MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprleub Unicode version

Theorem suprleub 9713
Description: The supremum of a non-empty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
suprleub  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    z, A    z, B
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem suprleub
StepHypRef Expression
1 suprnub 9712 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
2 suprcl 9709 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3 lenlt 8896 . . . 4  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
42, 3sylan 459 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
5 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
65sselda 3181 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
7 simplr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
86, 7lenltd 8960 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  <_  B  <->  -.  B  <  w ) )
98ralbidva 2560 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
101, 4, 93bitr4d 278 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. w  e.  A  w  <_  B ) )
11 breq1 4027 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  (
w  <_  B  <->  z  <_  B ) )
1211cbvralv 2765 . 2  |-  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B )
1310, 12syl6bb 254 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   (/)c0 3456   class class class wbr 4024   supcsup 7188   RRcr 8731    < clt 8862    <_ cle 8863
This theorem is referenced by:  supmul1  9714  supmul  9717  suprleubii  9723  suprzcl  10086  rpnnen1lem3  10339  rpnnen1lem5  10341  supxrre  10640  flval3  10939  sqrlem4  11725  sqrlem6  11727  ruclem12  12513  icccmplem3  18323  reconnlem2  18326  evth  18451  ivthlem2  18806  ivthlem3  18807  mbflimsup  19015  itg2cnlem1  19110  plyeq0lem  19586  ubelsupr  27090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-iota 6252  df-riota 6299  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035
  Copyright terms: Public domain W3C validator