HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem supsr 6996
Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
supsr |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem supsr
StepHypRef Expression
1 n0 2936 . . 3 |- (A =/= (/) <-> E.u u e. A)
2 vex 2369 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
3 ltrelsr 6955 . . . . . . . . . . . . 13 |- <R C_ (R. X. R.)
42, 3brel 4076 . . . . . . . . . . . 12 |- (y <R x -> (y e. R. /\ x e. R.))
54simpld 467 . . . . . . . . . . 11 |- (y <R x -> y e. R.)
65ralimi 2235 . . . . . . . . . 10 |- (A.y e. A y <R x -> A.y e. A y e. R.)
7 dfss3 2678 . . . . . . . . . 10 |- (A C_ R. <-> A.y e. A y e. R.)
86, 7sylibr 221 . . . . . . . . 9 |- (A.y e. A y <R x -> A C_ R.)
98sseld 2687 . . . . . . . 8 |- (A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
109rexlimivw 2280 . . . . . . 7 |- (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
1110impcom 444 . . . . . 6 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> u e. R.)
12 eleq1 2020 . . . . . . . . 9 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (u e. A <-> if(u e. R., u, 1R) e. A))
1312anbi1d 713 . . . . . . . 8 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) <-> (if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x)))
1413imbi1d 326 . . . . . . 7 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))) <-> ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))))
15 opeq1 3213 . . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> <.v, 1P>. = <.w, 1P>.)
16 eceq1 5559 . . . . . . . . . . . 12 |- (<.v, 1P>. = <.w, 1P>. -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- (v = w -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1817oveq2d 4948 . . . . . . . . . 10 |- (v = w -> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) = (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ))
1918eleq1d 2026 . . . . . . . . 9 |- (v = w -> ((if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A <-> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A))
2019cbvabv 2496 . . . . . . . 8 |- {v | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A} = {w | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A}
21 1sr 6965 . . . . . . . . 9 |- 1R e. R.
2221elimel 3077 . . . . . . . 8 |- if(u e. R., u, 1R) e. R.
2320, 22supsrlem 6995 . . . . . . 7 |- ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2414, 23dedth 3066 . . . . . 6 |- (u e. R. -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2511, 24mpcom 33 . . . . 5 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2625ex 448 . . . 4 |- (u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2726exlimiv 1761 . . 3 |- (E.u u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
281, 27sylbi 200 . 2 |- (A =/= (/) -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2928imp 443 1 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 382  E.wex 1380   = wceq 1457   e. wcel 1459  {cab 1948   =/= wne 2079  A.wral 2170  E.wrex 2171   C_ wss 2663  (/)c0 2927  ifcif 3028  <.cop 3100   class class class wbr 3379  (class class class)co 4935  [cec 5531  1Pc1p 6742   ~R cer 6748  R.cnr 6749  1Rc1r 6751   +R cplr 6753   <R cltr 6755
This theorem is referenced by:  axpre-sup 7052
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1672  ax-ext 1943  ax-rep 3465  ax-sep 3475  ax-nul 3484  ax-pow 3520  ax-pr 3544  ax-un 3814  ax-inf2 6072
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1634  df-eu 1861  df-mo 1862  df-clab 1949  df-cleq 1954  df-clel 1957  df-ne 2081  df-ral 2174  df-rex 2175  df-reu 2176  df-rab 2177  df-v 2368  df-sbc 2533  df-csb 2607  df-dif 2666  df-un 2668  df-in 2670  df-ss 2672  df-pss 2674  df-nul 2928  df-if 3029  df-pw 3087  df-sn 3102  df-pr 3103  df-tp 3105  df-op 3106  df-uni 3235  df-int 3269  df-iun 3307  df-br 3380  df-opab 3434  df-tr 3449  df-eprel 3627  df-id 3630  df-po 3635  df-so 3649  df-fr 3668  df-we 3684  df-ord 3700  df-on 3701  df-lim 3702  df-suc 3703  df-om 3975  df-xp 4022  df-rel 4023  df-cnv 4024  df-co 4025  df-dm 4026  df-rn 4027  df-res 4028  df-ima 4029  df-fun 4030  df-fn 4031  df-f 4032  df-fv 4036  df-ov 4937  df-oprab 4938  df-mpt 5072  df-mpt2 5073  df-1st 5169  df-2nd 5170  df-rdg 5359  df-1o 5396  df-oadd 5400  df-omul 5401  df-er 5533  df-ec 5535  df-qs 5539  df-ni 6756  df-pli 6757  df-mi 6758  df-lti 6759  df-plpq 6792  df-mpq 6793  df-ltpq 6794  df-enq 6795  df-nq 6796  df-erq 6797  df-plq 6798  df-mq 6799  df-1nq 6800  df-rq 6801  df-ltnq 6802  df-np 6866  df-1p 6867  df-plp 6868  df-mp 6869  df-ltp 6870  df-plpr 6940  df-mpr 6941  df-enr 6942  df-nr 6943  df-plr 6944  df-mr 6945  df-ltr 6946  df-0r 6947  df-1r 6948  df-m1r 6949
Copyright terms: Public domain