MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprleub Unicode version

Theorem suprleub 9905
Description: The supremum of a non-empty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
suprleub  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem suprleub
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnub 9904 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
2 suprcl 9901 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3 lenlt 9088 . . . 4  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
42, 3sylan 458 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
5 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
65sselda 3292 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
7 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
86, 7lenltd 9152 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  <_  B  <->  -.  B  <  w ) )
98ralbidva 2666 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
101, 4, 93bitr4d 277 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. w  e.  A  w  <_  B ) )
11 breq1 4157 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  (
w  <_  B  <->  z  <_  B ) )
1211cbvralv 2876 . 2  |-  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B )
1310, 12syl6bb 253 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   (/)c0 3572   class class class wbr 4154   supcsup 7381   RRcr 8923    < clt 9054    <_ cle 9055
This theorem is referenced by:  supmul1  9906  supmul  9909  suprleubii  9915  suprzcl  10282  rpnnen1lem3  10535  rpnnen1lem5  10537  supxrre  10839  flval3  11150  sqrlem4  11979  sqrlem6  11981  ruclem12  12768  icccmplem3  18727  reconnlem2  18730  evth  18856  ivthlem2  19217  ivthlem3  19218  mbflimsup  19426  itg2cnlem1  19521  plyeq0lem  19997  supaddc  25948  supadd  25949  ubelsupr  27360
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227
  Copyright terms: Public domain W3C validator