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Theorem supcvg 12330
Description: Extract a sequence  f in  X such that the image of the points in the bounded set  A converges to the supremum  S of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 8077. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1  |-  X  e. 
_V
supcvg.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
supcvg.3  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
supcvg.4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
supcvg.5  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
supcvg.6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
supcvg.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
Assertion
Ref Expression
supcvg  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, n, ph    R, f, x    f, X, x   
x, y, A    S, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( f, n)    R( y, n)    S( x, y, f)    F( y, n)    X( y, n)

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables  k  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
21oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
4 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  e. 
_V
52, 3, 4fvmpt 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( R `  k )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
65adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( S  -  (
1  /  k ) ) )
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
11 fof 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> A  ->  F : X --> A )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : X --> A )
13 feq3 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F : X --> A  <->  F : X
--> (/) ) )
1412, 13syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  F : X --> (/) ) )
15 f00 5442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X --> (/)  <->  ( F  =  (/)  /\  X  =  (/) ) )
1615simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X --> (/)  ->  X  =  (/) )
1714, 16syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  X  =  (/) ) )
1817necon3d 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
199, 18mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
218, 19, 203jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
22 suprcl 9730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
247, 23syl5eqel 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
25 nnrp 10379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2625rpreccld 10416 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
27 ltsubrp 10401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  ( S  -  (
1  /  k ) )  <  S )
2824, 26, 27syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  < 
S )
296, 28eqbrtrd 4059 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  < 
S )
3029, 7syl6breq 4078 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3121adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
32 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
33 resubcl 9127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR )  ->  ( S  -  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
3424, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3534, 3fmptd 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R : NN --> RR )
36 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `  k
)  e.  RR )
3735, 36sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  e.  RR )
38 suprlub 9732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( R `
 k )  e.  RR )  ->  (
( R `  k
)  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z ) )
3931, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( R `  k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
) )
4030, 39mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
)
4137adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  ( R `  k )  e.  RR )
428adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4342sselda 3193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
44 ltle 8926 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  k
)  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( R `  k )  <  z  ->  ( R `  k
)  <_  z )
)
4541, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  (
( R `  k
)  <  z  ->  ( R `  k )  <_  z ) )
4645reximdva 2668 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
) )
4740, 46mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
)
48 forn 5470 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -onto-> A  ->  ran  F  =  A )
4910, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  A )
5049rexeqdv 2756 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z ) )
51 ffn 5405 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> A  ->  F  Fn  X )
52 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  (
( R `  k
)  <_  z  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5352rexrn 5683 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  X  ->  ( E. z  e.  ran  F ( R `  k
)  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5412, 51, 533syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5550, 54bitr3d 246 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5655adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5747, 56mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
)
5857ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) )
59 supcvg.1 . . . 4  |-  X  e. 
_V
60 nnenom 11058 . . . 4  |-  NN  ~~  om
61 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( f `  k
) ) )
6261breq2d 4051 . . . 4  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  x )  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) ) )
6359, 60, 62axcc4 8081 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
6458, 63syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
65 nnuz 10279 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
66 1z 10069 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6766a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  1  e.  ZZ )
6866a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6924recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
7065eqimss2i 3246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
71 nnex 9768 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
7270, 71climconst2 12038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7369, 66, 72sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7471mptex 5762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
753, 74eqeltri 2366 . . . . . . . . . 10  |-  R  e. 
_V
7675a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
77 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
78 divcnv 12328 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
7977, 78mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
80 fvconst2g 5743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k )  =  S )
8124, 80sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  =  S )
8269adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  S  e.  CC )
8381, 82eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  e.  CC )
84 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
85 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
861, 84, 85fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
8786adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
88 nnrecre 9798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
8988recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
9089adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  CC )
9187, 90eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  e.  CC )
9281, 87oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )  =  ( S  -  ( 1  / 
k ) ) )
936, 92eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { S }
) `  k )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `
 k ) ) )
9465, 68, 73, 76, 79, 83, 91, 93climsub 12123 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  ~~>  ( S  - 
0 ) )
9569subid1d 9162 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  -  0 )  =  S )
9694, 95breqtrd 4063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  ~~>  S )
9796ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R  ~~>  S )
9812ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F : X --> A )
99 fex 5765 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> A  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
10098, 59, 99sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F  e.  _V )
101 vex 2804 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
102 coexg 5231 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  _V  /\  f  e.  _V )  ->  ( F  o.  f
)  e.  _V )
103100, 101, 102sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  e.  _V )
10435ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R : NN --> RR )
105 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( R : NN --> RR  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m
)  e.  RR )
106104, 105sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  e.  RR )
107 fss 5413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> A  /\  A  C_  RR )  ->  F : X --> RR )
10812, 8, 107syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
109 fco 5414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  f : NN --> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
110108, 109sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
111110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
112 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  f
) : NN --> RR  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m
)  e.  RR )
113111, 112sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  e.  RR )
114 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( R `  k )  =  ( R `  m ) )
115 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
f `  k )  =  ( f `  m ) )
116115fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  ( f `  k ) )  =  ( F `  (
f `  m )
) )
117114, 116breq12d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  ( f `  k
) )  <->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) ) )
118117rspccva 2896 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  (
f `  m )
) )
119118adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) )
120 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  f : NN --> X )
121 fvco3 5612 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> X  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m
)  =  ( F `
 ( f `  m ) ) )
122120, 121sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  =  ( F `  ( f `
 m ) ) )
123119, 122breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  (
( F  o.  f
) `  m )
)
12421ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
125 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> X  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m
)  e.  X )
126120, 125sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m )  e.  X
)
127 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X --> A  /\  ( f `  m
)  e.  X )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
12898, 127sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  ( f `  m )  e.  X
)  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
129126, 128syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
130 suprub 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( F `
 ( f `  m ) )  e.  A )  ->  ( F `  ( f `  m ) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
131124, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
132131, 7syl6breqr 4079 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  S
)
133122, 132eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  <_  S
)
13465, 67, 97, 103, 106, 113, 123, 133climsqz 12130 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S )
135134ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S ) )
136135imdistanda 674 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  (
f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) ) )
137136eximdv 1612 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  E. f
( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f )  ~~>  S ) ) )
13864, 137mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370    ~~> cli 11974
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979
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