Theorem suprelem 5271

Description: Mapping of non-empty subset from signed reals to reals.

Hypothesis

Ref	Expression
supre.1	|- B = {w | <.w, 0R>. e. A}

Assertion

Ref	Expression
suprelem	|- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> (B (_ R. /\ -. B = (/)))

Distinct variable groups:   w,A   w,B

Proof of Theorem suprelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2066	. . . . . 6 |- (A (_ RR -> (<.w, 0R>. e. A -> <.w, 0R>. e. RR))
2		supre.1	. . . . . . 7 |- B = {w | <.w, 0R>. e. A}
3	2	abeq2i 1573	. . . . . 6 |- (w e. B <-> <.w, 0R>. e. A)
4	1, 3	syl5ib 206	. . . . 5 |- (A (_ RR -> (w e. B -> <.w, 0R>. e. RR))
5		opelreal 5261	. . . . 5 |- (<.w, 0R>. e. RR <-> w e. R.)
6	4, 5	syl6ib 212	. . . 4 |- (A (_ RR -> (w e. B -> w e. R.))
7	6	ssrdv 2073	. . 3 |- (A (_ RR -> B (_ R.)
8	7	adantr 391	. 2 |- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> B (_ R.)
9		ssel 2066	. . . . . . . 8 |- (A (_ RR -> (x e. A -> x e. RR))
10	9	com12 11	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (A (_ RR -> x e. RR))
11		eleq1 1537	. . . . . . . . . . . . 13 |- (<.w, 0R>. = x -> (<.w, 0R>. e. A <-> x e. A))
12	11, 3	syl5bb 534	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.w, 0R>. = x -> (w e. B <-> x e. A))
13	12	biimprcd 156	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (<.w, 0R>. = x -> w e. B))
14		n0i 2288	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. B -> -. B = (/))
15	13, 14	syl6 22	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (<.w, 0R>. = x -> -. B = (/)))
16	15	adantld 392	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> ((w e. R. /\ <.w, 0R>. = x) -> -. B = (/)))
17	16	19.23adv 1216	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (E.w(w e. R. /\ <.w, 0R>. = x) -> -. B = (/)))
18		elreal 5262	. . . . . . . 8 |- (x e. RR <-> E.w(w e. R. /\ <.w, 0R>. = x))
19	17, 18	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (x e. A -> (x e. RR -> -. B = (/)))
20	10, 19	syld 27	. . . . . 6 |- (x e. A -> (A (_ RR -> -. B = (/)))
21	20	19.23aiv 1297	. . . . 5 |- (E.x x e. A -> (A (_ RR -> -. B = (/)))
22	21	com12 11	. . . 4 |- (A (_ RR -> (E.x x e. A -> -. B = (/)))
23		n0 2293	. . . 4 |- (-. A = (/) <-> E.x x e. A)
24	22, 23	syl5ib 206	. . 3 |- (A (_ RR -> (-. A = (/) -> -. B = (/)))
25	24	imp 350	. 2 |- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> -. B = (/))
26	8, 25	jca 288	1 |- ((A (_ RR /\ -. A = (/)) -> (B (_ R. /\ -. B = (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466   (_ wss 2050  (/)c0 2283  <.cop 2415  R.cnr 5005  0Rc0r 5006  RRcr 5245

This theorem is referenced by:  supre 5272

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-enr 5178  df-nr 5179  df-0r 5183  df-r 5256

Copyright terms: Public domain