MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr Unicode version

Theorem sumdchr 21039
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  x ( A ) for fixed  A and all  x is  0 if  A  =  1 and  phi ( n ) otherwise. Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sumdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
sumdchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
sumdchr.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
sumdchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
sumdchr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
sumdchr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
sumdchr  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  A
)  =  if ( A  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x,  .1.    x, A    x, D    x, N    x, G    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    Z( x)

Proof of Theorem sumdchr
StepHypRef Expression
1 sumdchr.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 sumdchr.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
3 sumdchr.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 sumdchr.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
5 sumdchr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 sumdchr.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 sumdchr.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sumdchr2 21037 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  A
)  =  if ( A  =  .1.  , 
( # `  D ) ,  0 ) )
91, 2dchrhash 21038 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  =  ( phi `  N
) )
106, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  D
)  =  ( phi `  N ) )
1110ifeq1d 3740 . 2  |-  ( ph  ->  if ( A  =  .1.  ,  ( # `  D ) ,  0 )  =  if ( A  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
128, 11eqtrd 2462 1  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  A
)  =  if ( A  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3726   ` cfv 5440   0cc0 8974   NNcn 9984   #chash 11601   sum_csu 12462   phicphi 13136   Basecbs 13452   1rcur 15645  ℤ/nczn 16764  DChrcdchr 20999
This theorem is referenced by:  sum2dchr  21041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-disj 4170  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-tpos 6465  df-rpss 6508  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-omul 6715  df-er 6891  df-ec 6893  df-qs 6897  df-map 7006  df-pm 7007  df-ixp 7050  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-fi 7402  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-acn 7813  df-cda 8032  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-ioo 10904  df-ioc 10905  df-ico 10906  df-icc 10907  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-fl 11185  df-mod 11234  df-seq 11307  df-exp 11366  df-fac 11550  df-bc 11577  df-hash 11602  df-word 11706  df-concat 11707  df-s1 11708  df-shft 11865  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-limsup 12248  df-clim 12265  df-rlim 12266  df-sum 12463  df-ef 12653  df-sin 12655  df-cos 12656  df-pi 12658  df-dvds 12836  df-gcd 12990  df-prm 13063  df-phi 13138  df-pc 13194  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-unif 13535  df-hom 13536  df-cco 13537  df-rest 13633  df-topn 13634  df-topgen 13650  df-pt 13651  df-prds 13654  df-xrs 13709  df-0g 13710  df-gsum 13711  df-qtop 13716  df-imas 13717  df-divs 13718  df-xps 13719  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-mnd 14673  df-mhm 14721  df-submnd 14722  df-grp 14795  df-minusg 14796  df-sbg 14797  df-mulg 14798  df-subg 14924  df-nsg 14925  df-eqg 14926  df-ghm 14987  df-gim 15029  df-ga 15050  df-cntz 15099  df-oppg 15125  df-od 15150  df-gex 15151  df-pgp 15152  df-lsm 15253  df-pj1 15254  df-cmn 15397  df-abl 15398  df-cyg 15471  df-dprd 15539  df-dpj 15540  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-cring 15647  df-ur 15648  df-oppr 15711  df-dvdsr 15729  df-unit 15730  df-invr 15760  df-rnghom 15802  df-subrg 15849  df-lmod 15935  df-lss 15992  df-lsp 16031  df-sra 16227  df-rgmod 16228  df-lidl 16229  df-rsp 16230  df-2idl 16286  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680  df-mopn 16681  df-fbas 16682  df-fg 16683  df-cnfld 16687  df-zrh 16765  df-zn 16768  df-top 16946  df-bases 16948  df-topon 16949  df-topsp 16950  df-cld 17066  df-ntr 17067  df-cls 17068  df-nei 17145  df-lp 17183  df-perf 17184  df-cn 17274  df-cnp 17275  df-haus 17362  df-tx 17577  df-hmeo 17770  df-fil 17861  df-fm 17953  df-flim 17954  df-flf 17955  df-xms 18333  df-ms 18334  df-tms 18335  df-cncf 18891  df-0p 19545  df-limc 19736  df-dv 19737  df-ply 20090  df-idp 20091  df-coe 20092  df-dgr 20093  df-quot 20191  df-log 20437  df-cxp 20438  df-dchr 21000
  Copyright terms: Public domain W3C validator