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Theorem suplem1pr 8676
Description: The union of a non-empty, bounded set of positive reals is a positive real. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem1pr  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  U. A  e. 
P. )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem suplem1pr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 8622 . . . . . . . . 9  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4737 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  x  ->  ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. ) )
32simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( y 
<P  x  ->  y  e. 
P. )
43ralimi 2618 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
5 dfss3 3170 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  <->  A. y  e.  A  y  e.  P. )
64, 5sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
76rexlimivw 2663 . . . 4  |-  ( E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A  C_  P. )
87adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  A  C_  P. )
9 n0 3464 . . . . 5  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
10 ssel 3174 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  P. ) )
11 prn0 8613 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  P.  ->  z  =/=  (/) )
12 0pss 3492 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  C.  z  <->  z  =/=  (/) )
1311, 12sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  P.  ->  (/)  C.  z
)
14 elssuni 3855 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  z  C_ 
U. A )
15 psssstr 3282 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  C.  z  /\  z  C_ 
U. A )  ->  (/)  C.  U. A )
1613, 14, 15syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  P.  /\  z  e.  A )  -> 
(/)  C.  U. A )
1716expcom 424 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  A  ->  (
z  e.  P.  ->  (/)  C. 
U. A ) )
1810, 17sylcom 25 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( z  e.  A  ->  (/)  C.  U. A ) )
1918exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( E. z  z  e.  A  -> 
(/)  C.  U. A ) )
209, 19syl5bi 208 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( A  =/=  (/)  ->  (/)  C.  U. A ) )
21 prpssnq 8614 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  P.  ->  x  C.  Q. )
2221adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  P. )  ->  x  C.  Q. )
23 ltprord 8654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  <->  y 
C.  x ) )
24 pssss 3271 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C.  x  ->  y  C_  x )
2523, 24syl6bi 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( y  <P  x  ->  y  C_  x )
)
262, 25mpcom 32 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  x  ->  y  C_  x )
2726ralimi 2618 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  A. y  e.  A  y  C_  x )
28 unissb 3857 . . . . . . 7  |-  ( U. A  C_  x  <->  A. y  e.  A  y  C_  x )
2927, 28sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  U. A  C_  x )
30 sspsstr 3281 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  C_  x  /\  x  C.  Q. )  ->  U. A  C.  Q. )
3130expcom 424 . . . . . 6  |-  ( x 
C.  Q.  ->  ( U. A  C_  x  ->  U. A  C.  Q. ) )
3222, 29, 31syl2im 34 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( A. y  e.  A  y  <P  x  ->  U. A  C.  Q. ) )
3332rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x  ->  U. A  C.  Q. ) )
3420, 33anim12d 546 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  ( (/)  C.  U. A  /\  U. A  C.  Q. ) ) )
358, 34mpcom 32 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  ( (/)  C.  U. A  /\  U. A  C.  Q. ) )
36 prcdnq 8617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  x  e.  z )  ->  ( y  <Q  x  ->  y  e.  z ) )
3736ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  P.  ->  (
x  e.  z  -> 
( y  <Q  x  ->  y  e.  z ) ) )
3837com3r 73 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
<Q  x  ->  ( z  e.  P.  ->  (
x  e.  z  -> 
y  e.  z ) ) )
3910, 38sylan9 638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  <Q  x )  ->  (
z  e.  A  -> 
( x  e.  z  ->  y  e.  z ) ) )
4039reximdvai 2653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  <Q  x )  ->  ( E. z  e.  A  x  e.  z  ->  E. z  e.  A  y  e.  z ) )
41 eluni2 3831 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  x  e.  z )
42 eluni2 3831 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. z  e.  A  y  e.  z )
4340, 41, 423imtr4g 261 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  <Q  x )  ->  (
x  e.  U. A  ->  y  e.  U. A
) )
4443ex 423 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<Q  x  ->  ( x  e.  U. A  -> 
y  e.  U. A
) ) )
4544com23 72 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  -> 
( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A
) ) )
4645alrimdv 1619 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  ->  A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A ) ) )
47 eluni 3830 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. A  <->  E. z
( x  e.  z  /\  z  e.  A
) )
48 prnmax 8619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  x  e.  z )  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y )
4948ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  P.  ->  (
x  e.  z  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) )
5010, 49syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( z  e.  A  ->  (
x  e.  z  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) ) )
5150com23 72 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  z  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) ) )
5251imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  z )  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  z  x  <Q  y ) )
53 ssrexv 3238 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  U. A  ->  ( E. y  e.  z  x  <Q  y  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5414, 53syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  ->  ( E. y  e.  z  x  <Q  y  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5552, 54sylcom 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  x  e.  z )  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5655expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( x  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5756exlimdv 1664 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( E. z ( x  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5847, 57syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  ->  E. y  e.  U. A x  <Q  y ) )
5946, 58jcad 519 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( x  e.  U. A  -> 
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e. 
U. A x  <Q  y ) ) )
6059ralrimiv 2625 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  A. x  e.  U. A ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e.  U. A x 
<Q  y ) )
618, 60syl 15 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  A. x  e.  U. A ( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e.  U. A x 
<Q  y ) )
62 elnp 8611 . 2  |-  ( U. A  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  U. A  /\  U. A  C.  Q. )  /\  A. x  e.  U. A
( A. y ( y  <Q  x  ->  y  e.  U. A )  /\  E. y  e. 
U. A x  <Q  y ) ) )
6335, 61, 62sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  P.  A. y  e.  A  y  <P  x )  ->  U. A  e. 
P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   Q.cnq 8474    <Q cltq 8480   P.cnp 8481    <P cltp 8485
This theorem is referenced by:  supexpr  8678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-ni 8496  df-nq 8536  df-ltnq 8542  df-np 8605  df-ltp 8609
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