Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsr Unicode version

Theorem supsr 8947
 Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supsr
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem supsr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3601 . . 3
2 ltrelsr 8906 . . . . . . . . . . . . 13
32brel 4889 . . . . . . . . . . . 12
43simpld 446 . . . . . . . . . . 11
54ralimi 2745 . . . . . . . . . 10
6 dfss3 3302 . . . . . . . . . 10
75, 6sylibr 204 . . . . . . . . 9
87sseld 3311 . . . . . . . 8
98rexlimivw 2790 . . . . . . 7
109impcom 420 . . . . . 6
11 eleq1 2468 . . . . . . . . 9
1211anbi1d 686 . . . . . . . 8
1312imbi1d 309 . . . . . . 7
14 opeq1 3948 . . . . . . . . . . . 12
15 eceq1 6904 . . . . . . . . . . . 12
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11
1716oveq2d 6060 . . . . . . . . . 10
1817eleq1d 2474 . . . . . . . . 9
1918cbvabv 2527 . . . . . . . 8
20 1sr 8916 . . . . . . . . 9
2120elimel 3755 . . . . . . . 8
2219, 21supsrlem 8946 . . . . . . 7
2313, 22dedth 3744 . . . . . 6
2410, 23mpcom 34 . . . . 5
2524ex 424 . . . 4
2625exlimiv 1641 . . 3
271, 26sylbi 188 . 2
2827imp 419 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 359  wex 1547   wceq 1649   wcel 1721  cab 2394   wne 2571  wral 2670  wrex 2671   wss 3284  c0 3592  cif 3703  cop 3781   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044  cec 6866  c1p 8695   cer 8701  cnr 8702  c1r 8704   cplr 8706   cltr 8708 This theorem is referenced by:  axpre-sup  9004 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-ec 6870  df-qs 6874  df-ni 8709  df-pli 8710  df-mi 8711  df-lti 8712  df-plpq 8745  df-mpq 8746  df-ltpq 8747  df-enq 8748  df-nq 8749  df-erq 8750  df-plq 8751  df-mq 8752  df-1nq 8753  df-rq 8754  df-ltnq 8755  df-np 8818  df-1p 8819  df-plp 8820  df-mp 8821  df-ltp 8822  df-plpr 8892  df-mpr 8893  df-enr 8894  df-nr 8895  df-plr 8896  df-mr 8897  df-ltr 8898  df-0r 8899  df-1r 8900  df-m1r 8901
 Copyright terms: Public domain W3C validator