Theorem supubi 4594

Description: A supremum is an upper bound.

Hypotheses

Ref	Expression
sup.1	|- R Or A
sup.2	|- E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))

Assertion

Ref	Expression
supubi	|- (C e. B -> -. sup(B, A, R)RC)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,R,y,z   x,B,y,z

Proof of Theorem supubi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sup.2	. 2 |- E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz))
2		sup.1	. . 3 |- R Or A
3	2	supub 4589	. 2 |- (E.x e. A (A.y e. B -. xRy /\ A.y e. A (yRx -> E.z e. B yRz)) -> (C e. B -> -. sup(B, A, R)RC))
4	1, 3	ax-mp 7	1 |- (C e. B -> -. sup(B, A, R)RC)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   class class class wbr 2624   Or wor 2845  supcsup 4582

This theorem is referenced by:  sqrlem8 6681  sqrlem18 6691

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-po 2846  df-so 2856  df-sup 4583

Copyright terms: Public domain