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Theorem suplem2pr 8673
Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem2pr  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Distinct variable group:    y, z, A

Proof of Theorem suplem2pr
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 8618 . . . . . 6  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
21brel 4736 . . . . 5  |-  ( y 
<P  U. A  ->  (
y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )
)
32simpld 445 . . . 4  |-  ( y 
<P  U. A  ->  y  e.  P. )
4 ralnex 2554 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  -.  y  <P  z  <->  -.  E. z  e.  A  y  <P  z )
5 ssel2 3176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  P. )
6 ltsopr 8652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <P  Or  P.
7 sotric 4339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
<P  Or  P.  /\  (
y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( y  <P  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  z  <P  y ) ) )
86, 7mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( y  <P  z  <->  -.  ( y  =  z  \/  z  <P  y
) ) )
98con2bid 319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  -.  y  <P  z ) )
109ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  -.  y  <P  z ) )
11 ltprord 8650 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( z  <P  y  <->  z 
C.  y ) )
1211orbi2d 682 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  ( y  =  z  \/  z  C.  y ) ) )
13 sspss 3276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  y  <->  ( z  C.  y  \/  z  =  y ) )
14 equcom 1648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  <->  y  =  z )
1514orbi2i 505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  C.  y  \/  z  =  y )  <-> 
( z  C.  y  \/  y  =  z
) )
16 orcom 376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  C.  y  \/  y  =  z )  <-> 
( y  =  z  \/  z  C.  y
) )
1713, 15, 163bitri 262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
C_  y  <->  ( y  =  z  \/  z  C.  y ) )
1812, 17syl6bbr 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( ( y  =  z  \/  z  <P 
y )  <->  z  C_  y ) )
1910, 18bitr3d 246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  y  <P 
z  <->  z  C_  y
) )
205, 19sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  C_  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  y  <P  z  <->  z  C_  y
) )
2120an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  /\  z  e.  A
)  ->  ( -.  y  <P  z  <->  z  C_  y ) )
2221ralbidva 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( A. z  e.  A  -.  y  <P  z  <->  A. z  e.  A  z  C_  y ) )
234, 22syl5bbr 250 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  <->  A. z  e.  A  z  C_  y ) )
24 unissb 3858 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  y  <->  A. z  e.  A  z  C_  y )
2523, 24syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  <->  U. A  C_  y ) )
26 ssnpss 3280 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  C_  y  ->  -.  y  C.  U. A )
27 ltprord 8650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )  ->  ( y  <P  U. A  <->  y 
C.  U. A ) )
2827biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  U. A  e.  P. )  ->  ( y  <P  U. A  ->  y  C.  U. A
) )
292, 28mpcom 32 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<P  U. A  ->  y  C.  U. A )
3026, 29nsyl 113 . . . . . . 7  |-  ( U. A  C_  y  ->  -.  y  <P  U. A )
3125, 30syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( -.  E. z  e.  A  y  <P  z  ->  -.  y  <P  U. A ) )
3231con4d 97 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  P.  /\  y  e.  P. )  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
3332ex 423 . . . 4  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y  e.  P.  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
343, 33syl5 28 . . 3  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  (
y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
3534pm2.43d 44 . 2  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( y 
<P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) )
36 elssuni 3856 . . . 4  |-  ( y  e.  A  ->  y  C_ 
U. A )
37 ssnpss 3280 . . . 4  |-  ( y 
C_  U. A  ->  -.  U. A  C.  y )
3836, 37syl 15 . . 3  |-  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  C.  y )
391brel 4736 . . . 4  |-  ( U. A  <P  y  ->  ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )
)
40 ltprord 8650 . . . . 5  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( U. A  <P  y  <->  U. A  C.  y ) )
4140biimpd 198 . . . 4  |-  ( ( U. A  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( U. A  <P  y  ->  U. A  C.  y
) )
4239, 41mpcom 32 . . 3  |-  ( U. A  <P  y  ->  U. A  C.  y )
4338, 42nsyl 113 . 2  |-  ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y )
4435, 43jctil 523 1  |-  ( A 
C_  P.  ->  ( ( y  e.  A  ->  -.  U. A  <P  y
)  /\  ( y  <P  U. A  ->  E. z  e.  A  y  <P  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153    C. wpss 3154   U.cuni 3828   class class class wbr 4024    Or wor 4312   P.cnp 8477    <P cltp 8481
This theorem is referenced by:  supexpr  8674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-ni 8492  df-mi 8494  df-lti 8495  df-ltpq 8530  df-enq 8531  df-nq 8532  df-ltnq 8538  df-np 8601  df-ltp 8605
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