Theorem supex 4551

Description: A supremum is a set.

Hypothesis

Ref	Expression
supmo.1	|- R Or A

Assertion

Ref	Expression
supex	|- sup(B, A, R) e. V

Proof of Theorem supex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sup 4548	. . 3 |- sup(B, A, R) = U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))}
2		df-rab 1644	. . . 4 |- {x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))} = {x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))}
3	2	unieqi 2501	. . 3 |- U.{x e. A | (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))} = U.{x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))}
4	1, 3	eqtr 1487	. 2 |- sup(B, A, R) = U.{x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))}
5		supmo.1	. . . . 5 |- R Or A
6	5	supmo 4550	. . . 4 |- E*x(x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))
7		moabex 2756	. . . 4 |- (E*x(x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))) -> {x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))} e. V)
8	6, 7	ax-mp 7	. . 3 |- {x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))} e. V
9	8	uniex 2861	. 2 |- U.{x | (x e. A /\ (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)))} e. V
10	4, 9	eqeltr 1536	1 |- sup(B, A, R) e. V

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  E*wmo 1374  {cab 1456  A.wral 1637  E.wrex 1638  {crab 1640  Vcvv 1802  U.cuni 2493   class class class wbr 2609   Or wor 2830  supcsup 4547

This theorem is referenced by:  limsupvalt 6461  sqrval 6601  caucvg3a 7100  cvgcmp3c 7122  erelem5 7265  erelem6 7266  ele3lem 7268  ege2le3lem1 7269  ege2le3lem2 7271  metxpdval 7769  metxp 7774  xplmi 7907  xplmi2 7908  xplm 7909  xpcn 7910  oprcn 7911  bopcnlem3 7917  bopcn 7919  nmoval 8358  nmopvalt 9699  nmfnvalt 9720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-po 2831  df-so 2841  df-sup 4548

Copyright terms: Public domain