MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumdchr Unicode version

Theorem sumdchr 20343
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  x ( A ) for fixed  A and all  x is  0 if  A  =  1 and  phi ( n ) otherwise. Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdchr.g  |-  G  =  (DChr `  N )
sumdchr.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
sumdchr.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
sumdchr.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
sumdchr.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
sumdchr.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
sumdchr.a  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
sumdchr  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  A
)  =  if ( A  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    x,  .1.    x, A    x, D    x, N    x, G    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    Z( x)

Proof of Theorem sumdchr
StepHypRef Expression
1 sumdchr.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 sumdchr.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
3 sumdchr.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 sumdchr.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
5 sumdchr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 sumdchr.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 sumdchr.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sumdchr2 20341 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  A
)  =  if ( A  =  .1.  , 
( # `  D ) ,  0 ) )
91, 2dchrhash 20342 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 D )  =  ( phi `  N
) )
106, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( # `  D
)  =  ( phi `  N ) )
1110ifeq1d 3484 . 2  |-  ( ph  ->  if ( A  =  .1.  ,  ( # `  D ) ,  0 )  =  if ( A  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
128, 11eqtrd 2285 1  |-  ( ph  -> 
sum_ x  e.  D  ( x `  A
)  =  if ( A  =  .1.  , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3470   ` cfv 4592   0cc0 8617   NNcn 9626   #chash 11215   sum_csu 12035   phicphi 12706   Basecbs 13022   1rcur 15174  ℤ/nczn 16286  DChrcdchr 20303
This theorem is referenced by:  sum2dchr  20345
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-disj 3892  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-rpss 6129  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-acn 7459  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-word 11286  df-concat 11287  df-s1 11288  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-divides 12406  df-gcd 12560  df-prime 12633  df-phi 12708  df-pc 12764  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-divs 13286  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-mhm 14250  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-mulg 14327  df-subg 14453  df-nsg 14454  df-eqg 14455  df-ghm 14516  df-gim 14558  df-ga 14579  df-cntz 14628  df-oppg 14654  df-od 14679  df-gex 14680  df-pgp 14681  df-lsm 14782  df-pj1 14783  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-cyg 15000  df-dprd 15068  df-dpj 15069  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-cring 15176  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-rnghom 15331  df-subrg 15378  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-sra 15757  df-rgmod 15758  df-lidl 15759  df-rsp 15760  df-2idl 15816  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-zrh 16287  df-zn 16290  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-0p 18857  df-limc 19048  df-dv 19049  df-ply 19402  df-idp 19403  df-coe 19404  df-dgr 19405  df-quot 19503  df-log 19746  df-cxp 19747  df-dchr 20304
  Copyright terms: Public domain W3C validator