MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprleub Structured version   Unicode version

Theorem suprleub 9972
Description: The supremum of a non-empty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
suprleub  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem suprleub
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnub 9971 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
2 suprcl 9968 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3 lenlt 9154 . . . 4  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
42, 3sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
5 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
65sselda 3348 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
7 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
86, 7lenltd 9219 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  <_  B  <->  -.  B  <  w ) )
98ralbidva 2721 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
101, 4, 93bitr4d 277 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. w  e.  A  w  <_  B ) )
11 breq1 4215 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  (
w  <_  B  <->  z  <_  B ) )
1211cbvralv 2932 . 2  |-  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B )
1310, 12syl6bb 253 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   supcsup 7445   RRcr 8989    < clt 9120    <_ cle 9121
This theorem is referenced by:  supmul1  9973  supmul  9976  suprleubii  9982  suprzcl  10349  rpnnen1lem3  10602  rpnnen1lem5  10604  supxrre  10906  flval3  11222  sqrlem4  12051  sqrlem6  12053  ruclem12  12840  icccmplem3  18855  reconnlem2  18858  evth  18984  ivthlem2  19349  ivthlem3  19350  mbflimsup  19558  itg2cnlem1  19653  plyeq0lem  20129  supaddc  26237  supadd  26238  ismblfin  26247  ubelsupr  27667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294
  Copyright terms: Public domain W3C validator