Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sumsnd Unicode version

Theorem sumsnd 27109
Description: A sum of a singleton is the term. The deduction version of sumsn 12213. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sumsnd.1  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
sumsnd.2  |-  F/ k
ph
sumsnd.3  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
sumsnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
sumsnd.5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
sumsnd  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Distinct variable group:    k, M
Allowed substitution hints:    ph( k)    A( k)    B( k)    V( k)

Proof of Theorem sumsnd
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2419 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3113 . . . 4  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ A
3 csbeq1a 3089 . . . 4  |-  ( k  =  m  ->  A  =  [_ m  /  k ]_ A )
41, 2, 3cbvsumi 12170 . . 3  |-  sum_ k  e.  { M } A  =  sum_ m  e.  { M } [_ m  / 
k ]_ A
5 csbeq1 3084 . . . 4  |-  ( m  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 n )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
6 1nn 9757 . . . . 5  |-  1  e.  NN
76a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
8 sumsnd.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  V )
9 f1osng 5514 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
106, 8, 9sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
11 1z 10053 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
12 fzsn 10833 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (
1 ... 1 )  =  { 1 } )
13 f1oeq2 5464 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... 1 )  =  { 1 }  ->  ( { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M }  <->  { <. 1 ,  M >. } : {
1 } -1-1-onto-> { M } ) )
1411, 12, 13mp2b 9 . . . . 5  |-  ( {
<. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } 
<->  { <. 1 ,  M >. } : { 1 } -1-1-onto-> { M } )
1510, 14sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. 1 ,  M >. } : ( 1 ... 1 ) -1-1-onto-> { M } )
16 elsni 3664 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { M }  ->  m  =  M )
1716adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  m  =  M )
1817csbeq1d 3087 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A
)
19 sumsnd.2 . . . . . . . 8  |-  F/ k
ph
20 sumsnd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
F/_ k B )
21 sumsnd.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  =  M )  ->  A  =  B )
2219, 20, 8, 21csbiedf 3118 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
2322adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B
)
24 sumsnd.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2524adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  B  e.  CC )
2623, 25eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ M  /  k ]_ A  e.  CC )
2718, 26eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  { M } )  ->  [_ m  /  k ]_ A  e.  CC )
2822adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ M  /  k ]_ A  =  B )
29 elfz1eq 10807 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  n  =  1 )
3029fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  M >. } `
 1 ) )
31 fvsng 5714 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  M  e.  V )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
326, 8, 31sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  1
)  =  M )
3330, 32sylan9eqr 2337 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  =  M )
3433csbeq1d 3087 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  [_ ( { <. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A  =  [_ M  /  k ]_ A )
3529fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 1 ... 1 )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  ( { <. 1 ,  B >. } `
 1 ) )
36 fvsng 5714 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
376, 24, 36sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  1
)  =  B )
3835, 37sylan9eqr 2337 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  B )
3928, 34, 383eqtr4rd 2326 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... 1
) )  ->  ( { <. 1 ,  B >. } `  n )  =  [_ ( {
<. 1 ,  M >. } `  n )  /  k ]_ A
)
405, 7, 15, 27, 39fsum 12193 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  { M } [_ m  /  k ]_ A  =  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1
) )
414, 40syl5eq 2327 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) ` 
1 ) )
4211, 37seq1i 11060 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  { <. 1 ,  B >. } ) `  1 )  =  B )
4341, 42eqtrd 2315 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1684   F/_wnfc 2406   [_csb 3081   {csn 3640   <.cop 3643   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   ZZcz 10024   ...cfz 10782    seq cseq 11046   sum_csu 12158
This theorem is referenced by:  sumpair  27118
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159
  Copyright terms: Public domain W3C validator