Theorem supsrlem4 5228

Description: Lemma for supremum theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	|- C e. R.
supsrlem.2	|- B = {w | (C +R (w +R -1R)) e. A}
supsrlem4.1	|- D e. V

Assertion

Ref	Expression
supsrlem4	|- (D e. B <-> (C +R (D +R -1R)) e. A)

Distinct variable groups:   w,A   w,B   w,C

Proof of Theorem supsrlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsrlem4.1	. 2 |- D e. V
2		opreq1 3968	. . . 4 |- (x = D -> (x +R -1R) = (D +R -1R))
3	2	opreq2d 3976	. . 3 |- (x = D -> (C +R (x +R -1R)) = (C +R (D +R -1R)))
4	3	eleq1d 1540	. 2 |- (x = D -> ((C +R (x +R -1R)) e. A <-> (C +R (D +R -1R)) e. A))
5		supsrlem.2	. . 3 |- B = {w | (C +R (w +R -1R)) e. A}
6		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (w = x -> (w +R -1R) = (x +R -1R))
7	6	opreq2d 3976	. . . . 5 |- (w = x -> (C +R (w +R -1R)) = (C +R (x +R -1R)))
8	7	eleq1d 1540	. . . 4 |- (w = x -> ((C +R (w +R -1R)) e. A <-> (C +R (x +R -1R)) e. A))
9	8	cbvabv 1909	. . 3 |- {w | (C +R (w +R -1R)) e. A} = {x | (C +R (x +R -1R)) e. A}
10	5, 9	eqtr 1495	. 2 |- B = {x | (C +R (x +R -1R)) e. A}
11	1, 4, 10	elab2 1901	1 |- (D e. B <-> (C +R (D +R -1R)) e. A)

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  Vcvv 1811  (class class class)co 3963  R.cnr 4993  -1Rcm1r 4996   +R cplr 4997

This theorem is referenced by:  supsrlem5 5229  supsrlem6 5230

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain