HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem supsr 6961
Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
supsr |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem supsr
StepHypRef Expression
1 n0 2935 . . 3 |- (A =/= (/) <-> E.u u e. A)
2 vex 2368 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
3 ltrelsr 6920 . . . . . . . . . . . . 13 |- <R C_ (R. X. R.)
42, 3brel 4070 . . . . . . . . . . . 12 |- (y <R x -> (y e. R. /\ x e. R.))
54simpld 467 . . . . . . . . . . 11 |- (y <R x -> y e. R.)
65ralimi 2234 . . . . . . . . . 10 |- (A.y e. A y <R x -> A.y e. A y e. R.)
7 dfss3 2677 . . . . . . . . . 10 |- (A C_ R. <-> A.y e. A y e. R.)
86, 7sylibr 221 . . . . . . . . 9 |- (A.y e. A y <R x -> A C_ R.)
98sseld 2686 . . . . . . . 8 |- (A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
109rexlimivw 2279 . . . . . . 7 |- (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
1110impcom 444 . . . . . 6 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> u e. R.)
12 eleq1 2019 . . . . . . . . 9 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (u e. A <-> if(u e. R., u, 1R) e. A))
1312anbi1d 713 . . . . . . . 8 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) <-> (if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x)))
1413imbi1d 326 . . . . . . 7 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))) <-> ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))))
15 opeq1 3212 . . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> <.v, 1P>. = <.w, 1P>.)
16 eceq1 5524 . . . . . . . . . . . 12 |- (<.v, 1P>. = <.w, 1P>. -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- (v = w -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1817oveq2d 4941 . . . . . . . . . 10 |- (v = w -> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) = (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ))
1918eleq1d 2025 . . . . . . . . 9 |- (v = w -> ((if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A <-> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A))
2019cbvabv 2495 . . . . . . . 8 |- {v | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A} = {w | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A}
21 1sr 6930 . . . . . . . . 9 |- 1R e. R.
2221elimel 3076 . . . . . . . 8 |- if(u e. R., u, 1R) e. R.
2320, 22supsrlem 6960 . . . . . . 7 |- ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2414, 23dedth 3065 . . . . . 6 |- (u e. R. -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2511, 24mpcom 33 . . . . 5 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2625ex 448 . . . 4 |- (u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2726exlimiv 1760 . . 3 |- (E.u u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
281, 27sylbi 200 . 2 |- (A =/= (/) -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2928imp 443 1 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 382  E.wex 1380   = wceq 1457   e. wcel 1459  {cab 1947   =/= wne 2078  A.wral 2169  E.wrex 2170   C_ wss 2662  (/)c0 2926  ifcif 3027  <.cop 3099   class class class wbr 3378  (class class class)co 4928  [cec 5496  1Pc1p 6707   ~R cer 6713  R.cnr 6714  1Rc1r 6716   +R cplr 6718   <R cltr 6720
This theorem is referenced by:  axpre-sup 7017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-ext 1942  ax-rep 3464  ax-sep 3474  ax-nul 3483  ax-pow 3519  ax-pr 3543  ax-un 3813  ax-inf2 6037
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-csb 2606  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-pss 2673  df-nul 2927  df-if 3028  df-pw 3086  df-sn 3101  df-pr 3102  df-tp 3104  df-op 3105  df-uni 3234  df-int 3268  df-iun 3306  df-br 3379  df-opab 3433  df-tr 3448  df-eprel 3626  df-id 3629  df-po 3634  df-so 3648  df-fr 3667  df-we 3683  df-ord 3699  df-on 3700  df-lim 3701  df-suc 3702  df-om 3969  df-xp 4016  df-rel 4017  df-cnv 4018  df-co 4019  df-dm 4020  df-rn 4021  df-res 4022  df-ima 4023  df-fun 4024  df-fn 4025  df-f 4026  df-fv 4030  df-ov 4930  df-oprab 4931  df-mpt 5065  df-mpt2 5066  df-1st 5134  df-2nd 5135  df-rdg 5324  df-1o 5361  df-oadd 5365  df-omul 5366  df-er 5498  df-ec 5500  df-qs 5504  df-ni 6721  df-pli 6722  df-mi 6723  df-lti 6724  df-plpq 6757  df-mpq 6758  df-ltpq 6759  df-enq 6760  df-nq 6761  df-erq 6762  df-plq 6763  df-mq 6764  df-1nq 6765  df-rq 6766  df-ltnq 6767  df-np 6831  df-1p 6832  df-plp 6833  df-mp 6834  df-ltp 6835  df-plpr 6905  df-mpr 6906  df-enr 6907  df-nr 6908  df-plr 6909  df-mr 6910  df-ltr 6911  df-0r 6912  df-1r 6913  df-m1r 6914
Copyright terms: Public domain