MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsr Unicode version

Theorem supsr 8165
Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supsr  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem supsr
StepHypRef Expression
1 n0 3086 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. u  u  e.  A )
2 ltrelsr 8124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
32brel 4330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
<R  x  ->  ( y  e.  R.  /\  x  e.  R. ) )
43simpld 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
<R  x  ->  y  e. 
R. )
54ralimi 2345 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  R. )
6 dfss3 2813 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  R.  <->  A. y  e.  A  y  e.  R. )
75, 6sylibr 201 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A  C_  R. )
87sseld 2822 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( u  e.  A  ->  u  e. 
R. ) )
98rexlimivw 2390 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( u  e.  A  ->  u  e. 
R. ) )
109impcom 416 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  u  e.  R. )
11 eleq1 2129 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  ->  (
u  e.  A  <->  if (
u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  A ) )
1211anbi1d 676 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  ->  (
( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  <->  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
) ) )
1312imbi1d 306 . . . . . . 7  |-  ( u  =  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  ->  (
( ( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
)  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )  <->  ( ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
)  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) ) )
14 opeq1 3407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  <. v ,  1P >.  =  <. w ,  1P >. )
15 eceq1 6161 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
v ,  1P >.  = 
<. w ,  1P >.  ->  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  w  ->  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )
1716oveq2d 5386 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  w  ->  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  ) )
1817eleq1d 2135 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  w  ->  (
( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( if ( u  e. 
R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A
) )
1918cbvabv 2614 . . . . . . . 8  |-  { v  |  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }  =  {
w  |  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
20 1sr 8134 . . . . . . . . 9  |-  1R  e.  R.
2120elimel 3238 . . . . . . . 8  |-  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  R.
2219, 21supsrlem 8164 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( u  e. 
R. ,  u ,  1R )  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
2313, 22dedth 3227 . . . . . 6  |-  ( u  e.  R.  ->  (
( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
2410, 23mpcom 32 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
2524ex 420 . . . 4  |-  ( u  e.  A  ->  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
2625exlimiv 1872 . . 3  |-  ( E. u  u  e.  A  ->  ( E. x  e. 
R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
271, 26sylbi 185 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
2827imp 415 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 356   E.wex 1450    = wceq 1524    e. wcel 1526   {cab 2056    =/= wne 2187   A.wral 2279   E.wrex 2280    C_ wss 2798   (/)c0 3077   ifcif 3186   <.cop 3263   class class class wbr 3596  (class class class)co 5370   [cec 6123   1Pc1p 7913    ~R cer 7919   R.cnr 7920   1Rc1r 7922    +R cplr 7924    <R cltr 7926
This theorem is referenced by:  axpre-sup  8222
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1446  ax-6 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-8 1528  ax-11 1529  ax-13 1530  ax-14 1531  ax-17 1533  ax-12o 1567  ax-10 1581  ax-9 1587  ax-4 1594  ax-16 1780  ax-ext 2051  ax-sep 3711  ax-nul 3719  ax-pow 3755  ax-pr 3779  ax-un 4071  ax-inf2 6835
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 357  df-an 358  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1259  df-ex 1451  df-sb 1741  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2057  df-cleq 2062  df-clel 2065  df-ne 2189  df-ral 2283  df-rex 2284  df-reu 2285  df-rab 2286  df-v 2482  df-sbc 2656  df-csb 2738  df-dif 2801  df-un 2803  df-in 2805  df-ss 2809  df-pss 2811  df-nul 3078  df-if 3187  df-pw 3248  df-sn 3266  df-pr 3267  df-tp 3268  df-op 3269  df-uni 3435  df-int 3469  df-iun 3512  df-br 3597  df-opab 3651  df-mpt 3652  df-tr 3684  df-eprel 3866  df-id 3870  df-po 3875  df-so 3876  df-fr 3913  df-we 3915  df-ord 3956  df-on 3957  df-lim 3958  df-suc 3959  df-om 4234  df-xp 4280  df-rel 4281  df-cnv 4282  df-co 4283  df-dm 4284  df-rn 4285  df-res 4286  df-ima 4287  df-fun 4288  df-fn 4289  df-f 4290  df-f1 4291  df-fo 4292  df-f1o 4293  df-fv 4294  df-ov 5373  df-oprab 5374  df-mpt2 5375  df-1st 5624  df-2nd 5625  df-recs 5853  df-rdg 5888  df-1o 5944  df-oadd 5948  df-omul 5949  df-er 6125  df-ec 6127  df-qs 6131  df-ni 7927  df-pli 7928  df-mi 7929  df-lti 7930  df-plpq 7963  df-mpq 7964  df-ltpq 7965  df-enq 7966  df-nq 7967  df-erq 7968  df-plq 7969  df-mq 7970  df-1nq 7971  df-rq 7972  df-ltnq 7973  df-np 8036  df-1p 8037  df-plp 8038  df-mp 8039  df-ltp 8040  df-plpr 8110  df-mpr 8111  df-enr 8112  df-nr 8113  df-plr 8114  df-mr 8115  df-ltr 8116  df-0r 8117  df-1r 8118  df-m1r 8119
  Copyright terms: Public domain W3C validator