MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprleub Unicode version

Theorem suprleub 9734
Description: The supremum of a non-empty bounded set of reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
suprleub  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    z, A    z, B
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem suprleub
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnub 9733 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  )  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
2 suprcl 9730 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR )
3 lenlt 8917 . . . 4  |-  ( ( sup ( A ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
42, 3sylan 457 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  -.  B  <  sup ( A ,  RR ,  <  ) ) )
5 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
65sselda 3193 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
7 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  B  e.  RR )
86, 7lenltd 8981 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  /\  w  e.  A )  ->  (
w  <_  B  <->  -.  B  <  w ) )
98ralbidva 2572 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. w  e.  A  -.  B  <  w ) )
101, 4, 93bitr4d 276 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. w  e.  A  w  <_  B ) )
11 breq1 4042 . . 3  |-  ( w  =  z  ->  (
w  <_  B  <->  z  <_  B ) )
1211cbvralv 2777 . 2  |-  ( A. w  e.  A  w  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B )
1310, 12syl6bb 252 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( A ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  A  z  <_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   supcsup 7209   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  supmul1  9735  supmul  9738  suprleubii  9744  suprzcl  10107  rpnnen1lem3  10360  rpnnen1lem5  10362  supxrre  10662  flval3  10961  sqrlem4  11747  sqrlem6  11749  ruclem12  12535  icccmplem3  18345  reconnlem2  18348  evth  18473  ivthlem2  18828  ivthlem3  18829  mbflimsup  19037  itg2cnlem1  19132  plyeq0lem  19608  supaddc  24995  supadd  24996  ubelsupr  27794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056
  Copyright terms: Public domain W3C validator