HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version

Theorem supsr 6995
Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
supsr |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem supsr
StepHypRef Expression
1 n0 2930 . . 3 |- (A =/= (/) <-> E.u u e. A)
2 vex 2361 . . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
3 ltrelsr 6954 . . . . . . . . . . . . 13 |- <R C_ (R. X. R.)
42, 3brel 4072 . . . . . . . . . . . 12 |- (y <R x -> (y e. R. /\ x e. R.))
54simpld 461 . . . . . . . . . . 11 |- (y <R x -> y e. R.)
65ralimi 2227 . . . . . . . . . 10 |- (A.y e. A y <R x -> A.y e. A y e. R.)
7 dfss3 2672 . . . . . . . . . 10 |- (A C_ R. <-> A.y e. A y e. R.)
86, 7sylibr 216 . . . . . . . . 9 |- (A.y e. A y <R x -> A C_ R.)
98sseld 2681 . . . . . . . 8 |- (A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
109rexlimivw 2272 . . . . . . 7 |- (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> (u e. A -> u e. R.))
1110impcom 438 . . . . . 6 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> u e. R.)
12 eleq1 2012 . . . . . . . . 9 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (u e. A <-> if(u e. R., u, 1R) e. A))
1312anbi1d 704 . . . . . . . 8 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) <-> (if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x)))
1413imbi1d 321 . . . . . . 7 |- (u = if(u e. R., u, 1R) -> (((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))) <-> ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))))
15 opeq1 3207 . . . . . . . . . . . 12 |- (v = w -> <.v, 1P>. = <.w, 1P>.)
16 eceq1 5556 . . . . . . . . . . . 12 |- (<.v, 1P>. = <.w, 1P>. -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- (v = w -> [<.v, 1P>.] ~R = [<.w, 1P>.] ~R )
1817oveq2d 4944 . . . . . . . . . 10 |- (v = w -> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) = (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ))
1918eleq1d 2018 . . . . . . . . 9 |- (v = w -> ((if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A <-> (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A))
2019cbvabv 2488 . . . . . . . 8 |- {v | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.v, 1P>.] ~R ) e. A} = {w | (if(u e. R., u, 1R) +R [<.w, 1P>.] ~R ) e. A}
21 1sr 6964 . . . . . . . . 9 |- 1R e. R.
2221elimel 3071 . . . . . . . 8 |- if(u e. R., u, 1R) e. R.
2320, 22supsrlem 6994 . . . . . . 7 |- ((if(u e. R., u, 1R) e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2414, 23dedth 3060 . . . . . 6 |- (u e. R. -> ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2511, 24mpcom 31 . . . . 5 |- ((u e. A /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2625ex 442 . . . 4 |- (u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2726exlimiv 1753 . . 3 |- (E.u u e. A -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
281, 27sylbi 195 . 2 |- (A =/= (/) -> (E.x e. R. A.y e. A y <R x -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
2928imp 437 1 |- ((A =/= (/) /\ E.x e. R. A.y e. A y <R x) -> E.x e. R. (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. R. (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 377  E.wex 1371   = wceq 1449   e. wcel 1451  {cab 1940   =/= wne 2071  A.wral 2162  E.wrex 2163   C_ wss 2657  (/)c0 2921  ifcif 3022  <.cop 3094   class class class wbr 3373  (class class class)co 4931  [cec 5528  1Pc1p 6741   ~R cer 6747  R.cnr 6748  1Rc1r 6750   +R cplr 6752   <R cltr 6754
This theorem is referenced by:  axpre-sup 7051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-5 1367  ax-6 1368  ax-7 1369  ax-gen 1370  ax-8 1453  ax-10 1454  ax-11 1455  ax-12 1456  ax-13 1457  ax-14 1458  ax-17 1465  ax-9 1480  ax-4 1486  ax-16 1664  ax-ext 1935  ax-rep 3459  ax-sep 3469  ax-nul 3478  ax-pow 3514  ax-pr 3538  ax-un 3808  ax-inf2 6071
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 378  df-an 379  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1345  df-ex 1372  df-sb 1626  df-eu 1853  df-mo 1854  df-clab 1941  df-cleq 1946  df-clel 1949  df-ne 2073  df-ral 2166  df-rex 2167  df-reu 2168  df-rab 2169  df-v 2360  df-sbc 2525  df-csb 2600  df-dif 2660  df-un 2662  df-in 2664  df-ss 2666  df-pss 2668  df-nul 2922  df-if 3023  df-pw 3081  df-sn 3096  df-pr 3097  df-tp 3099  df-op 3100  df-uni 3229  df-int 3263  df-iun 3301  df-br 3374  df-opab 3428  df-tr 3443  df-eprel 3621  df-id 3624  df-po 3629  df-so 3643  df-fr 3662  df-we 3678  df-ord 3694  df-on 3695  df-lim 3696  df-suc 3697  df-om 3971  df-xp 4018  df-rel 4019  df-cnv 4020  df-co 4021  df-dm 4022  df-rn 4023  df-res 4024  df-ima 4025  df-fun 4026  df-fn 4027  df-f 4028  df-fv 4032  df-ov 4933  df-oprab 4934  df-mpt 5068  df-mpt2 5069  df-1st 5166  df-2nd 5167  df-rdg 5356  df-1o 5393  df-oadd 5397  df-omul 5398  df-er 5530  df-ec 5532  df-qs 5536  df-ni 6755  df-pli 6756  df-mi 6757  df-lti 6758  df-plpq 6791  df-mpq 6792  df-ltpq 6793  df-enq 6794  df-nq 6795  df-erq 6796  df-plq 6797  df-mq 6798  df-1nq 6799  df-rq 6800  df-ltnq 6801  df-np 6865  df-1p 6866  df-plp 6867  df-mp 6868  df-ltp 6869  df-plpr 6939  df-mpr 6940  df-enr 6941  df-nr 6942  df-plr 6943  df-mr 6944  df-ltr 6945  df-0r 6946  df-1r 6947  df-m1r 6948
Copyright terms: Public domain