HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem supsr 6957
Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
supsr |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem supsr
StepHypRef Expression
1 n0 2935 . . 3 |- (A =/= (/) <-> E.u u e. A)
2 vex 2368 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
3 ltrelsr 6916 . . . . . . . . . . . . 13 |- <R C_ (R. X. R.)
42, 3brel 4068 . . . . . . . . . . . 12 |- (y <R x -> (y e. R. /\ x e. R.))
54simpld 467 . . . . . . . . . . 11 |- (y <R x -> y e. R.)
65ralimi 2234 . . . . . . . . . 10 |- (A.y e. A y <R x -> A.y e. A y e. R.)
7 dfss3 2677 . . . . . . . . . 10 |- (A C_ R. <-> A.y e. A y e. R.)
86, 7sylibr 221 . . . . . . . . 9 |- (A.y e. A y <R x -> A C_ R.)
98sseld 2686 . . . . . . . 8 |- (A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
109rexlimivw 2279 . . . . . . 7 |- (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
1110impcom 444 . . . . . 6 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> u e. R.)
12 eleq1 2019 . . . . . . . . 9 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (u e. A <-> if(u e. R., u, 1R) e. A))
1312anbi1d 713 . . . . . . . 8 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) <-> (if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x)))
1413imbi1d 326 . . . . . . 7 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))) <-> ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))))
15 opeq1 3210 . . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> <.v, 1P>. = <.w, 1P>.)
16 eceq1 5520 . . . . . . . . . . . 12 |- (<.v, 1P>. = <.w, 1P>. -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- (v = w -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1817oveq2d 4937 . . . . . . . . . 10 |- (v = w -> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) = (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ))
1918eleq1d 2025 . . . . . . . . 9 |- (v = w -> ((if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A <-> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A))
2019cbvabv 2495 . . . . . . . 8 |- {v | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A} = {w | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A}
21 1sr 6926 . . . . . . . . 9 |- 1R e. R.
2221elimel 3074 . . . . . . . 8 |- if(u e. R., u, 1R) e. R.
2320, 22supsrlem 6956 . . . . . . 7 |- ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2414, 23dedth 3063 . . . . . 6 |- (u e. R. -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2511, 24mpcom 33 . . . . 5 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2625ex 448 . . . 4 |- (u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2726exlimiv 1760 . . 3 |- (E.u u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
281, 27sylbi 200 . 2 |- (A =/= (/) -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2928imp 443 1 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 382  E.wex 1380   = wceq 1457   e. wcel 1459  {cab 1947   =/= wne 2078  A.wral 2169  E.wrex 2170   C_ wss 2662  (/)c0 2926  ifcif 3027  <.cop 3097   class class class wbr 3376  (class class class)co 4924  [cec 5492  1Pc1p 6703   ~R cer 6709  R.cnr 6710  1Rc1r 6712   +R cplr 6714   <R cltr 6716
This theorem is referenced by:  axpre-sup 7013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1376  ax-6 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-8 1461  ax-10 1462  ax-11 1463  ax-12 1464  ax-13 1465  ax-14 1466  ax-17 1473  ax-9 1488  ax-4 1494  ax-16 1671  ax-ext 1942  ax-rep 3462  ax-sep 3472  ax-nul 3481  ax-pow 3517  ax-pr 3541  ax-un 3811  ax-inf2 6033
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 383  df-an 384  df-3or 947  df-3an 948  df-tru 1354  df-ex 1381  df-sb 1633  df-eu 1860  df-mo 1861  df-clab 1948  df-cleq 1953  df-clel 1956  df-ne 2080  df-ral 2173  df-rex 2174  df-reu 2175  df-rab 2176  df-v 2367  df-sbc 2532  df-csb 2606  df-dif 2665  df-un 2667  df-in 2669  df-ss 2671  df-pss 2673  df-nul 2927  df-if 3028  df-pw 3084  df-sn 3099  df-pr 3100  df-tp 3102  df-op 3103  df-uni 3232  df-int 3266  df-iun 3304  df-br 3377  df-opab 3431  df-tr 3446  df-eprel 3624  df-id 3627  df-po 3632  df-so 3646  df-fr 3665  df-we 3681  df-ord 3697  df-on 3698  df-lim 3699  df-suc 3700  df-om 3967  df-xp 4014  df-rel 4015  df-cnv 4016  df-co 4017  df-dm 4018  df-rn 4019  df-res 4020  df-ima 4021  df-fun 4022  df-fn 4023  df-f 4024  df-fv 4028  df-ov 4926  df-oprab 4927  df-mpt 5061  df-mpt2 5062  df-1st 5130  df-2nd 5131  df-rdg 5320  df-1o 5357  df-oadd 5361  df-omul 5362  df-er 5494  df-ec 5496  df-qs 5500  df-ni 6717  df-pli 6718  df-mi 6719  df-lti 6720  df-plpq 6753  df-mpq 6754  df-ltpq 6755  df-enq 6756  df-nq 6757  df-erq 6758  df-plq 6759  df-mq 6760  df-1nq 6761  df-rq 6762  df-ltnq 6763  df-np 6827  df-1p 6828  df-plp 6829  df-mp 6830  df-ltp 6831  df-plpr 6901  df-mpr 6902  df-enr 6903  df-nr 6904  df-plr 6905  df-mr 6906  df-ltr 6907  df-0r 6908  df-1r 6909  df-m1r 6910
Copyright terms: Public domain