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Theorem supcvg 12623
Description: Extract a sequence  f in  X such that the image of the points in the bounded set  A converges to the supremum  S of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 8304. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1  |-  X  e. 
_V
supcvg.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
supcvg.3  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
supcvg.4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
supcvg.5  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
supcvg.6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
supcvg.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
Assertion
Ref Expression
supcvg  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, n, ph    R, f, x    f, X, x   
x, y, A    S, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( f, n)    R( y, n)    S( x, y, f)    F( y, n)    X( y, n)

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables  k  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
21oveq2d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
4 ovex 6097 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  e. 
_V
52, 3, 4fvmpt 5797 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( R `  k )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
65adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( S  -  (
1  /  k ) ) )
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
11 fof 5644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> A  ->  F : X --> A )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : X --> A )
13 feq3 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F : X --> A  <->  F : X
--> (/) ) )
1412, 13syl5ibcom 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  F : X --> (/) ) )
15 f00 5619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X --> (/)  <->  ( F  =  (/)  /\  X  =  (/) ) )
1615simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X --> (/)  ->  X  =  (/) )
1714, 16syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  X  =  (/) ) )
1817necon3d 2636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
199, 18mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
218, 19, 203jca 1134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
22 suprcl 9957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
247, 23syl5eqel 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
25 nnrp 10610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2625rpreccld 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
27 ltsubrp 10632 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  ( S  -  (
1  /  k ) )  <  S )
2824, 26, 27syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  < 
S )
296, 28eqbrtrd 4224 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  < 
S )
3029, 7syl6breq 4243 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3121adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
32 nnrecre 10025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
33 resubcl 9354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR )  ->  ( S  -  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
3424, 32, 33syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3534, 3fmptd 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R : NN --> RR )
3635ffvelrnda 5861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  e.  RR )
37 suprlub 9959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( R `
 k )  e.  RR )  ->  (
( R `  k
)  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z ) )
3831, 36, 37syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( R `  k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
) )
3930, 38mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
)
4036adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  ( R `  k )  e.  RR )
418adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4241sselda 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
43 ltle 9152 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  k
)  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( R `  k )  <  z  ->  ( R `  k
)  <_  z )
)
4440, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  (
( R `  k
)  <  z  ->  ( R `  k )  <_  z ) )
4544reximdva 2810 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
) )
4639, 45mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
)
47 forn 5647 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -onto-> A  ->  ran  F  =  A )
4810, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  A )
4948rexeqdv 2903 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z ) )
50 ffn 5582 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> A  ->  F  Fn  X )
51 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  (
( R `  k
)  <_  z  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5251rexrn 5863 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  X  ->  ( E. z  e.  ran  F ( R `  k
)  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5312, 50, 523syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5449, 53bitr3d 247 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5554adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5646, 55mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
)
5756ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) )
58 supcvg.1 . . . 4  |-  X  e. 
_V
59 nnenom 11307 . . . 4  |-  NN  ~~  om
60 fveq2 5719 . . . . 5  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( f `  k
) ) )
6160breq2d 4216 . . . 4  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  x )  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) ) )
6258, 59, 61axcc4 8308 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
6357, 62syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
64 nnuz 10510 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65 1z 10300 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6665a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  1  e.  ZZ )
6765a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6824recnd 9103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
6964eqimss2i 3395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
70 nnex 9995 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
7169, 70climconst2 12330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7268, 65, 71sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7370mptex 5957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
743, 73eqeltri 2505 . . . . . . . . . 10  |-  R  e. 
_V
7574a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
76 ax-1cn 9037 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
77 divcnv 12621 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
7876, 77mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
79 fvconst2g 5936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k )  =  S )
8024, 79sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  =  S )
8168adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  S  e.  CC )
8280, 81eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  e.  CC )
83 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
84 ovex 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
851, 83, 84fvmpt 5797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
8685adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
87 nnrecre 10025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
8887recnd 9103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
8988adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  CC )
9086, 89eqeltrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  e.  CC )
9180, 86oveq12d 6090 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )  =  ( S  -  ( 1  / 
k ) ) )
926, 91eqtr4d 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { S }
) `  k )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `
 k ) ) )
9364, 67, 72, 75, 78, 82, 90, 92climsub 12415 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  ~~>  ( S  - 
0 ) )
9468subid1d 9389 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  -  0 )  =  S )
9593, 94breqtrd 4228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  ~~>  S )
9695ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R  ~~>  S )
9712ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F : X --> A )
98 fex 5960 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> A  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
9997, 58, 98sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F  e.  _V )
100 vex 2951 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
101 coexg 5403 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  _V  /\  f  e.  _V )  ->  ( F  o.  f
)  e.  _V )
10299, 100, 101sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  e.  _V )
10335ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R : NN --> RR )
104103ffvelrnda 5861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  e.  RR )
105 fss 5590 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> A  /\  A  C_  RR )  ->  F : X --> RR )
10612, 8, 105syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
107 fco 5591 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  f : NN --> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
108106, 107sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
109108adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
110109ffvelrnda 5861 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  e.  RR )
111 fveq2 5719 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( R `  k )  =  ( R `  m ) )
112 fveq2 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
f `  k )  =  ( f `  m ) )
113112fveq2d 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  ( f `  k ) )  =  ( F `  (
f `  m )
) )
114111, 113breq12d 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  ( f `  k
) )  <->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) ) )
115114rspccva 3043 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  (
f `  m )
) )
116115adantll 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) )
117 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  f : NN --> X )
118 fvco3 5791 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> X  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m
)  =  ( F `
 ( f `  m ) ) )
119117, 118sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  =  ( F `  ( f `
 m ) ) )
120116, 119breqtrrd 4230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  (
( F  o.  f
) `  m )
)
12121ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
122117ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m )  e.  X
)
12397ffvelrnda 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  ( f `  m )  e.  X
)  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
124122, 123syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
125 suprub 9958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( F `
 ( f `  m ) )  e.  A )  ->  ( F `  ( f `  m ) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
126121, 124, 125syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
127126, 7syl6breqr 4244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  S
)
128119, 127eqbrtrd 4224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  <_  S
)
12964, 66, 96, 102, 104, 110, 120, 128climsqz 12422 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S )
130129ex 424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S ) )
131130imdistanda 675 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  (
f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) ) )
132131eximdv 1632 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  E. f
( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f )  ~~>  S ) ) )
13363, 132mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4867   ran crn 4870    o. ccom 4873    Fn wfn 5440   -->wf 5441   -onto->wfo 5443   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   supcsup 7436   CCcc 8977   RRcr 8978   0cc0 8979   1c1 8980    < clt 9109    <_ cle 9110    - cmin 9280    / cdiv 9666   NNcn 9989   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   RR+crp 10601    ~~> cli 12266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-rlim 12271
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