HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem supsr 6981
Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
supsr |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem supsr
StepHypRef Expression
1 n0 2909 . . 3 |- (A =/= (/) <-> E.u u e. A)
2 vex 2340 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
3 ltrelsr 6940 . . . . . . . . . . . . 13 |- <R C_ (R. X. R.)
42, 3brel 4055 . . . . . . . . . . . 12 |- (y <R x -> (y e. R. /\ x e. R.))
54simpld 441 . . . . . . . . . . 11 |- (y <R x -> y e. R.)
65ralimi 2206 . . . . . . . . . 10 |- (A.y e. A y <R x -> A.y e. A y e. R.)
7 dfss3 2651 . . . . . . . . . 10 |- (A C_ R. <-> A.y e. A y e. R.)
86, 7sylibr 202 . . . . . . . . 9 |- (A.y e. A y <R x -> A C_ R.)
98sseld 2660 . . . . . . . 8 |- (A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
109rexlimivw 2251 . . . . . . 7 |- (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
1110impcom 418 . . . . . 6 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> u e. R.)
12 eleq1 1991 . . . . . . . . 9 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (u e. A <-> if(u e. R., u, 1R) e. A))
1312anbi1d 684 . . . . . . . 8 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) <-> (if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x)))
1413imbi1d 305 . . . . . . 7 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))) <-> ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))))
15 opeq1 3188 . . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> <.v, 1P>. = <.w, 1P>.)
16 eceq1 5540 . . . . . . . . . . . 12 |- (<.v, 1P>. = <.w, 1P>. -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- (v = w -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1817oveq2d 4927 . . . . . . . . . 10 |- (v = w -> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) = (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ))
1918eleq1d 1997 . . . . . . . . 9 |- (v = w -> ((if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A <-> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A))
2019cbvabv 2467 . . . . . . . 8 |- {v | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A} = {w | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A}
21 1sr 6950 . . . . . . . . 9 |- 1R e. R.
2221elimel 3050 . . . . . . . 8 |- if(u e. R., u, 1R) e. R.
2320, 22supsrlem 6980 . . . . . . 7 |- ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2414, 23dedth 3039 . . . . . 6 |- (u e. R. -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2511, 24mpcom 31 . . . . 5 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2625ex 422 . . . 4 |- (u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2726exlimiv 1732 . . 3 |- (E.u u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
281, 27sylbi 185 . 2 |- (A =/= (/) -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2928imp 417 1 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 357  E.wex 1349   = wceq 1428   e. wcel 1430  {cab 1919   =/= wne 2050  A.wral 2141  E.wrex 2142   C_ wss 2636  (/)c0 2900  ifcif 3001  <.cop 3074   class class class wbr 3354  (class class class)co 4914  [cec 5512  1Pc1p 6727   ~R cer 6733  R.cnr 6734  1Rc1r 6736   +R cplr 6738   <R cltr 6740
This theorem is referenced by:  axpre-sup 7037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1345  ax-6 1346  ax-7 1347  ax-gen 1348  ax-8 1432  ax-10 1433  ax-11 1434  ax-12 1435  ax-13 1436  ax-14 1437  ax-17 1444  ax-9 1459  ax-4 1465  ax-16 1643  ax-ext 1914  ax-rep 3440  ax-sep 3450  ax-nul 3459  ax-pow 3495  ax-pr 3519  ax-un 3791  ax-inf2 6055
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 358  df-an 359  df-3or 916  df-3an 917  df-tru 1323  df-ex 1350  df-sb 1605  df-eu 1832  df-mo 1833  df-clab 1920  df-cleq 1925  df-clel 1928  df-ne 2052  df-ral 2145  df-rex 2146  df-reu 2147  df-rab 2148  df-v 2339  df-sbc 2504  df-csb 2579  df-dif 2639  df-un 2641  df-in 2643  df-ss 2645  df-pss 2647  df-nul 2901  df-if 3002  df-pw 3060  df-sn 3077  df-pr 3078  df-tp 3079  df-op 3080  df-uni 3210  df-int 3244  df-iun 3282  df-br 3355  df-opab 3409  df-tr 3424  df-eprel 3604  df-id 3607  df-po 3612  df-so 3626  df-fr 3645  df-we 3661  df-ord 3677  df-on 3678  df-lim 3679  df-suc 3680  df-om 3954  df-xp 4001  df-rel 4002  df-cnv 4003  df-co 4004  df-dm 4005  df-rn 4006  df-res 4007  df-ima 4008  df-fun 4009  df-fn 4010  df-f 4011  df-fv 4015  df-ov 4916  df-oprab 4917  df-mpt 5051  df-mpt2 5052  df-1st 5150  df-2nd 5151  df-rdg 5340  df-1o 5377  df-oadd 5381  df-omul 5382  df-er 5514  df-ec 5516  df-qs 5520  df-ni 6741  df-pli 6742  df-mi 6743  df-lti 6744  df-plpq 6777  df-mpq 6778  df-ltpq 6779  df-enq 6780  df-nq 6781  df-erq 6782  df-plq 6783  df-mq 6784  df-1nq 6785  df-rq 6786  df-ltnq 6787  df-np 6851  df-1p 6852  df-plp 6853  df-mp 6854  df-ltp 6855  df-plpr 6925  df-mpr 6926  df-enr 6927  df-nr 6928  df-plr 6929  df-mr 6930  df-ltr 6931  df-0r 6932  df-1r 6933  df-m1r 6934
Copyright terms: Public domain