Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumpair Unicode version

Theorem sumpair 27029
Description: Sum of two distinct complex values. The class expression for  A and  B normally contain free variable  k to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumpair.1  |-  ( ph  -> 
F/_ k D )
sumpair.3  |-  ( ph  -> 
F/_ k E )
sumupair.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
sumupair.2  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
sumupair.3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
sumupair.4  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
sumupair.5  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
sumupair.8  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  C  =  D )
sumupair.9  |-  ( (
ph  /\  k  =  B )  ->  C  =  E )
Assertion
Ref Expression
sumpair  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k
Allowed substitution hints:    C( k)    D( k)    E( k)    V( k)    W( k)

Proof of Theorem sumpair
StepHypRef Expression
1 sumupair.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
2 disjsn2 3770 . . . 4  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
31, 2syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  i^i  { B } )  =  (/) )
4 df-pr 3723 . . . 4  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
54a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } ) )
6 prfi 7218 . . . 4  |-  { A ,  B }  e.  Fin
76a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  { A ,  B }  e.  Fin )
8 elpri 3736 . . . . 5  |-  ( k  e.  { A ,  B }  ->  ( k  =  A  \/  k  =  B ) )
98adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A ,  B }
)  ->  ( k  =  A  \/  k  =  B ) )
10 sumupair.8 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  C  =  D )
11 sumupair.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
1211adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  D  e.  CC )
1310, 12eqeltrd 2432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  =  A )  ->  C  e.  CC )
14 sumupair.9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  B )  ->  C  =  E )
15 sumupair.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
1615adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  B )  ->  E  e.  CC )
1714, 16eqeltrd 2432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  =  B )  ->  C  e.  CC )
1813, 17jaodan 760 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  =  A  \/  k  =  B ) )  ->  C  e.  CC )
199, 18syldan 456 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { A ,  B }
)  ->  C  e.  CC )
203, 5, 7, 19fsumsplit 12303 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C
) )
21 sumpair.1 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ k D )
22 nfv 1619 . . . 4  |-  F/ k
ph
23 sumupair.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
2421, 22, 10, 23, 11sumsnd 27020 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A } C  =  D )
25 sumpair.3 . . . 4  |-  ( ph  -> 
F/_ k E )
26 sumupair.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
2725, 22, 14, 26, 15sumsnd 27020 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { B } C  =  E )
2824, 27oveq12d 5960 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  { A } C  +  sum_ k  e.  { B } C )  =  ( D  +  E ) )
2920, 28eqtrd 2390 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { A ,  B } C  =  ( D  +  E ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   F/_wnfc 2481    =/= wne 2521    u. cun 3226    i^i cin 3227   (/)c0 3531   {csn 3716   {cpr 3717  (class class class)co 5942   Fincfn 6948   CCcc 8822    + caddc 8827   sum_csu 12249
This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  27031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-rp 10444  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-clim 12052  df-sum 12250
  Copyright terms: Public domain W3C validator