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Theorem superpos 23247
Description: Superposition Principle. If  A and  B are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from  A and  B, that is the superposition of  A and  B. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
superpos  |-  ( ( A  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms  /\  A  =/=  B
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem superpos
Dummy variables  y 
z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 23246 . . 3  |-  ( A  e. HAtoms 
<->  E. y  e.  ~H  ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) ) )
2 atom1d 23246 . . 3  |-  ( B  e. HAtoms 
<->  E. z  e.  ~H  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )
3 reeanv 2792 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  E. z  e.  ~H  (
( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  <->  ( E. y  e.  ~H  ( y  =/= 
0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  E. z  e.  ~H  (
z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) ) )
4 an4 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  <->  ( ( y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h )  /\  ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) ) ) )
5 neeq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  ( span `  {
y } )  -> 
( A  =/=  B  <->  (
span `  { y } )  =/=  B
) )
6 neeq2 2538 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  ( span `  {
z } )  -> 
( ( span `  {
y } )  =/= 
B  <->  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) ) )
75, 6sylan9bb 680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) )  -> 
( A  =/=  B  <->  (
span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) ) )
87adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  {
z } ) ) )
9 hvaddcl 21905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  +h  z
)  e.  ~H )
109adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( y  +h  z )  e.  ~H )
11 hvaddeq0 21961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  =  0h  <->  y  =  ( -u 1  .h  z ) ) )
12 sneq 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( -u 1  .h  z )  ->  { y }  =  { (
-u 1  .h  z
) } )
1312fveq2d 5636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( -u 1  .h  z )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { ( -u 1  .h  z ) } ) )
14 neg1cn 9960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u 1  e.  CC
15 ax-1cn 8942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
16 ax-1ne0 8953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  =/=  0
1715, 16negne0i 9268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -u 1  =/=  0
18 spansncol 22460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  -u 1  e.  CC  /\  -u 1  =/=  0 )  ->  ( span `  {
( -u 1  .h  z
) } )  =  ( span `  {
z } ) )
1914, 17, 18mp3an23 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( span `  { ( -u
1  .h  z ) } )  =  (
span `  { z } ) )
2013, 19sylan9eqr 2420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  =  ( -u 1  .h  z ) )  -> 
( span `  { y } )  =  (
span `  { z } ) )
2120ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
y  =  ( -u
1  .h  z )  ->  ( span `  {
y } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
2221adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  =  (
-u 1  .h  z
)  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
2311, 22sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  =  0h  ->  ( span `  {
y } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
2423necon3d 2567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( y  +h  z
)  =/=  0h )
)
2524imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( y  +h  z )  =/=  0h )
26 spansna 23243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  +h  z
)  e.  ~H  /\  ( y  +h  z
)  =/=  0h )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms
)
2710, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms
)
2827adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } ) )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms
)
2928adantlr 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  e. HAtoms )
30 eqeq2 2375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  A  <->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } ) ) )
3130biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  A  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  ( span `  {
y } ) ) )
32 spansneleqi 22461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =  (
span `  { y } )  ->  (
y  +h  z )  e.  ( span `  {
y } ) ) )
339, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { y } ) ) )
34 elspansn 22458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { y } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z
)  =  ( v  .h  y ) ) )
3534adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { y } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) ) )
36 addcl 8966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( v  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( v  + 
-u 1 )  e.  CC )
3714, 36mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( v  e.  CC  ->  (
v  +  -u 1
)  e.  CC )
3837ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
( v  +  -u
1 )  e.  CC )
39 hvmulcl 21906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( v  .h  y
)  e.  ~H )
4039ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  y
)  e.  ~H )
4140adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  y )  e.  ~H )
42 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  y  e.  ~H )
43 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  z  e.  ~H )
44 hvsubadd 21969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( v  .h  y
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  (
( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  z  <->  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) ) )
4541, 42, 43, 44syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( v  .h  y )  -h  y )  =  z  <->  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) ) )
4645biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  z )
47 hvsubval 21909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( v  .h  y
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  .h  y )  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
4839, 47sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  .h  y )  +h  ( -u 1  .h  y ) ) )
49 ax-hvdistr2 21902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( v  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  y )  =  ( ( v  .h  y
)  +h  ( -u
1  .h  y ) ) )
5014, 49mp3an2 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  y )  =  ( ( v  .h  y
)  +h  ( -u
1  .h  y ) ) )
5148, 50eqtr4d 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  CC  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5251ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5352adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  y )  -h  y )  =  ( ( v  +  -u
1 )  .h  y
) )
5453adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
( ( v  .h  y )  -h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5546, 54eqtr3d 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  -> 
z  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
56 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( w  .h  y
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )
5756eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( z  =  ( w  .h  y )  <-> 
z  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) ) )
5857rspcev 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v  +  -u
1 )  e.  CC  /\  z  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  y ) )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) )
5938, 55, 58syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  y ) )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) )
6059exp31 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( v  e.  CC  ->  ( ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) ) )
6160rexlimdv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  y )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6235, 61sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { y } )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6333, 62syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  ->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
64 elspansn 22458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
z  e.  ( span `  { y } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6564adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( z  e.  (
span `  { y } )  <->  E. w  e.  CC  z  =  ( w  .h  y ) ) )
6663, 65sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
z  e.  ( span `  { y } ) ) )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
z  e.  ( span `  { y } ) ) )
68 spansneleq 22462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { y } )  ->  ( span `  { z } )  =  ( span `  { y } ) ) )
69 eqcom 2368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
span `  { z } )  =  (
span `  { y } )  <->  ( span `  { y } )  =  ( span `  {
z } ) )
7068, 69syl6ib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  =/=  0h )  -> 
( z  e.  (
span `  { y } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
7170adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( z  e.  (
span `  { y } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
7267, 71syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
y } )  -> 
( span `  { y } )  =  (
span `  { z } ) ) )
7331, 72sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  /\  A  =  ( span `  {
y } ) )  ->  ( ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  A  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
7473necon3d 2567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  z  =/=  0h )  /\  A  =  ( span `  {
y } ) )  ->  ( ( span `  { y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  A
) )
7574adantlrl 700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  A  =  (
span `  { y } ) )  -> 
( ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  A
) )
7675adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  (
( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  A ) )
7776imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  A )
78 eqeq2 2375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  ( span `  {
z } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  B  <->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
7978biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  ( span `  {
z } )  -> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  B  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  ( span `  {
z } ) ) )
80 spansneleqi 22461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +h  z )  e.  ~H  ->  (
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =  (
span `  { z } )  ->  (
y  +h  z )  e.  ( span `  {
z } ) ) )
819, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { z } ) ) )
82 elspansn 22458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( y  +h  z
)  e.  ( span `  { z } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z
)  =  ( v  .h  z ) ) )
8382adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { z } )  <->  E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) ) )
8437ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
( v  +  -u
1 )  e.  CC )
85 hvmulcl 21906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( v  .h  z
)  e.  ~H )
8685ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  z
)  e.  ~H )
8786adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( v  .h  z )  e.  ~H )
88 hvsubadd 21969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( v  .h  z
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  y  <->  ( z  +h  y )  =  ( v  .h  z ) ) )
8987, 43, 42, 88syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( v  .h  z )  -h  z )  =  y  <->  ( z  +h  y )  =  ( v  .h  z ) ) )
90 ax-hvcom 21894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  +h  z
)  =  ( z  +h  y ) )
9190adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( y  +h  z )  =  ( z  +h  y ) )
9291eqeq1d 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z
)  <->  ( z  +h  y )  =  ( v  .h  z ) ) )
9389, 92bitr4d 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( ( v  .h  z )  -h  z )  =  y  <->  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) ) )
9493biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  y )
95 hvsubval 21909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( v  .h  z
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  .h  z )  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
9685, 95sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  .h  z )  +h  ( -u 1  .h  z ) ) )
97 ax-hvdistr2 21902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( v  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  z )  =  ( ( v  .h  z
)  +h  ( -u
1  .h  z ) ) )
9814, 97mp3an2 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  + 
-u 1 )  .h  z )  =  ( ( v  .h  z
)  +h  ( -u
1  .h  z ) ) )
9996, 98eqtr4d 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( v  e.  CC  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
10099ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
101100adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  ->  ( ( v  .h  z )  -h  z )  =  ( ( v  +  -u
1 )  .h  z
) )
102101adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
( ( v  .h  z )  -h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
10394, 102eqtr3d 2400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  -> 
y  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
104 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( w  .h  z
)  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )
105104eqeq2d 2377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( w  =  ( v  + 
-u 1 )  -> 
( y  =  ( w  .h  z )  <-> 
y  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) ) )
106105rspcev 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( v  +  -u
1 )  e.  CC  /\  y  =  ( ( v  +  -u 1
)  .h  z ) )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) )
10784, 103, 106syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  v  e.  CC )  /\  (
y  +h  z )  =  ( v  .h  z ) )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) )
108107exp31 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( v  e.  CC  ->  ( ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) ) )
109108rexlimdv 2751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( E. v  e.  CC  ( y  +h  z )  =  ( v  .h  z )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
11083, 109sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( y  +h  z )  e.  (
span `  { z } )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
11181, 110syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  ->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
112 elspansn 22458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
y  e.  ( span `  { z } )  <->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( y  e.  (
span `  { z } )  <->  E. w  e.  CC  y  =  ( w  .h  z ) ) )
114111, 113sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
y  e.  ( span `  { z } ) ) )
115114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
y  e.  ( span `  { z } ) ) )
116 spansneleq 22462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( y  e.  (
span `  { z } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
117116adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  ->  ( y  e.  (
span `  { z } )  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
118115, 117syld 40 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  ->  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { y } )  =  (
span `  { z } ) ) )
11979, 118sylan9r 639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) )  ->  ( ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =  B  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { z } ) ) )
120119necon3d 2567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  y  =/=  0h )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) )  ->  ( ( span `  { y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  B
) )
121120adantlrr 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  B  =  (
span `  { z } ) )  -> 
( ( span `  {
y } )  =/=  ( span `  {
z } )  -> 
( span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  B
) )
122121adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  (
( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B ) )
123122imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B )
124 spanpr 22472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  C_  ( span `  { y ,  z } ) )
125124adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( A  =  (
span `  { y } )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( span `  {
y ,  z } ) )
126 oveq12 5990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) )  -> 
( A  vH  B
)  =  ( (
span `  { y } )  vH  ( span `  { z } ) ) )
127 df-pr 3736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { y ,  z }  =  ( { y }  u.  { z } )
128127fveq2i 5635 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( span `  { y ,  z } )  =  (
span `  ( {
y }  u.  {
z } ) )
129 snssi 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ~H  ->  { y }  C_  ~H )
130 snssi 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ~H  ->  { z }  C_  ~H )
131 spanun 22437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( { y }  C_  ~H  /\  { z } 
C_  ~H )  ->  ( span `  ( { y }  u.  { z } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  +H  ( span `  {
z } ) ) )
132129, 130, 131syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( span `  ( { y }  u.  { z } ) )  =  ( ( span `  { y } )  +H  ( span `  {
z } ) ) )
133128, 132syl5eq 2410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( span `  {
y ,  z } )  =  ( (
span `  { y } )  +H  ( span `  { z } ) ) )
134 spansnch 22452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  CH )
135 spansnj 22539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( span `  {
y } )  e. 
CH  /\  z  e.  ~H )  ->  ( (
span `  { y } )  +H  ( span `  { z } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  ( span `  { z } ) ) )
136134, 135sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
y } )  +H  ( span `  {
z } ) )  =  ( ( span `  { y } )  vH  ( span `  {
z } ) ) )
137133, 136eqtr2d 2399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( span `  {
y } )  vH  ( span `  { z } ) )  =  ( span `  {
y ,  z } ) )
138126, 137sylan9eqr 2420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( A  =  (
span `  { y } )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( A  vH  B )  =  (
span `  { y ,  z } ) )
139125, 138sseqtr4d 3301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  ( A  =  (
span `  { y } )  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( A  vH  B ) )
140139adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  C_  ( A  vH  B ) )
141140adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( A  vH  B ) )
142 neeq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( x  =/=  A  <->  (
span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  A
) )
143 neeq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( x  =/=  B  <->  (
span `  { (
y  +h  z ) } )  =/=  B
) )
144 sseq1 3285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( x  C_  ( A  vH  B )  <->  ( span `  { ( y  +h  z ) } ) 
C_  ( A  vH  B ) ) )
145142, 143, 1443anbi123d 1253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( span `  {
( y  +h  z
) } )  -> 
( ( x  =/= 
A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) )  <-> 
( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =/= 
A  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
146145rspcev 2969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  e. HAtoms  /\  ( ( span `  {
( y  +h  z
) } )  =/= 
A  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  =/=  B  /\  ( span `  { ( y  +h  z ) } )  C_  ( A  vH  B ) ) )  ->  E. x  e. HAtoms  (
x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B
) ) )
14729, 77, 123, 141, 146syl13anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  /\  ( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } ) )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) )
148147ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  (
( span `  { y } )  =/=  ( span `  { z } )  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1498, 148sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
~H  /\  z  e.  ~H )  /\  (
y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h ) )  /\  ( A  =  ( span `  {
y } )  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
150149expl 601 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( y  =/=  0h  /\  z  =/=  0h )  /\  ( A  =  ( span `  { y } )  /\  B  =  (
span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) ) )
1514, 150syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  {
y } ) )  /\  ( z  =/= 
0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) ) )
152151rexlimivv 2757 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~H  E. z  e.  ~H  (
( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  ( z  =/=  0h  /\  B  =  ( span `  {
z } ) ) )  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1533, 152sylbir 204 . . 3  |-  ( ( E. y  e.  ~H  ( y  =/=  0h  /\  A  =  ( span `  { y } ) )  /\  E. z  e.  ~H  ( z  =/= 
0h  /\  B  =  ( span `  { z } ) ) )  ->  ( A  =/= 
B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1541, 2, 153syl2anb 465 . 2  |-  ( ( A  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms
)  ->  ( A  =/=  B  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) ) )
1551543impia 1149 1  |-  ( ( A  e. HAtoms  /\  B  e. HAtoms  /\  A  =/=  B
)  ->  E. x  e. HAtoms  ( x  =/=  A  /\  x  =/=  B  /\  x  C_  ( A  vH  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   E.wrex 2629    u. cun 3236    C_ wss 3238   {csn 3729   {cpr 3730   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   0cc0 8884   1c1 8885    + caddc 8887   -ucneg 9185   ~Hchil 21812    +h cva 21813    .h csm 21814   0hc0v 21817    -h cmv 21818   CHcch 21822    +H cph 21824   spancspn 21825    vH chj 21826  HAtomscat 21858
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cc 8208  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964  ax-hilex 21892  ax-hfvadd 21893  ax-hvcom 21894  ax-hvass 21895  ax-hv0cl 21896  ax-hvaddid 21897  ax-hfvmul 21898  ax-hvmulid 21899  ax-hvmulass 21900  ax-hvdistr1 21901  ax-hvdistr2 21902  ax-hvmul0 21903  ax-hfi 21971  ax-his1 21974  ax-his2 21975  ax-his3 21976  ax-his4 21977  ax-hcompl 22094
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-lm 17176  df-haus 17260  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cfil 18896  df-cau 18897  df-cmet 18898  df-grpo 21169  df-gid 21170  df-ginv 21171  df-gdiv 21172  df-ablo 21260  df-subgo 21280  df-vc 21415  df-nv 21461  df-va 21464  df-ba 21465  df-sm 21466  df-0v 21467  df-vs 21468  df-nmcv 21469  df-ims 21470  df-dip 21587  df-ssp 21611  df-ph 21704  df-cbn 21755  df-hnorm 21861  df-hba 21862  df-hvsub 21864  df-hlim 21865  df-hcau 21866  df-sh 22099  df-ch 22114  df-oc 22144  df-ch0 22145  df-shs 22200  df-span 22201  df-chj 22202  df-pjh 22287  df-cv 23172  df-at 23231
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