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Theorem superpos 23810
Description: Superposition Principle. If  A and  B are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from  A and  B, that is the superposition of  A and  B. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
superpos  |-  ( ( A  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms  /\  A  =/=  B
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem superpos
Dummy variables  y 
z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 23809 . . 3  |-  ( A  e. HAtoms 
<->  E. y  e.  ~H  ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) ) )
2 atom1d 23809 . . 3  |-  ( B  e. HAtoms 
<->  E. z  e.  ~H  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )
3 reeanv 2835 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  E. z  e.  ~H  (
( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  <->  ( E. y  e.  ~H  ( y  =/= 
0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  E. z  e.  ~H  (
z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) ) )
4 an4 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  <->  ( ( y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h )  /\  ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) ) ) )
5 neeq1 2575 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( span `  {
y } )  -> 
( A  =/=  B  <->  (
span `  { y } )  =/=  B
) )
6 neeq2 2576 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  ( span `  {
z } )  -> 
( ( span `  {
y } )  =/= 
B  <->  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) ) )
75, 6sylan9bb 681 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) )  -> 
( A  =/=  B  <->  (
span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) ) )
87adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  {
z } ) ) )
9 hvaddcl 22468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  +h  z
)  e.  ~H )
109adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( y  +h  z )  e.  ~H )
11 hvaddeq0 22524 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  =  0h  <->  y  =  ( -u 1  .h  z ) ) )
12 sneq 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( -u 1  .h  z )  ->  { y }  =  { (
-u 1  .h  z
) } )
1312fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( -u 1  .h  z )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { ( -u 1  .h  z ) } ) )
14 neg1cn 10023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u 1  e.  CC
15 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
16 ax-1ne0 9015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  =/=  0
1715, 16negne0i 9331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u 1  =/=  0
18 spansncol 23023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  ->  ( span `  {
( -u 1  .h  z
) } )  =  ( span `  {
z } ) )
1914, 17, 18mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( span `  { ( -u
1  .h  z ) } )  =  (
span `  { z } ) )
2013, 19sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  =  ( -u 1  .h  z ) )  -> 
( span `  { y } )  =  (
span `  { z } ) )
2120ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
y  =  ( -u
1  .h  z )  ->  ( span `  {
y } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
2221adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  =  (
-u 1  .h  z
)  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
2311, 22sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  =  0h  ->  ( span `  {
y } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
2423necon3d 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( y  +h  z
)  =/=  0h )
)
2524imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( y  +h  z )  =/=  0h )
26 spansna 23806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  z
)  e.  ~H  /\  ( y  +h  z
)  =/=  0h )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms
)
2710, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms
)
2827adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms
)
2928adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  e. HAtoms )
30 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  A  <->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } ) ) )
3130biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  A  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  ( span `  {
y } ) ) )
32 spansneleqi 23024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =  (
span `  { y } )  ->  (
y  +h  z )  e.  ( span `  {
y } ) ) )
339, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { y } ) ) )
34 elspansn 23021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { y } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z
)  =  ( v  .h  y ) ) )
3534adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { y } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) ) )
36 addcl 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( v  + 
-u 1 )  e.  CC )
3714, 36mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  e.  CC  ->  (
v  +  -u 1
)  e.  CC )
3837ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
( v  +  -u
1 )  e.  CC )
39 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( v  .h  y
)  e.  ~H )
4039ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  y
)  e.  ~H )
4140adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  y )  e.  ~H )
42 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  y  e.  ~H )
43 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  z  e.  ~H )
44 hvsubadd 22532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( v  .h  y
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  z  <->  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) ) )
4541, 42, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( v  .h  y )  -h  y )  =  z  <->  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) ) )
4645biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  z )
47 hvsubval 22472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( v  .h  y
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  .h  y )  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
4839, 47sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  .h  y )  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
49 ax-hvdistr2 22465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( v  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  y )  =  ( ( v  .h  y
)  +h  ( -u
1  .h  y ) ) )
5014, 49mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  y )  =  ( ( v  .h  y
)  +h  ( -u
1  .h  y ) ) )
5148, 50eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5251ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5352adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y )  =  ( ( v  +  -u
1 )  .h  y
) )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5546, 54eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
z  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
56 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( w  .h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5756eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( z  =  ( w  .h  y )  <-> 
z  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) ) )
5857rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v  +  -u
1 )  e.  CC  /\  z  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) )
5938, 55, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) )
6059exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( v  e.  CC  ->  ( ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) ) )
6160rexlimdv 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6235, 61sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { y } )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6333, 62syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
64 elspansn 23021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
z  e.  ( span `  { y } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6564adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( z  e.  (
span `  { y } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6663, 65sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
z  e.  ( span `  { y } ) ) )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
z  e.  ( span `  { y } ) ) )
68 spansneleq 23025 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { y } )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { y } ) ) )
69 eqcom 2406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
span `  { z } )  =  (
span `  { y } )  <->  ( span `  { y } )  =  ( span `  {
z } ) )
7068, 69syl6ib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { y } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
7170adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( z  e.  (
span `  { y } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
7267, 71syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
( span `  { y } )  =  (
span `  { z } ) ) )
7331, 72sylan9r 640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  /\  A  =  ( span `  {
y } ) )  ->  ( ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  A  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
7473necon3d 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  /\  A  =  ( span `  {
y } ) )  ->  ( ( span `  { y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  A
) )
7574adantlrl 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  A  =  (
span `  { y } ) )  -> 
( ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  A
) )
7675adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  (
( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  A ) )
7776imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  A )
78 eqeq2 2413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  ( span `  {
z } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  B  <->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
7978biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  ( span `  {
z } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  B  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
80 spansneleqi 23024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =  (
span `  { z } )  ->  (
y  +h  z )  e.  ( span `  {
z } ) ) )
819, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { z } ) ) )
82 elspansn 23021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { z } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z
)  =  ( v  .h  z ) ) )
8382adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { z } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) ) )
8437ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
( v  +  -u
1 )  e.  CC )
85 hvmulcl 22469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( v  .h  z
)  e.  ~H )
8685ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  z
)  e.  ~H )
8786adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  z )  e.  ~H )
88 hvsubadd 22532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( v  .h  z
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  y  <->  ( z  +h  y )  =  ( v  .h  z ) ) )
8987, 43, 42, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( v  .h  z )  -h  z )  =  y  <->  ( z  +h  y )  =  ( v  .h  z ) ) )
90 ax-hvcom 22457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  +h  z
)  =  ( z  +h  y ) )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( y  +h  z )  =  ( z  +h  y ) )
9291eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z
)  <->  ( z  +h  y )  =  ( v  .h  z ) ) )
9389, 92bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( v  .h  z )  -h  z )  =  y  <->  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) ) )
9493biimpar 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  y )
95 hvsubval 22472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( v  .h  z
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  .h  z )  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
9685, 95sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  .h  z )  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
97 ax-hvdistr2 22465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( v  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  z )  =  ( ( v  .h  z
)  +h  ( -u
1  .h  z ) ) )
9814, 97mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  z )  =  ( ( v  .h  z
)  +h  ( -u
1  .h  z ) ) )
9996, 98eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
10099ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
101100adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z )  =  ( ( v  +  -u
1 )  .h  z
) )
102101adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
10394, 102eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
y  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
104 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( w  .h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
105104eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( y  =  ( w  .h  z )  <-> 
y  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) ) )
106105rspcev 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v  +  -u
1 )  e.  CC  /\  y  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) )
10784, 103, 106syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) )
108107exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( v  e.  CC  ->  ( ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) ) )
109108rexlimdv 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
11083, 109sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { z } )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
11181, 110syld 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
112 elspansn 23021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
y  e.  ( span `  { z } )  <->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
113112adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  e.  (
span `  { z } )  <->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
114111, 113sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
y  e.  ( span `  { z } ) ) )
115114adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
y  e.  ( span `  { z } ) ) )
116 spansneleq 23025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( y  e.  (
span `  { z } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
117116adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  ->  ( y  e.  (
span `  { z } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
118115, 117syld 42 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { y } )  =  (
span `  { z } ) ) )
11979, 118sylan9r 640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) )  ->  ( ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  B  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
120119necon3d 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) )  ->  ( ( span `  { y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  B
) )
121120adantlrr 702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  B  =  (
span `  { z } ) )  -> 
( ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  B
) )
122121adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  (
( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B ) )
123122imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B )
124 spanpr 23035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  C_  ( span `  { y ,  z } ) )
125124adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( A  =  (
span `  { y } )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( span `  {
y ,  z } ) )
126 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) )  -> 
( A  vH  B
)  =  ( (
span `  { y } )  vH  ( span `  { z } ) ) )
127 df-pr 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y ,  z }  =  ( { y }  u.  { z } )
128127fveq2i 5690 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( span `  { y ,  z } )  =  (
span `  ( {
y }  u.  {
z } ) )
129 snssi 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ~H  ->  { y }  C_  ~H )
130 snssi 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ~H  ->  { z }  C_  ~H )
131 spanun 23000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { y }  C_  ~H  /\  { z } 
C_  ~H )  ->  ( span `  ( { y }  u.  { z } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  +H  ( span `  {
z } ) ) )
132129, 130, 131syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( span `  ( { y }  u.  { z } ) )  =  ( ( span `  { y } )  +H  ( span `  {
z } ) ) )
133128, 132syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( span `  {
y ,  z } )  =  ( (
span `  { y } )  +H  ( span `  { z } ) ) )
134 spansnch 23015 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  CH )
135 spansnj 23102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( span `  {
y } )  e. 
CH  /\  z  e.  ~H )  ->  ( (
span `  { y } )  +H  ( span `  { z } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  ( span `  { z } ) ) )
136134, 135sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
y } )  +H  ( span `  {
z } ) )  =  ( ( span `  { y } )  vH  ( span `  {
z } ) ) )
137133, 136eqtr2d 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
y } )  vH  ( span `  { z } ) )  =  ( span `  {
y ,  z } ) )
138126, 137sylan9eqr 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( A  =  (
span `  { y } )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( A  vH  B )  =  (
span `  { y ,  z } ) )
139125, 138sseqtr4d 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( A  =  (
span `  { y } )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( A  vH  B ) )
140139adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  C_  ( A  vH  B ) )
141140adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( A  vH  B ) )
142 neeq1 2575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( x  =/=  A  <->  (
span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  A
) )
143 neeq1 2575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( x  =/=  B  <->  (
span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  B
) )
144 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( x  C_  ( A  vH  B )  <->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( A  vH  B ) ) )
145142, 143, 1443anbi123d 1254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( ( x  =/= 
A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <-> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =/= 
A  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
146145rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms  /\  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =/= 
A  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  C_  ( A  vH  B ) ) )  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B
) ) )
14729, 77, 123, 141, 146syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) )
148147ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  (
( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1498, 148sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
150149expl 602 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h )  /\  ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) ) )
1514, 150syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  {
y } ) )  /\  ( z  =/= 
0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) ) )
152151rexlimivv 2795 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  E. z  e.  ~H  (
( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1533, 152sylbir 205 . . 3  |-  ( ( E. y  e.  ~H  ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  E. z  e.  ~H  ( z  =/= 
0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1541, 2, 153syl2anb 466 . 2  |-  ( ( A  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1551543impia 1150 1  |-  ( ( A  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms  /\  A  =/=  B
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774   {cpr 3775   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949   -ucneg 9248   ~Hchil 22375    +h cva 22376    .h csm 22377   0hc0v 22380    -h cmv 22381   CHcch 22385    +H cph 22387   spancspn 22388    vH chj 22389  HAtomscat 22421
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540  ax-hcompl 22657
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-lm 17247  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cfil 19161  df-cau 19162  df-cmet 19163  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-subgo 21843  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ssp 22174  df-ph 22267  df-cbn 22318  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-hlim 22428  df-hcau 22429  df-sh 22662  df-ch 22677  df-oc 22707  df-ch0 22708  df-shs 22763  df-span 22764  df-chj 22765  df-pjh 22850  df-cv 23735  df-at 23794
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