Theorem sumex 6927

Description: A sum is a set.

Assertion

Ref	Expression
sumex	|- sum_k e. A B e. V

Proof of Theorem sumex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sum 6926	. 2 |- sum_k e. A B = ({x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} u. U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)})
2		2rexuz 6386	. . . . 5 |- (E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))))
3	2	abbii 1572	. . . 4 |- {x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} = {x | E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))}
4		zex 6099	. . . . 5 |- ZZ e. V
5		fvex 3723	. . . . . . 7 |- ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) e. V
6		anass 439	. . . . . . . . . 10 |- (((m <_ n /\ A = (m...n)) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))))
7		ancom 435	. . . . . . . . . 10 |- (((m <_ n /\ A = (m...n)) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)) <-> (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n))))
8	6, 7	bitr3 175	. . . . . . . . 9 |- ((m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))) <-> (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n))))
9	8	abbii 1572	. . . . . . . 8 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} = {x | (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n)))}
10		ssab2 2126	. . . . . . . 8 |- {x | (x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n) /\ (m <_ n /\ A = (m...n)))} (_ ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)
11	9, 10	eqsstr 2087	. . . . . . 7 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} (_ ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)
12	5, 11	ssexi 2715	. . . . . 6 |- {x | (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. V
13	4, 12	abrexex2 3862	. . . . 5 |- {x | E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. V
14	4, 13	abrexex2 3862	. . . 4 |- {x | E.m e. ZZ E.n e. ZZ (m <_ n /\ (A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n)))} e. V
15	3, 14	eqeltr 1541	. . 3 |- {x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} e. V
16		abid2 1577	. . . . . . 7 |- {x | x e. CC} = CC
17		axcnex 5247	. . . . . . 7 |- CC e. V
18	16, 17	eqeltr 1541	. . . . . 6 |- {x | x e. CC} e. V
19		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- x e. V
20		climcl 6924	. . . . . . . . 9 |- ((x e. V /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x) -> x e. CC)
21	19, 20	mpan 694	. . . . . . . 8 |- ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x -> x e. CC)
22	21	adantl 388	. . . . . . 7 |- ((A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x) -> x e. CC)
23	22	ss2abi 2116	. . . . . 6 |- {x | (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} (_ {x | x e. CC}
24	18, 23	ssexi 2715	. . . . 5 |- {x | (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. V
25	4, 24	abrexex2 3862	. . . 4 |- {x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. V
26	25	uniex 2865	. . 3 |- U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)} e. V
27	15, 26	unex 2867	. 2 |- ({x | E.mE.n e. (ZZ>` m)(A = (m...n) /\ x e. ((<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ))` n))} u. U.{x | E.m e. ZZ (A = (ZZ>` m) /\ (<.m, + >. seq ({<.k, y>. | y = B} |` ZZ)) ~~> x)}) e. V
28	1, 27	eqeltr 1541	1 |- sum_k e. A B e. V

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461  E.wrex 1643  Vcvv 1807   u. cun 2041  <.cop 2407  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  {copab 2661   |` cres 3167  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212   + caddc 5217   <_ cle 5275  ZZcz 5278  ZZ>cuz 6357  ...cfz 6407   seq cseqz 6471   ~~> cli 6920  sum_csu 6925

This theorem is referenced by:  isum1p 7149  iserzgt0 7154  isummulc1 7155  isumcmpi 7158  isumsplit 7159  fsum0diaglem2 7200  fsum0diag 7201  efvalt 7258  eff 7263  efaddlem26 7313  efaddlem27 7314  ef1tllem 7331  ef01tllem1 7333  ef01tllem2 7334  absef01tllem 7336  reeff1o 7376  fsumcnlem 7939

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-enr 5146  df-nr 5147  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224  df-neg 5338  df-z 6091  df-uz 6358  df-clim 6921  df-sum 6926

Copyright terms: Public domain