HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem supsr 6989
Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
supsr |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem supsr
StepHypRef Expression
1 n0 2915 . . 3 |- (A =/= (/) <-> E.u u e. A)
2 vex 2346 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
3 ltrelsr 6948 . . . . . . . . . . . . 13 |- <R C_ (R. X. R.)
42, 3brel 4063 . . . . . . . . . . . 12 |- (y <R x -> (y e. R. /\ x e. R.))
54simpld 445 . . . . . . . . . . 11 |- (y <R x -> y e. R.)
65ralimi 2212 . . . . . . . . . 10 |- (A.y e. A y <R x -> A.y e. A y e. R.)
7 dfss3 2657 . . . . . . . . . 10 |- (A C_ R. <-> A.y e. A y e. R.)
86, 7sylibr 201 . . . . . . . . 9 |- (A.y e. A y <R x -> A C_ R.)
98sseld 2666 . . . . . . . 8 |- (A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
109rexlimivw 2257 . . . . . . 7 |- (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
1110impcom 422 . . . . . 6 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> u e. R.)
12 eleq1 1997 . . . . . . . . 9 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (u e. A <-> if(u e. R., u, 1R) e. A))
1312anbi1d 690 . . . . . . . 8 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) <-> (if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x)))
1413imbi1d 308 . . . . . . 7 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))) <-> ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))))
15 opeq1 3196 . . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> <.v, 1P>. = <.w, 1P>.)
16 eceq1 5549 . . . . . . . . . . . 12 |- (<.v, 1P>. = <.w, 1P>. -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- (v = w -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1817oveq2d 4935 . . . . . . . . . 10 |- (v = w -> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) = (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ))
1918eleq1d 2003 . . . . . . . . 9 |- (v = w -> ((if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A <-> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A))
2019cbvabv 2473 . . . . . . . 8 |- {v | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A} = {w | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A}
21 1sr 6958 . . . . . . . . 9 |- 1R e. R.
2221elimel 3057 . . . . . . . 8 |- if(u e. R., u, 1R) e. R.
2320, 22supsrlem 6988 . . . . . . 7 |- ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2414, 23dedth 3046 . . . . . 6 |- (u e. R. -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2511, 24mpcom 31 . . . . 5 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2625ex 426 . . . 4 |- (u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2726exlimiv 1738 . . 3 |- (E.u u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
281, 27sylbi 185 . 2 |- (A =/= (/) -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2928imp 421 1 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 361  E.wex 1355   = wceq 1434   e. wcel 1436  {cab 1925   =/= wne 2056  A.wral 2147  E.wrex 2148   C_ wss 2642  (/)c0 2906  ifcif 3008  <.cop 3081   class class class wbr 3362  (class class class)co 4922  [cec 5521  1Pc1p 6735   ~R cer 6741  R.cnr 6742  1Rc1r 6744   +R cplr 6746   <R cltr 6748
This theorem is referenced by:  axpre-sup 7045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1351  ax-6 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-12 1441  ax-13 1442  ax-14 1443  ax-17 1450  ax-9 1465  ax-4 1471  ax-16 1649  ax-ext 1920  ax-rep 3448  ax-sep 3458  ax-nul 3467  ax-pow 3503  ax-pr 3527  ax-un 3799  ax-inf2 6064
This theorem depends on definitions:  df-bi 175  df-or 362  df-an 363  df-3or 922  df-3an 923  df-tru 1329  df-ex 1356  df-sb 1611  df-eu 1838  df-mo 1839  df-clab 1926  df-cleq 1931  df-clel 1934  df-ne 2058  df-ral 2151  df-rex 2152  df-reu 2153  df-rab 2154  df-v 2345  df-sbc 2510  df-csb 2585  df-dif 2645  df-un 2647  df-in 2649  df-ss 2651  df-pss 2653  df-nul 2907  df-if 3009  df-pw 3067  df-sn 3084  df-pr 3085  df-tp 3086  df-op 3087  df-uni 3218  df-int 3252  df-iun 3290  df-br 3363  df-opab 3417  df-tr 3432  df-eprel 3612  df-id 3615  df-po 3620  df-so 3634  df-fr 3653  df-we 3669  df-ord 3685  df-on 3686  df-lim 3687  df-suc 3688  df-om 3962  df-xp 4009  df-rel 4010  df-cnv 4011  df-co 4012  df-dm 4013  df-rn 4014  df-res 4015  df-ima 4016  df-fun 4017  df-fn 4018  df-f 4019  df-fv 4023  df-ov 4924  df-oprab 4925  df-mpt 5059  df-mpt2 5060  df-1st 5158  df-2nd 5159  df-rdg 5349  df-1o 5386  df-oadd 5390  df-omul 5391  df-er 5523  df-ec 5525  df-qs 5529  df-ni 6749  df-pli 6750  df-mi 6751  df-lti 6752  df-plpq 6785  df-mpq 6786  df-ltpq 6787  df-enq 6788  df-nq 6789  df-erq 6790  df-plq 6791  df-mq 6792  df-1nq 6793  df-rq 6794  df-ltnq 6795  df-np 6859  df-1p 6860  df-plp 6861  df-mp 6862  df-ltp 6863  df-plpr 6933  df-mpr 6934  df-enr 6935  df-nr 6936  df-plr 6937  df-mr 6938  df-ltr 6939  df-0r 6940  df-1r 6941  df-m1r 6942
Copyright terms: Public domain