Theorem suplem2pr 5142

Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122.

Assertion

Ref	Expression
suplem2pr	|- (A (_ P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))

Distinct variable group:   y,z,A

Proof of Theorem suplem2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 5071	. . . . . . 7 |- P. e. V
2	1	ssex 2714	. . . . . 6 |- (A (_ P. -> A e. V)
3		uniexg 2866	. . . . . 6 |- (A e. V -> U.A e. V)
4		ltrelpr 5081	. . . . . . . 8 |- <P (_ (P. X. P.)
5	4	brelg 3217	. . . . . . 7 |- (U.A e. V -> (y <P U.A -> (y e. P. /\ U.A e. P.)))
6		pm3.26 319	. . . . . . 7 |- ((y e. P. /\ U.A e. P.) -> y e. P.)
7	5, 6	syl6 22	. . . . . 6 |- (U.A e. V -> (y <P U.A -> y e. P.))
8	2, 3, 7	3syl 20	. . . . 5 |- (A (_ P. -> (y <P U.A -> y e. P.))
9		ltsopr 5116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <P Or P.
10		sotric 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (( <P Or P. /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> (y <P z <-> -. (y = z \/ z <P y)))
11	9, 10	mpan 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y <P z <-> -. (y = z \/ z <P y)))
12	11	con2bid 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> ((y = z \/ z <P y) <-> -. y <P z))
13	12	ancoms 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> ((y = z \/ z <P y) <-> -. y <P z))
14		ltprord 5114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> (z <P y <-> z (. y))
15	14	orbi2d 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> ((y = z \/ z <P y) <-> (y = z \/ z (. y)))
16		sspss 2141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z (_ y <-> (z (. y \/ z = y))
17		eqcom 1474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = y <-> y = z)
18	17	orbi2i 255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z (. y \/ z = y) <-> (z (. y \/ y = z))
19		orcom 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z (. y \/ y = z) <-> (y = z \/ z (. y))
20	16, 18, 19	3bitr 177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z (_ y <-> (y = z \/ z (. y))
21	15, 20	syl6bbr 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> ((y = z \/ z <P y) <-> z (_ y))
22	13, 21	bitr3d 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. P. /\ y e. P.) -> (-. y <P z <-> z (_ y))
23		ssel2 2060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A (_ P. /\ z e. A) -> z e. P.)
24	22, 23	sylan 448	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A (_ P. /\ z e. A) /\ y e. P.) -> (-. y <P z <-> z (_ y))
25	24	an1rs 489	. . . . . . . . . . 11 |- (((A (_ P. /\ y e. P.) /\ z e. A) -> (-. y <P z <-> z (_ y))
26	25	pm5.74da 585	. . . . . . . . . 10 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> ((z e. A -> -. y <P z) <-> (z e. A -> z (_ y)))
27	26	albidv 1276	. . . . . . . . 9 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> (A.z(z e. A -> -. y <P z) <-> A.z(z e. A -> z (_ y)))
28		alinexa 1040	. . . . . . . . 9 |- (A.z(z e. A -> -. y <P z) <-> -. E.z(z e. A /\ y <P z))
29		unissb 2523	. . . . . . . . . 10 |- (U.A (_ y <-> A.z e. A z (_ y)
30		df-ral 1646	. . . . . . . . . 10 |- (A.z e. A z (_ y <-> A.z(z e. A -> z (_ y))
31	29, 30	bitr2 174	. . . . . . . . 9 |- (A.z(z e. A -> z (_ y) <-> U.A (_ y)
32	27, 28, 31	3bitr3g 553	. . . . . . . 8 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> (-. E.z(z e. A /\ y <P z) <-> U.A (_ y))
33		ssnpss 2145	. . . . . . . . 9 |- (U.A (_ y -> -. y (. U.A)
34		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
35	34	ssex 2714	. . . . . . . . . 10 |- (U.A (_ y -> U.A e. V)
36		ltprord 5114	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. P. /\ U.A e. P.) -> (y <P U.A <-> y (. U.A))
37	36	biimpd 153	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. P. /\ U.A e. P.) -> (y <P U.A -> y (. U.A))
38	5, 37	syli 54	. . . . . . . . . 10 |- (U.A e. V -> (y <P U.A -> y (. U.A))
39	35, 38	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (U.A (_ y -> (y <P U.A -> y (. U.A))
40	33, 39	mtod 108	. . . . . . . 8 |- (U.A (_ y -> -. y <P U.A)
41	32, 40	syl6bi 214	. . . . . . 7 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> (-. E.z(z e. A /\ y <P z) -> -. y <P U.A))
42	41	a3d 75	. . . . . 6 |- ((A (_ P. /\ y e. P.) -> (y <P U.A -> E.z(z e. A /\ y <P z)))
43	42	ex 373	. . . . 5 |- (A (_ P. -> (y e. P. -> (y <P U.A -> E.z(z e. A /\ y <P z))))
44	8, 43	syld 27	. . . 4 |- (A (_ P. -> (y <P U.A -> (y <P U.A -> E.z(z e. A /\ y <P z))))
45	44	pm2.43d 65	. . 3 |- (A (_ P. -> (y <P U.A -> E.z(z e. A /\ y <P z)))
46		visset 1809	. . . . . . . 8 |- z e. V
47	46, 4	brel 3218	. . . . . . 7 |- (y <P z -> (y e. P. /\ z e. P.))
48	47	pm3.27d 325	. . . . . 6 |- (y <P z -> z e. P.)
49	48	adantl 388	. . . . 5 |- ((z e. A /\ y <P z) -> z e. P.)
50	49	ancri 297	. . . 4 |- ((z e. A /\ y <P z) -> (z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))
51	50	19.22i 1038	. . 3 |- (E.z(z e. A /\ y <P z) -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))
52	45, 51	syl6 22	. 2 |- (A (_ P. -> (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z))))
53		elssuni 2521	. . . 4 |- (y e. A -> y (_ U.A)
54		ssnpss 2145	. . . 4 |- (y (_ U.A -> -. U.A (. y)
55	53, 54	syl 10	. . 3 |- (y e. A -> -. U.A (. y)
56	34, 4	brel 3218	. . . 4 |- (U.A <P y -> (U.A e. P. /\ y e. P.))
57		ltprord 5114	. . . . 5 |- ((U.A e. P. /\ y e. P.) -> (U.A <P y <-> U.A (. y))
58	57	biimpd 153	. . . 4 |- ((U.A e. P. /\ y e. P.) -> (U.A <P y -> U.A (. y))
59	56, 58	mpcom 49	. . 3 |- (U.A <P y -> U.A (. y)
60	55, 59	nsyl 116	. 2 |- (y e. A -> -. U.A <P y)
61	52, 60	jctil 292	1 |- (A (_ P. -> ((y e. A -> -. U.A <P y) /\ (y <P U.A -> E.z(z e. P. /\ (z e. A /\ y <P z)))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  A.wral 1642  Vcvv 1807   (_ wss 2043   (. wpss 2044  U.cuni 2498   class class class wbr 2614   Or wor 2834  P.cnp 4965   <P cltp 4969

This theorem is referenced by:  supexpr 5143

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-mi 4982  df-lti 4983  df-enq 5017  df-nq 5018  df-ltq 5022  df-np 5066  df-ltp 5070

Copyright terms: Public domain