MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsr Unicode version

Theorem supsr 8614
Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supsr  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem supsr
StepHypRef Expression
1 n0 3371 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. u  u  e.  A )
2 ltrelsr 8573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
32brel 4644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
<R  x  ->  ( y  e.  R.  /\  x  e.  R. ) )
43simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
<R  x  ->  y  e. 
R. )
54ralimi 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  R. )
6 dfss3 3093 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  R.  <->  A. y  e.  A  y  e.  R. )
75, 6sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A  C_  R. )
87sseld 3102 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( u  e.  A  ->  u  e. 
R. ) )
98rexlimivw 2625 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( u  e.  A  ->  u  e. 
R. ) )
109impcom 421 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  u  e.  R. )
11 eleq1 2313 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  ->  (
u  e.  A  <->  if (
u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  A ) )
1211anbi1d 688 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  ->  (
( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  <->  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
) ) )
1312imbi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( u  =  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  ->  (
( ( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
)  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )  <->  ( ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
)  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) ) )
14 opeq1 3696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  <. v ,  1P >.  =  <. w ,  1P >. )
15 eceq1 6582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
v ,  1P >.  = 
<. w ,  1P >.  ->  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  w  ->  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )
1716oveq2d 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  w  ->  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  ) )
1817eleq1d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  w  ->  (
( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( if ( u  e. 
R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A
) )
1918cbvabv 2368 . . . . . . . 8  |-  { v  |  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }  =  {
w  |  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
20 1sr 8583 . . . . . . . . 9  |-  1R  e.  R.
2120elimel 3522 . . . . . . . 8  |-  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  R.
2219, 21supsrlem 8613 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( u  e. 
R. ,  u ,  1R )  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
2313, 22dedth 3511 . . . . . 6  |-  ( u  e.  R.  ->  (
( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
2410, 23mpcom 34 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
2524ex 425 . . . 4  |-  ( u  e.  A  ->  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
2625exlimiv 2023 . . 3  |-  ( E. u  u  e.  A  ->  ( E. x  e. 
R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
271, 26sylbi 189 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
2827imp 420 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510    C_ wss 3078   (/)c0 3362   ifcif 3470   <.cop 3547   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   [cec 6544   1Pc1p 8362    ~R cer 8368   R.cnr 8369   1Rc1r 8371    +R cplr 8373    <R cltr 8375
This theorem is referenced by:  axpre-sup  8671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-1p 8486  df-plp 8487  df-mp 8488  df-ltp 8489  df-plpr 8559  df-mpr 8560  df-enr 8561  df-nr 8562  df-plr 8563  df-mr 8564  df-ltr 8565  df-0r 8566  df-1r 8567  df-m1r 8568
  Copyright terms: Public domain W3C validator