Theorem supsrlem5 5209

Description: Lemma for supremum theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
supsrlem.1	|- C e. R.
supsrlem.2	|- B = {w | (C +R (w +R -1R)) e. A}

Assertion

Ref	Expression
supsrlem5	|- (C e. A -> E.y(y e. B /\ 0R <R y))

Distinct variable groups:   y,w,A   y,B,w   y,C,w

Proof of Theorem supsrlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supsrlem.1	. . . 4 |- C e. R.
2		supsrlem.2	. . . 4 |- B = {w | (C +R (w +R -1R)) e. A}
3		1r 5170	. . . . 5 |- 1R e. R.
4	3	elisseti 1814	. . . 4 |- 1R e. V
5	1, 2, 4	supsrlem4 5208	. . 3 |- (1R e. B <-> (C +R (1R +R -1R)) e. A)
6		0lt1sr 5184	. . . 4 |- 0R <R 1R
7	6	biantru 723	. . 3 |- (1R e. B <-> (1R e. B /\ 0R <R 1R))
8		m1r 5171	. . . . . . . . 9 |- -1R e. R.
9	8	elisseti 1814	. . . . . . . 8 |- -1R e. V
10	4, 9	addcomsr 5176	. . . . . . 7 |- (1R +R -1R) = (-1R +R 1R)
11		m1p1sr 5181	. . . . . . 7 |- (-1R +R 1R) = 0R
12	10, 11	eqtr 1492	. . . . . 6 |- (1R +R -1R) = 0R
13	12	opreq2i 3963	. . . . 5 |- (C +R (1R +R -1R)) = (C +R 0R)
14		0idsr 5186	. . . . . 6 |- (C e. R. -> (C +R 0R) = C)
15	1, 14	ax-mp 7	. . . . 5 |- (C +R 0R) = C
16	13, 15	eqtr 1492	. . . 4 |- (C +R (1R +R -1R)) = C
17	16	eleq1i 1534	. . 3 |- ((C +R (1R +R -1R)) e. A <-> C e. A)
18	5, 7, 17	3bitr3 181	. 2 |- ((1R e. B /\ 0R <R 1R) <-> C e. A)
19		eleq1 1531	. . . 4 |- (y = 1R -> (y e. B <-> 1R e. B))
20		breq2 2618	. . . 4 |- (y = 1R -> (0R <R y <-> 0R <R 1R))
21	19, 20	anbi12d 627	. . 3 |- (y = 1R -> ((y e. B /\ 0R <R y) <-> (1R e. B /\ 0R <R 1R)))
22	4, 21	cla4ev 1865	. 2 |- ((1R e. B /\ 0R <R 1R) -> E.y(y e. B /\ 0R <R y))
23	18, 22	sylbir 201	1 |- (C e. A -> E.y(y e. B /\ 0R <R y))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  R.cnr 4973  0Rc0r 4974  1Rc1r 4975  -1Rcm1r 4976   +R cplr 4977   <R cltr 4979

This theorem is referenced by:  supsrlem6 5210

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153

Copyright terms: Public domain