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Theorem supnuf 25732
Description: The supremum of a numerical function  F is greater or equal to every element of  ( F `  A ). Bourbaki TG IV.20. (Contributed by FL, 25-Dec-2011.)
Assertion
Ref Expression
supnuf  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) )

Proof of Theorem supnuf
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 14365 . . . 4  |-  <_  e.  TosetRel
2 tsrps 14346 . . . 4  |-  (  <_  e. 
TosetRel  ->  <_  e.  PosetRel )
31, 2mp1i 11 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  <_  e.  PosetRel )
4 fdm 5409 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> RR*  ->  dom 
F  =  A )
5 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  dom  F  -> 
( A  e.  _V  <->  dom 
F  e.  _V )
)
65biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  dom  F  -> 
( A  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V ) )
76eqcoms 2299 . . . . . . 7  |-  ( dom 
F  =  A  -> 
( A  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V ) )
84, 7syl 15 . . . . . 6  |-  ( F : A --> RR*  ->  ( A  e.  _V  ->  dom 
F  e.  _V )
)
98imp 418 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V )  ->  dom  F  e.  _V )
1093adant3 975 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  dom  F  e.  _V )
11 ffun 5407 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR*  ->  Fun 
F )
12113ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  Fun  F )
13 funrnex 5763 . . . 4  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  ( Fun  F  ->  ran  F  e.  _V ) )
1410, 12, 13sylc 56 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ran  F  e.  _V )
15 frn 5411 . . . . . 6  |-  ( F : A --> RR*  ->  ran 
F  C_  RR* )
16 xrex 10367 . . . . . . 7  |-  RR*  e.  _V
1716ssex 4174 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  C_  RR*  ->  ran  F  e.  _V )
1815, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( F : A --> RR*  ->  ran 
F  e.  _V )
19183ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ran  F  e.  _V )
20153ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ran  F 
C_  RR* )
21 xrsupss 10643 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  C_  RR*  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) )
2220, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) )
2320adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A --> RR* 
/\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  ->  ran  F  C_  RR* )
2423sselda 3193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  RR* )
25 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  ran  F )  ->  x  e.  RR* )
26 xrlenlt 8906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  ran  F )  -> 
( y  <_  x  <->  -.  x  <  y ) )
2827ralbidva 2572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR* 
/\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x 
<-> 
A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y
) )
29 con34b 283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y )  <->  ( -.  x  <_  y  ->  -.  A. z  e.  ran  F  z  <_  y ) )
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  y  e.  RR* )
31 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  x  e.  RR* )
32 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  x  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
3330, 31, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
y  <  x  <->  -.  x  <_  y ) )
3433bicomd 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  x  <_  y  <->  y  <  x ) )
35 rexnal 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  ran  F  -.  z  <_  y  <->  -.  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )
36 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ran  F )  -> 
y  e.  RR* )
3715sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F : A --> RR*  ->  ( z  e.  ran  F  ->  z  e.  RR* )
)
38373ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  (
z  e.  ran  F  ->  z  e.  RR* )
)
3938ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
z  e.  ran  F  ->  z  e.  RR* )
)
4039imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ran  F )  -> 
z  e.  RR* )
41 xrltnle 8907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
y  <  z  <->  -.  z  <_  y ) )
4236, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ran  F )  -> 
( y  <  z  <->  -.  z  <_  y )
)
4342bicomd 192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  /\  z  e.  ran  F )  -> 
( -.  z  <_ 
y  <->  y  <  z
) )
4443rexbidva 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( E. z  e.  ran  F  -.  z  <_  y  <->  E. z  e.  ran  F  y  <  z ) )
4535, 44syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  ( -.  A. z  e.  ran  F  z  <_  y  <->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) )
4634, 45imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( -.  x  <_ 
y  ->  -.  A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y )  <->  ( y  <  x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) )
4729, 46syl5bb 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  /\  y  e.  RR* )  ->  (
( A. z  e. 
ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y
)  <->  ( y  < 
x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) )
4847ralbidva 2572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A --> RR* 
/\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y  ->  x  <_  y )  <->  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  ran  F  y  <  z ) ) )
4928, 48anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A --> RR* 
/\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  /\  x  e.  RR* )  ->  ( ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  ( A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  ran  F  y  < 
z ) ) ) )
5049rexbidva 2573 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  RR*  ( y  <  x  ->  E. z  e.  ran  F  y  <  z ) ) ) )
5122, 50mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e. 
RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y  ->  x  <_  y ) ) )
52 ledm 14362 . . . . 5  |-  RR*  =  dom  <_
53 biid 227 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <-> 
( A. y  e. 
ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e. 
RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_ 
y  ->  x  <_  y ) ) )
5452, 53spwcl 14355 . . . 4  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  ran  F  e.  _V  /\  E. x  e.  RR*  ( A. y  e.  ran  F  y  <_  x  /\  A. y  e.  RR*  ( A. z  e.  ran  F  z  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )  ->  (  <_  sup w  ran  F )  e. 
RR* )
553, 19, 51, 54syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  (  <_  sup w  ran  F
)  e.  RR* )
5652supdef 25365 . . 3  |-  ( (  <_  e.  PosetRel  /\  ran  F  e.  _V  /\  (  <_  sup w  ran  F
)  e.  RR* )  ->  ( A. x  e. 
ran  F  x  <_  (  <_  sup w  ran  F
)  /\  A. x  e.  RR*  ( A. w  e.  ran  F  w  <_  x  ->  (  <_  sup w  ran  F )  <_  x ) ) )
573, 14, 55, 56syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( A. x  e.  ran  F  x  <_  (  <_  sup
w  ran  F )  /\  A. x  e.  RR*  ( A. w  e.  ran  F  w  <_  x  ->  (  <_  sup w  ran  F
)  <_  x )
) )
584eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> RR*  ->  A  =  dom  F )
5958eleq2d 2363 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> RR*  ->  ( C  e.  A  <->  C  e.  dom  F ) )
6059biimpa 470 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  C  e.  A )  ->  C  e.  dom  F )
61603adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  C  e.  dom  F )
62 fvelrn 5677 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  C  e.  dom  F )  -> 
( F `  C
)  e.  ran  F
)
6312, 61, 62syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  e.  ran  F )
64 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  C )  ->  (
x  <_  (  <_  sup
w  ran  F )  <->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) ) )
6564rspcv 2893 . . . . 5  |-  ( ( F `  C )  e.  ran  F  -> 
( A. x  e. 
ran  F  x  <_  (  <_  sup w  ran  F
)  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F
) ) )
6663, 65syl 15 . . . 4  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( A. x  e.  ran  F  x  <_  (  <_  sup
w  ran  F )  ->  ( F `  C
)  <_  (  <_  sup
w  ran  F )
) )
6766com12 27 . . 3  |-  ( A. x  e.  ran  F  x  <_  (  <_  sup w  ran  F )  -> 
( ( F : A
--> RR*  /\  A  e. 
_V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) ) )
6867adantr 451 . 2  |-  ( ( A. x  e.  ran  F  x  <_  (  <_  sup
w  ran  F )  /\  A. x  e.  RR*  ( A. w  e.  ran  F  w  <_  x  ->  (  <_  sup w  ran  F
)  <_  x )
)  ->  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) ) )
6957, 68mpcom 32 1  |-  ( ( F : A --> RR*  /\  A  e.  _V  /\  C  e.  A )  ->  ( F `  C )  <_  (  <_  sup w  ran  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   dom cdm 4705   ran crn 4706   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   PosetRelcps 14317    TosetRel ctsr 14318    sup w cspw 14319
This theorem is referenced by:  supnufb  25733
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-undef 6314  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-ps 14322  df-tsr 14323  df-spw 14324
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