MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr Unicode version

Theorem sumdchr 20564
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  x ( A ) for fixed  A and all  x is  0 if  A  =  1 and  phi ( n ) otherwise. Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sumdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
sumdchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
sumdchr.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
sumdchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
sumdchr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
sumdchr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
sumdchr  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  A
)  =  if ( A  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x,  .1.    x, A    x, D    x, N    x, G    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    Z( x)

Proof of Theorem sumdchr
StepHypRef Expression
1 sumdchr.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 sumdchr.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
3 sumdchr.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 sumdchr.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
5 sumdchr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 sumdchr.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 sumdchr.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sumdchr2 20562 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  A
)  =  if ( A  =  .1.  , 
( # `  D ) ,  0 ) )
91, 2dchrhash 20563 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  =  ( phi `  N
) )
106, 9syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  D
)  =  ( phi `  N ) )
1110ifeq1d 3613 . 2  |-  ( ph  ->  if ( A  =  .1.  ,  ( # `  D ) ,  0 )  =  if ( A  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
128, 11eqtrd 2348 1  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  A
)  =  if ( A  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1633    e. wcel 1701   ifcif 3599   ` cfv 5292   0cc0 8782   NNcn 9791   #chash 11384   sum_csu 12205   phicphi 12879   Basecbs 13195   1rcur 15388  ℤ/nczn 16510  DChrcdchr 20524
This theorem is referenced by:  sum2dchr  20566
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-disj 4031  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-rpss 6319  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6817  df-pm 6818  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-ioc 10708  df-ico 10709  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385  df-word 11456  df-concat 11457  df-s1 11458  df-shft 11609  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-limsup 11992  df-clim 12009  df-rlim 12010  df-sum 12206  df-ef 12396  df-sin 12398  df-cos 12399  df-pi 12401  df-dvds 12579  df-gcd 12733  df-prm 12806  df-phi 12881  df-pc 12937  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-divs 13461  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-nsg 14668  df-eqg 14669  df-ghm 14730  df-gim 14772  df-ga 14793  df-cntz 14842  df-oppg 14868  df-od 14893  df-gex 14894  df-pgp 14895  df-lsm 14996  df-pj1 14997  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-cyg 15214  df-dprd 15282  df-dpj 15283  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-cring 15390  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-invr 15503  df-rnghom 15545  df-subrg 15592  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-sra 15974  df-rgmod 15975  df-lidl 15976  df-rsp 15977  df-2idl 16033  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-fbas 16429  df-fg 16430  df-cnfld 16433  df-zrh 16511  df-zn 16514  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-ntr 16813  df-cls 16814  df-nei 16891  df-lp 16924  df-perf 16925  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-haus 17099  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-fil 17593  df-fm 17685  df-flim 17686  df-flf 17687  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-cncf 18434  df-0p 19078  df-limc 19269  df-dv 19270  df-ply 19623  df-idp 19624  df-coe 19625  df-dgr 19626  df-quot 19724  df-log 19967  df-cxp 19968  df-dchr 20525
  Copyright terms: Public domain W3C validator