Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumsnd Structured version   Unicode version

Theorem sumsnd 27674
Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 12535. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnd.1  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
sumsnd.2  |-  F/ k
ph
sumsnd.3  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
sumsnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
sumsnd.5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sumsnd  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable group:    k, M
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)    V( k)

Proof of Theorem sumsnd
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2573 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3284 . . . 4  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3260 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 12492 . . 3  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3255 . . . 4  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 10012 . . . . 5  |-  1  e.  NN
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
8 sumsnd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5717 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 10312 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 11095 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5667 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 3839 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 3258 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A
)
19 sumsnd.2 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
20 sumsnd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
21 sumsnd.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
2219, 20, 8, 21csbiedf 3289 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
2322adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
24 sumsnd.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2524adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2623, 25eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2718, 26eqeltrd 2511 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2822adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
29 elfz1eq 11069 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
3029fveq2d 5733 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
31 fvsng 5928 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
326, 8, 31sylancr 646 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3330, 32sylan9eqr 2491 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  M )
3433csbeq1d 3258 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3529fveq2d 5733 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
36 fvsng 5928 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
376, 24, 36sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3835, 37sylan9eqr 2491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  B )
3928, 34, 383eqtr4rd 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
405, 7, 15, 27, 39fsum 12515 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1
) )
414, 40syl5eq 2481 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
4211, 37seq1i 11338 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1 )  =  B )
4341, 42eqtrd 2469 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   F/wnf 1554    = wceq 1653    e. wcel 1726   F/_wnfc 2560   [_csb 3252   {csn 3815   <.cop 3818   -1-1-onto->wf1o 5454   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   1c1 8992    + caddc 8994   NNcn 10001   ZZcz 10283   ...cfz 11044    seq cseq 11324   sum_csu 12480
This theorem is referenced by:  sumpair  27683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481
  Copyright terms: Public domain W3C validator