Theorem supsrlem2 5213

Description: Lemma for supremum theorem.

Hypothesis

Ref	Expression
supsrlem.1	|- C e. R.

Assertion

Ref	Expression
supsrlem2	|- (A e. R. <-> E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A))

Distinct variable groups:   x,A   x,C

Proof of Theorem supsrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 5178	. . . . . . 7 |- -1R e. R.
2		mulclsr 5180	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ -1R e. R.) -> (A .R -1R) e. R.)
3	1, 2	mpan2 695	. . . . . 6 |- (A e. R. -> (A .R -1R) e. R.)
4		supsrlem.1	. . . . . 6 |- C e. R.
5	3, 4	jctir 293	. . . . 5 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) e. R. /\ C e. R.))
6		addclsr 5179	. . . . 5 |- (((A .R -1R) e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R -1R) +R C) e. R.)
7	5, 6	syl 10	. . . 4 |- (A e. R. -> ((A .R -1R) +R C) e. R.)
8		addclsr 5179	. . . . 5 |- ((((A .R -1R) +R C) e. R. /\ -1R e. R.) -> (((A .R -1R) +R C) +R -1R) e. R.)
9	1, 8	mpan2 695	. . . 4 |- (((A .R -1R) +R C) e. R. -> (((A .R -1R) +R C) +R -1R) e. R.)
10		negexsr 5198	. . . 4 |- ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) e. R. -> E.x(x e. R. /\ ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R))
11	7, 9, 10	3syl 20	. . 3 |- (A e. R. -> E.x(x e. R. /\ ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R))
12		pn0sr 5197	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. R. -> (A +R (A .R -1R)) = 0R)
13	12	opreq1d 3972	. . . . . . . . . 10 |- (A e. R. -> ((A +R (A .R -1R)) +R (C +R (x +R -1R))) = (0R +R (C +R (x +R -1R))))
14		addclsr 5179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. R. /\ -1R e. R.) -> (x +R -1R) e. R.)
15	1, 14	mpan2 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. R. -> (x +R -1R) e. R.)
16	15, 4	jctil 292	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. R. -> (C e. R. /\ (x +R -1R) e. R.))
17		addclsr 5179	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. R. /\ (x +R -1R) e. R.) -> (C +R (x +R -1R)) e. R.)
18		0idsr 5193	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C +R (x +R -1R)) e. R. -> ((C +R (x +R -1R)) +R 0R) = (C +R (x +R -1R)))
19	16, 17, 18	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. R. -> ((C +R (x +R -1R)) +R 0R) = (C +R (x +R -1R)))
20		oprex 3980	. . . . . . . . . . . 12 |- (C +R (x +R -1R)) e. V
21		0r 5176	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0R e. R.
22	21	elisseti 1816	. . . . . . . . . . . 12 |- 0R e. V
23	20, 22	addcomsr 5183	. . . . . . . . . . 11 |- ((C +R (x +R -1R)) +R 0R) = (0R +R (C +R (x +R -1R)))
24	19, 23	syl5eqr 1520	. . . . . . . . . 10 |- (x e. R. -> (0R +R (C +R (x +R -1R))) = (C +R (x +R -1R)))
25	13, 24	sylan9eq 1526	. . . . . . . . 9 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> ((A +R (A .R -1R)) +R (C +R (x +R -1R))) = (C +R (x +R -1R)))
26		oprex 3980	. . . . . . . . . 10 |- (A .R -1R) e. V
27	26, 20	addasssr 5184	. . . . . . . . 9 |- ((A +R (A .R -1R)) +R (C +R (x +R -1R))) = (A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R))))
28	25, 27	syl5eqr 1520	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> (A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (C +R (x +R -1R)))
29		0idsr 5193	. . . . . . . . 9 |- (A e. R. -> (A +R 0R) = A)
30	29	adantr 389	. . . . . . . 8 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> (A +R 0R) = A)
31	28, 30	eqeq12d 1488	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> ((A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (A +R 0R) <-> (C +R (x +R -1R)) = A))
32	1	elisseti 1816	. . . . . . . . . . 11 |- -1R e. V
33		visset 1811	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
34	32, 33	addasssr 5184	. . . . . . . . . 10 |- ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = (((A .R -1R) +R C) +R (-1R +R x))
35	32, 33	addcomsr 5183	. . . . . . . . . . 11 |- (-1R +R x) = (x +R -1R)
36	35	opreq2i 3969	. . . . . . . . . 10 |- (((A .R -1R) +R C) +R (-1R +R x)) = (((A .R -1R) +R C) +R (x +R -1R))
37	4	elisseti 1816	. . . . . . . . . . 11 |- C e. V
38		oprex 3980	. . . . . . . . . . 11 |- (x +R -1R) e. V
39	37, 38	addasssr 5184	. . . . . . . . . 10 |- (((A .R -1R) +R C) +R (x +R -1R)) = ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))
40	34, 36, 39	3eqtr 1498	. . . . . . . . 9 |- ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))
41	40	eqeq1i 1481	. . . . . . . 8 |- (((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R <-> ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R))) = 0R)
42		opreq2 3966	. . . . . . . 8 |- (((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R))) = 0R -> (A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (A +R 0R))
43	41, 42	sylbi 199	. . . . . . 7 |- (((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R -> (A +R ((A .R -1R) +R (C +R (x +R -1R)))) = (A +R 0R))
44	31, 43	syl5bi 208	. . . . . 6 |- ((A e. R. /\ x e. R.) -> (((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R -> (C +R (x +R -1R)) = A))
45	44	ex 373	. . . . 5 |- (A e. R. -> (x e. R. -> (((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R -> (C +R (x +R -1R)) = A)))
46	45	imdistand 445	. . . 4 |- (A e. R. -> ((x e. R. /\ ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R) -> (x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A)))
47	46	19.22dv 1290	. . 3 |- (A e. R. -> (E.x(x e. R. /\ ((((A .R -1R) +R C) +R -1R) +R x) = 0R) -> E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A)))
48	11, 47	mpd 26	. 2 |- (A e. R. -> E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A))
49		eleq1 1533	. . . . 5 |- ((C +R (x +R -1R)) = A -> ((C +R (x +R -1R)) e. R. <-> A e. R.))
50	16, 17	syl 10	. . . . 5 |- (x e. R. -> (C +R (x +R -1R)) e. R.)
51	49, 50	syl5bi 208	. . . 4 |- ((C +R (x +R -1R)) = A -> (x e. R. -> A e. R.))
52	51	impcom 351	. . 3 |- ((x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A) -> A e. R.)
53	52	19.23aiv 1295	. 2 |- (E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A) -> A e. R.)
54	48, 53	impbi 157	1 |- (A e. R. <-> E.x(x e. R. /\ (C +R (x +R -1R)) = A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  (class class class)co 3960  R.cnr 4980  0Rc0r 4981  -1Rcm1r 4983   +R cplr 4984   .R cmr 4985

This theorem is referenced by:  supsrlem6 5217

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160

Copyright terms: Public domain