MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sum2dchr Unicode version

Theorem sum2dchr 20513
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  x ( A ) for fixed  A and all  x is  0 if  A  =  1 and  phi ( n ) otherwise. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sum2dchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sum2dchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
sum2dchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
sum2dchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
sum2dchr.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
sum2dchr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
sum2dchr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
sum2dchr.c  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
Assertion
Ref Expression
sum2dchr  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D    x, G    x, N    ph, x    x, Z
Allowed substitution hints:    B( x)    U( x)

Proof of Theorem sum2dchr
StepHypRef Expression
1 sum2dchr.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 sum2dchr.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
3 sum2dchr.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2283 . . 3  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
5 sum2dchr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 sum2dchr.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
76nnnn0d 10018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
83zncrng 16498 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
9 crngrng 15351 . . . . 5  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
107, 8, 93syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
11 sum2dchr.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
12 sum2dchr.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
13 sum2dchr.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  Z )
14 eqid 2283 . . . . 5  |-  (/r `  Z
)  =  (/r `  Z
)
155, 13, 14dvrcl 15468 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  e.  B )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  e.  B )
171, 2, 3, 4, 5, 6, 16sumdchr 20511 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
18 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
19 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  (
invr `  Z )
205, 18, 13, 19, 14dvrval 15467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2111, 12, 20syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (/r `  Z
) C )  =  ( A ( .r
`  Z ) ( ( invr `  Z
) `  C )
) )
2221adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( A (/r `  Z ) C )  =  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
2322fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( x `  ( A ( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) ) )
241, 3, 2dchrmhm 20480 . . . . . 6  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
25 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
2624, 25sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )
2711adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  A  e.  B )
285, 13unitss 15442 . . . . . 6  |-  U  C_  B
2913, 19unitinvcl 15456 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  C  e.  U )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3010, 12, 29syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U )
3130adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  U
)
3228, 31sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr `  Z ) `  C )  e.  B
)
33 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
3433, 5mgpbas 15331 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
3533, 18mgpplusg 15329 . . . . . 6  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
36 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
37 cnfldmul 16385 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3836, 37mgpplusg 15329 . . . . . 6  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3934, 35, 38mhmlin 14422 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A  e.  B  /\  ( ( invr `  Z ) `  C
)  e.  B )  ->  ( x `  ( A ( .r `  Z ) ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )  =  ( ( x `
 A )  x.  ( x `  (
( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
4026, 27, 32, 39syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
( .r `  Z
) ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) ) ) )
41 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
42 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
431, 3, 2, 13, 41, 42, 25dchrghm 20495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
4412adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  U )
4513, 41unitgrpbas 15448 . . . . . . . 8  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
4613, 41, 19invrfval 15455 . . . . . . . 8  |-  ( invr `  Z )  =  ( inv g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
47 cnfldbas 16383 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  ( Base ` fld )
48 cnfld0 16398 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
49 cndrng 16403 . . . . . . . . . 10  |-fld  e.  DivRing
5047, 48, 49drngui 15518 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
51 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
5250, 42, 51invrfval 15455 . . . . . . . 8  |-  ( invr ` fld )  =  ( inv g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5345, 46, 52ghminv 14690 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  C  e.  U
)  ->  ( (
x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( (
invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
5443, 44, 53syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) ) )
55 fvres 5542 . . . . . . 7  |-  ( ( ( invr `  Z
) `  C )  e.  U  ->  ( ( x  |`  U ) `  ( ( invr `  Z
) `  C )
)  =  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )
5631, 55syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) )  =  ( x `  ( (
invr `  Z ) `  C ) ) )
57 fvres 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  U  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5844, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x  |`  U ) `
 C )  =  ( x `  C
) )
5958fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( ( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) ) )
601, 3, 2, 5, 25dchrf 20481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  x : B --> CC )
6128, 44sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  C  e.  B )
62 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x : B --> CC  /\  C  e.  B )  ->  ( x `  C
)  e.  CC )
6360, 61, 62syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  e.  CC )
641, 3, 2, 5, 13, 25, 61dchrn0 20489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  C
)  =/=  0  <->  C  e.  U ) )
6544, 64mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  C )  =/=  0 )
66 cnfldinv 16405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( ( invr ` fld ) `  ( x `  C ) )  =  ( 1  /  (
x `  C )
) )
6763, 65, 66syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( x `
 C ) )  =  ( 1  / 
( x `  C
) ) )
68 recval 11806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x `  C
)  e.  CC  /\  ( x `  C
)  =/=  0 )  ->  ( 1  / 
( x `  C
) )  =  ( ( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) ) )
6963, 65, 68syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
( ( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 ) ) )
701, 2, 25, 3, 13, 44dchrabs 20499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  ( abs `  ( x `  C ) )  =  1 )
7170oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
72 sq1 11198 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
7371, 72syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs `  (
x `  C )
) ^ 2 )  =  1 )
7473oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  ( ( abs `  ( x `
 C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( * `
 ( x `  C ) )  / 
1 ) )
7563cjcld 11681 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
* `  ( x `  C ) )  e.  CC )
7675div1d 9528 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( * `  (
x `  C )
)  /  1 )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7769, 74, 763eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
1  /  ( x `
 C ) )  =  ( * `  ( x `  C
) ) )
7859, 67, 773eqtrd 2319 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( invr ` fld ) `  ( ( x  |`  U ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
7954, 56, 783eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( ( invr `  Z ) `  C ) )  =  ( * `  (
x `  C )
) )
8079oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
( x `  A
)  x.  ( x `
 ( ( invr `  Z ) `  C
) ) )  =  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) ) )
8123, 40, 803eqtrd 2319 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  D )  ->  (
x `  ( A
(/r `  Z ) C ) )  =  ( ( x `  A
)  x.  ( * `
 ( x `  C ) ) ) )
8281sumeq2dv 12176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  ( A (/r `  Z ) C ) )  =  sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  ( * `  ( x `  C
) ) ) )
835, 13, 14, 4dvreq1 15475 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  A  e.  B  /\  C  e.  U )  ->  (
( A (/r `  Z
) C )  =  ( 1r `  Z
)  <->  A  =  C
) )
8410, 11, 12, 83syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r `  Z )  <->  A  =  C ) )
8584ifbid 3583 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( A (/r `  Z ) C )  =  ( 1r
`  Z ) ,  ( phi `  N
) ,  0 )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
8617, 82, 853eqtr3d 2323 1  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( ( x `  A )  x.  (
* `  ( x `  C ) ) )  =  if ( A  =  C ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   ifcif 3565   {csn 3640    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   *ccj 11581   abscabs 11719   sum_csu 12158   phicphi 12832   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   .rcmulr 13209   MndHom cmhm 14413    GrpHom cghm 14680  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   1rcur 15339  Unitcui 15421   invrcinvr 15453  /rcdvr 15464  ℂfldccnfld 16377  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  20661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-od 14844  df-gex 14845  df-pgp 14846  df-lsm 14947  df-pj1 14948  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-cyg 15165  df-dprd 15233  df-dpj 15234  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ply 19570  df-idp 19571  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-quot 19671  df-log 19914  df-cxp 19915  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator