Theorem suprleub 6020

Description: The supremum of a non-empty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound.

Assertion

Ref	Expression
suprleub	|- (((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) /\ (B e. RR /\ A.z e. A z <_ B)) -> sup(A, RR, < ) <_ B)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   z,B

Proof of Theorem suprleub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenltt 5497	. . . . . . . 8 |- ((z e. RR /\ B e. RR) -> (z <_ B <-> -. B < z))
2		ssel2 2062	. . . . . . . 8 |- ((A (_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
3	1, 2	sylan 448	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR /\ z e. A) /\ B e. RR) -> (z <_ B <-> -. B < z))
4	3	an1rs 489	. . . . . 6 |- (((A (_ RR /\ B e. RR) /\ z e. A) -> (z <_ B <-> -. B < z))
5	4	ralbidva 1658	. . . . 5 |- ((A (_ RR /\ B e. RR) -> (A.z e. A z <_ B <-> A.z e. A -. B < z))
6	5	pm5.32da 648	. . . 4 |- (A (_ RR -> ((B e. RR /\ A.z e. A z <_ B) <-> (B e. RR /\ A.z e. A -. B < z)))
7	6	3ad2ant1 799	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> ((B e. RR /\ A.z e. A z <_ B) <-> (B e. RR /\ A.z e. A -. B < z)))
8		suprnub 6019	. . . . 5 |- (((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) /\ (B e. RR /\ A.z e. A -. B < z)) -> -. B < sup(A, RR, < ))
9		lenltt 5497	. . . . . . 7 |- ((sup(A, RR, < ) e. RR /\ B e. RR) -> (sup(A, RR, < ) <_ B <-> -. B < sup(A, RR, < )))
10		suprcl 6016	. . . . . . 7 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> sup(A, RR, < ) e. RR)
11	9, 10	sylan 448	. . . . . 6 |- (((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) /\ B e. RR) -> (sup(A, RR, < ) <_ B <-> -. B < sup(A, RR, < )))
12	11	adantrr 395	. . . . 5 |- (((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) /\ (B e. RR /\ A.z e. A -. B < z)) -> (sup(A, RR, < ) <_ B <-> -. B < sup(A, RR, < )))
13	8, 12	mpbird 196	. . . 4 |- (((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) /\ (B e. RR /\ A.z e. A -. B < z)) -> sup(A, RR, < ) <_ B)
14	13	ex 373	. . 3 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> ((B e. RR /\ A.z e. A -. B < z) -> sup(A, RR, < ) <_ B))
15	7, 14	sylbid 203	. 2 |- ((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) -> ((B e. RR /\ A.z e. A z <_ B) -> sup(A, RR, < ) <_ B))
16	15	imp 350	1 |- (((A (_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <_ x) /\ (B e. RR /\ A.z e. A z <_ B)) -> sup(A, RR, < ) <_ B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 957   =/= wne 1584  A.wral 1644  E.wrex 1645   (_ wss 2045  (/)c0 2278   class class class wbr 2616  supcsup 4560  RRcr 5220   <_ cle 5282   < clt 5473

This theorem is referenced by:  suprleubi 6026

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478

Copyright terms: Public domain