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Theorem supcvg 12314
Description: Extract a sequence  f in  X such that the image of the points in the bounded set  A converges to the supremum  S of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 8061. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supcvg.1  |-  X  e. 
_V
supcvg.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
supcvg.3  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
supcvg.4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
supcvg.5  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
supcvg.6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
supcvg.7  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
Assertion
Ref Expression
supcvg  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Distinct variable groups:    x, f, F    f, n, ph    R, f, x    f, X, x   
x, y, A    S, n
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( f, n)    R( y, n)    S( x, y, f)    F( y, n)    X( y, n)

Proof of Theorem supcvg
Dummy variables  k  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
21oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  k  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
3 supcvg.3 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  (
1  /  n ) ) )
4 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  e. 
_V
52, 3, 4fvmpt 5602 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( R `  k )  =  ( S  -  ( 1  /  k
) ) )
65adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( S  -  (
1  /  k ) ) )
7 supcvg.2 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
8 supcvg.6 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
9 supcvg.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
10 supcvg.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  F : X -onto-> A
)
11 fof 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : X -onto-> A  ->  F : X --> A )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : X --> A )
13 feq3 5377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F : X --> A  <->  F : X
--> (/) ) )
1412, 13syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  F : X --> (/) ) )
15 f00 5426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : X --> (/)  <->  ( F  =  (/)  /\  X  =  (/) ) )
1615simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : X --> (/)  ->  X  =  (/) )
1714, 16syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  X  =  (/) ) )
1817necon3d 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  (/)  ->  A  =/=  (/) ) )
199, 18mpd 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
20 supcvg.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
218, 19, 203jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
22 suprcl 9714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
247, 23syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
25 nnrp 10363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR+ )
2625rpreccld 10400 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR+ )
27 ltsubrp 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR+ )  ->  ( S  -  (
1  /  k ) )  <  S )
2824, 26, 27syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  / 
k ) )  < 
S )
296, 28eqbrtrd 4043 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  < 
S )
3029, 7syl6breq 4062 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
3121adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A 
C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
32 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1  /  n )  e.  RR )
33 resubcl 9111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR )  ->  ( S  -  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
3424, 32, 33syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S  -  ( 1  /  n ) )  e.  RR )
3534, 3fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R : NN --> RR )
36 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R : NN --> RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `  k
)  e.  RR )
3735, 36sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  e.  RR )
38 suprlub 9716 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( R `
 k )  e.  RR )  ->  (
( R `  k
)  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z ) )
3931, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( R `  k )  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
) )
4030, 39mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z
)
4137adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  ( R `  k )  e.  RR )
428adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
4342sselda 3180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  RR )
44 ltle 8910 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R `  k
)  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( ( R `  k )  <  z  ->  ( R `  k
)  <_  z )
)
4541, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  z  e.  A )  ->  (
( R `  k
)  <  z  ->  ( R `  k )  <_  z ) )
4645reximdva 2655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <  z  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
) )
4740, 46mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z
)
48 forn 5454 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X -onto-> A  ->  ran  F  =  A )
4910, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  A )
5049rexeqdv 2743 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z ) )
51 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( F : X --> A  ->  F  Fn  X )
52 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  (
( R `  k
)  <_  z  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5352rexrn 5667 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  X  ->  ( E. z  e.  ran  F ( R `  k
)  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5412, 51, 533syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  F ( R `
 k )  <_ 
z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5550, 54bitr3d 246 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) ) )
5655adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  A  ( R `  k )  <_  z  <->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
) )
5747, 56mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )
)
5857ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x ) )
59 supcvg.1 . . . 4  |-  X  e. 
_V
60 nnenom 11042 . . . 4  |-  NN  ~~  om
61 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( f `  k
) ) )
6261breq2d 4035 . . . 4  |-  ( x  =  ( f `  k )  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  x )  <->  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) ) )
6359, 60, 62axcc4 8065 . . 3  |-  ( A. k  e.  NN  E. x  e.  X  ( R `  k )  <_  ( F `  x )  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
6458, 63syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) ) )
65 nnuz 10263 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
66 1z 10053 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
6766a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  1  e.  ZZ )
6866a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
6924recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
7065eqimss2i 3233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  NN
71 nnex 9752 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
7270, 71climconst2 12022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  CC  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7369, 66, 72sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( NN  X.  { S } )  ~~>  S )
7471mptex 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S  -  ( 1  /  n ) ) )  e.  _V
753, 74eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  R  e. 
_V
7675a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
77 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
78 divcnv 12312 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  ~~>  0 )
7977, 78mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) )  ~~>  0 )
80 fvconst2g 5727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  RR  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k )  =  S )
8124, 80sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  =  S )
8269adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  S  e.  CC )
8381, 82eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  e.  CC )
84 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) )
85 ovex 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
861, 84, 85fvmpt 5602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n
) ) `  k
)  =  ( 1  /  k ) )
8786adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  =  ( 1  / 
k ) )
88 nnrecre 9782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
8988recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
9089adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  CC )
9187, 90eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k )  e.  CC )
9281, 87oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( NN  X.  { S } ) `  k
)  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `  k ) )  =  ( S  -  ( 1  / 
k ) ) )
936, 92eqtr4d 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( R `
 k )  =  ( ( ( NN 
X.  { S }
) `  k )  -  ( ( n  e.  NN  |->  ( 1  /  n ) ) `
 k ) ) )
9465, 68, 73, 76, 79, 83, 91, 93climsub 12107 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  ~~>  ( S  - 
0 ) )
9569subid1d 9146 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  -  0 )  =  S )
9694, 95breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  ~~>  S )
9796ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R  ~~>  S )
9812ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F : X --> A )
99 fex 5749 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : X --> A  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
10098, 59, 99sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  F  e.  _V )
101 vex 2791 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
102 coexg 5215 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  _V  /\  f  e.  _V )  ->  ( F  o.  f
)  e.  _V )
103100, 101, 102sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  e.  _V )
10435ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  R : NN --> RR )
105 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( R : NN --> RR  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m
)  e.  RR )
106104, 105sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  e.  RR )
107 fss 5397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : X --> A  /\  A  C_  RR )  ->  F : X --> RR )
10812, 8, 107syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> RR )
109 fco 5398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> RR  /\  f : NN --> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
110108, 109sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
111110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f ) : NN --> RR )
112 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  o.  f
) : NN --> RR  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m
)  e.  RR )
113111, 112sylan 457 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  e.  RR )
114 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( R `  k )  =  ( R `  m ) )
115 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  m  ->  (
f `  k )  =  ( f `  m ) )
116115fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  ( f `  k ) )  =  ( F `  (
f `  m )
) )
117114, 116breq12d 4036 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  m  ->  (
( R `  k
)  <_  ( F `  ( f `  k
) )  <->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) ) )
118117rspccva 2883 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  (
f `  m )
) )
119118adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  ( F `  ( f `  m ) ) )
120 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  f : NN --> X )
121 fvco3 5596 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : NN --> X  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m
)  =  ( F `
 ( f `  m ) ) )
122120, 121sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  =  ( F `  ( f `
 m ) ) )
123119, 122breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( R `  m )  <_  (
( F  o.  f
) `  m )
)
12421ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
125 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : NN --> X  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m
)  e.  X )
126120, 125sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( f `  m )  e.  X
)
127 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : X --> A  /\  ( f `  m
)  e.  X )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
12898, 127sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  ( f `  m )  e.  X
)  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
129126, 128syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  e.  A
)
130 suprub 9715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  ( F `
 ( f `  m ) )  e.  A )  ->  ( F `  ( f `  m ) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
131124, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
132131, 7syl6breqr 4063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  ( f `  m
) )  <_  S
)
133122, 132eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F  o.  f ) `  m )  <_  S
)
13465, 67, 97, 103, 106, 113, 123, 133climsqz 12114 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  f : NN --> X )  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S )
135134ex 423 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f : NN
--> X )  ->  ( A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  ( f `  k
) )  ->  ( F  o.  f )  ~~>  S ) )
136135imdistanda 674 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  (
f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) ) )
137136eximdv 1608 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. f ( f : NN --> X  /\  A. k  e.  NN  ( R `  k )  <_  ( F `  (
f `  k )
) )  ->  E. f
( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f )  ~~>  S ) ) )
13864, 137mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> X  /\  ( F  o.  f
)  ~~>  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354    ~~> cli 11958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963
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