MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsr Unicode version

Theorem supsr 8730
Description: A non-empty, bounded set of signed reals has a supremum. (Cotributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supsr  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem supsr
Dummy variables  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3465 . . 3  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. u  u  e.  A )
2 ltrelsr 8689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
32brel 4736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
<R  x  ->  ( y  e.  R.  /\  x  e.  R. ) )
43simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
<R  x  ->  y  e. 
R. )
54ralimi 2619 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  R. )
6 dfss3 3171 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  R.  <->  A. y  e.  A  y  e.  R. )
75, 6sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A  C_  R. )
87sseld 3180 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( u  e.  A  ->  u  e. 
R. ) )
98rexlimivw 2664 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( u  e.  A  ->  u  e. 
R. ) )
109impcom 419 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  u  e.  R. )
11 eleq1 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  ->  (
u  e.  A  <->  if (
u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  A ) )
1211anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  ->  (
( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  <->  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
) ) )
1312imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( u  =  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  ->  (
( ( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
)  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )  <->  ( ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
)  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) ) )
14 opeq1 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  w  ->  <. v ,  1P >.  =  <. w ,  1P >. )
15 eceq1 6692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
v ,  1P >.  = 
<. w ,  1P >.  ->  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  w  ->  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )
1716oveq2d 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  w  ->  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  ) )
1817eleq1d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  w  ->  (
( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( if ( u  e. 
R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A
) )
1918cbvabv 2403 . . . . . . . 8  |-  { v  |  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }  =  {
w  |  ( if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
20 1sr 8699 . . . . . . . . 9  |-  1R  e.  R.
2120elimel 3618 . . . . . . . 8  |-  if ( u  e.  R. ,  u ,  1R )  e.  R.
2219, 21supsrlem 8729 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( u  e. 
R. ,  u ,  1R )  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
2313, 22dedth 3607 . . . . . 6  |-  ( u  e.  R.  ->  (
( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
2410, 23mpcom 32 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  A  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
2524ex 423 . . . 4  |-  ( u  e.  A  ->  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
2625exlimiv 1667 . . 3  |-  ( E. u  u  e.  A  ->  ( E. x  e. 
R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
271, 26sylbi 187 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
2827imp 418 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685   {cab 2270    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545    C_ wss 3153   (/)c0 3456   ifcif 3566   <.cop 3644   class class class wbr 4024  (class class class)co 5820   [cec 6654   1Pc1p 8478    ~R cer 8484   R.cnr 8485   1Rc1r 8487    +R cplr 8489    <R cltr 8491
This theorem is referenced by:  axpre-sup  8787
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-omul 6480  df-er 6656  df-ec 6658  df-qs 6662  df-ni 8492  df-pli 8493  df-mi 8494  df-lti 8495  df-plpq 8528  df-mpq 8529  df-ltpq 8530  df-enq 8531  df-nq 8532  df-erq 8533  df-plq 8534  df-mq 8535  df-1nq 8536  df-rq 8537  df-ltnq 8538  df-np 8601  df-1p 8602  df-plp 8603  df-mp 8604  df-ltp 8605  df-plpr 8675  df-mpr 8676  df-enr 8677  df-nr 8678  df-plr 8679  df-mr 8680  df-ltr 8681  df-0r 8682  df-1r 8683  df-m1r 8684
  Copyright terms: Public domain W3C validator