Theorem sumsqne0 6573

Description: The sum of two squares is nonzero iff one of its terms is nonzero.

Hypotheses

Ref	Expression
sumsqne0.1	|- A e. RR
sumsqne0.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
sumsqne0	|- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)

Proof of Theorem sumsqne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumsqne0.1	. . . . 5 |- A e. RR
2	1	sqgt0 6566	. . . 4 |- (A =/= 0 -> 0 < (A^2))
3		sumsqne0.2	. . . . . . 7 |- B e. RR
4	3	sqge0 6567	. . . . . 6 |- 0 <_ (B^2)
5	1	resqcl 6562	. . . . . . 7 |- (A^2) e. RR
6	3	resqcl 6562	. . . . . . 7 |- (B^2) e. RR
7		addge01t 5653	. . . . . . 7 |- (((A^2) e. RR /\ (B^2) e. RR) -> (0 <_ (B^2) <-> (A^2) <_ ((A^2) + (B^2))))
8	5, 6, 7	mp2an 696	. . . . . 6 |- (0 <_ (B^2) <-> (A^2) <_ ((A^2) + (B^2)))
9	4, 8	mpbi 189	. . . . 5 |- (A^2) <_ ((A^2) + (B^2))
10		0re 5420	. . . . . 6 |- 0 e. RR
11	5, 6	readdcl 5314	. . . . . 6 |- ((A^2) + (B^2)) e. RR
12	10, 5, 11	ltletr 5569	. . . . 5 |- ((0 < (A^2) /\ (A^2) <_ ((A^2) + (B^2))) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
13	9, 12	mpan2 695	. . . 4 |- (0 < (A^2) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
14	11	gt0ne0 5593	. . . 4 |- (0 < ((A^2) + (B^2)) -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
15	2, 13, 14	3syl 20	. . 3 |- (A =/= 0 -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
16	3	sqgt0 6566	. . . 4 |- (B =/= 0 -> 0 < (B^2))
17	1	sqge0 6567	. . . . . 6 |- 0 <_ (A^2)
18		addge02t 5654	. . . . . . 7 |- (((B^2) e. RR /\ (A^2) e. RR) -> (0 <_ (A^2) <-> (B^2) <_ ((A^2) + (B^2))))
19	6, 5, 18	mp2an 696	. . . . . 6 |- (0 <_ (A^2) <-> (B^2) <_ ((A^2) + (B^2)))
20	17, 19	mpbi 189	. . . . 5 |- (B^2) <_ ((A^2) + (B^2))
21	10, 6, 11	ltletr 5569	. . . . 5 |- ((0 < (B^2) /\ (B^2) <_ ((A^2) + (B^2))) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
22	20, 21	mpan2 695	. . . 4 |- (0 < (B^2) -> 0 < ((A^2) + (B^2)))
23	16, 22, 14	3syl 20	. . 3 |- (B =/= 0 -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
24	15, 23	jaoi 341	. 2 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) -> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)
25		opreq1 3959	. . . . . 6 |- (A = 0 -> (A^2) = (0^2))
26		opreq1 3959	. . . . . 6 |- (B = 0 -> (B^2) = (0^2))
27	25, 26	opreqan12d 3970	. . . . 5 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> ((A^2) + (B^2)) = ((0^2) + (0^2)))
28		2nn 5954	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
29		0expt 6529	. . . . . . . 8 |- (2 e. NN -> (0^2) = 0)
30	28, 29	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0^2) = 0
31	30, 30	opreq12i 3964	. . . . . 6 |- ((0^2) + (0^2)) = (0 + 0)
32		0cn 5308	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
33	32	addid1 5310	. . . . . 6 |- (0 + 0) = 0
34	31, 33	eqtr 1492	. . . . 5 |- ((0^2) + (0^2)) = 0
35	27, 34	syl6eq 1520	. . . 4 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> ((A^2) + (B^2)) = 0)
36	35	con3i 98	. . 3 |- (-. ((A^2) + (B^2)) = 0 -> -. (A = 0 /\ B = 0))
37		df-ne 1584	. . 3 |- (((A^2) + (B^2)) =/= 0 <-> -. ((A^2) + (B^2)) = 0)
38		neorian 1637	. . 3 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
39	36, 37, 38	3imtr4 219	. 2 |- (((A^2) + (B^2)) =/= 0 -> (A =/= 0 \/ B =/= 0))
40	24, 39	impbi 157	1 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> ((A^2) + (B^2)) =/= 0)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214   + caddc 5217   <_ cle 5275  NNcn 5276   < clt 5466  2c2 5916  ^cexp 6508

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain