo 17408  df-fbas 17482  df-fg 17483  df-fil 17503  df-fm 17595  df-flim 17596  df-flf 17597  df-xms 17847  df-ms 17848  df-tms 17849  df-cncf 18344  df-0p 18987  df-limc 19178  df-dv 19179  df-ply 19532  df-idp 19533  df-coe 19534  df-dgr 19535  df-quot 19633  df-log 19876  df-cxp 19877  df-dchr 20434
  Copyright terms: Public domain W3C validator