Theorem supxr 6036

Description: The supremum of a set of extended reals.

Assertion

Ref	Expression
supxr	|- (((A (_ RR* /\ B e. RR*) /\ (A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR (x < B -> E.y e. A x < y))) -> sup(A, RR*, < ) = B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem supxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrub 6035	. . . . 5 |- ((A (_ RR* /\ B e. RR*) -> (A.x e. RR (x < B -> E.y e. A x < y) <-> A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y)))
2	1	biimpd 153	. . . 4 |- ((A (_ RR* /\ B e. RR*) -> (A.x e. RR (x < B -> E.y e. A x < y) -> A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y)))
3	2	anim2d 560	. . 3 |- ((A (_ RR* /\ B e. RR*) -> ((A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR (x < B -> E.y e. A x < y)) -> (A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y))))
4	3	imp 350	. 2 |- (((A (_ RR* /\ B e. RR*) /\ (A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR (x < B -> E.y e. A x < y))) -> (A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y)))
5		xrsupss 6033	. . . . . . 7 |- (A (_ RR* -> E.z e. RR* (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y)))
6	5	anim2i 335	. . . . . 6 |- ((B e. RR* /\ A (_ RR*) -> (B e. RR* /\ E.z e. RR* (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y))))
7	6	ancoms 436	. . . . 5 |- ((A (_ RR* /\ B e. RR*) -> (B e. RR* /\ E.z e. RR* (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y))))
8		xrltso 5535	. . . . . . 7 |- < Or RR*
9	8	supeu 4558	. . . . . 6 |- (E.z e. RR* (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y)) -> E!z e. RR* (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y)))
10	9	anim2i 335	. . . . 5 |- ((B e. RR* /\ E.z e. RR* (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y))) -> (B e. RR* /\ E!z e. RR* (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y))))
11		breq1 2617	. . . . . . . . 9 |- (z = B -> (z < x <-> B < x))
12	11	negbid 610	. . . . . . . 8 |- (z = B -> (-. z < x <-> -. B < x))
13	12	ralbidv 1660	. . . . . . 7 |- (z = B -> (A.x e. A -. z < x <-> A.x e. A -. B < x))
14		breq2 2618	. . . . . . . . 9 |- (z = B -> (x < z <-> x < B))
15	14	imbi1d 612	. . . . . . . 8 |- (z = B -> ((x < z -> E.y e. A x < y) <-> (x < B -> E.y e. A x < y)))
16	15	ralbidv 1660	. . . . . . 7 |- (z = B -> (A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y) <-> A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y)))
17	13, 16	anbi12d 627	. . . . . 6 |- (z = B -> ((A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y)) <-> (A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y))))
18	17	reuuni2 2879	. . . . 5 |- ((B e. RR* /\ E!z e. RR* (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y))) -> ((A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y)) <-> U.{z e. RR* | (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y))} = B))
19	7, 10, 18	3syl 20	. . . 4 |- ((A (_ RR* /\ B e. RR*) -> ((A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y)) <-> U.{z e. RR* | (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y))} = B))
20	19	biimpa 416	. . 3 |- (((A (_ RR* /\ B e. RR*) /\ (A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y))) -> U.{z e. RR* | (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y))} = B)
21		df-sup 4554	. . 3 |- sup(A, RR*, < ) = U.{z e. RR* | (A.x e. A -. z < x /\ A.x e. RR* (x < z -> E.y e. A x < y))}
22	20, 21	syl5eq 1516	. 2 |- (((A (_ RR* /\ B e. RR*) /\ (A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR* (x < B -> E.y e. A x < y))) -> sup(A, RR*, < ) = B)
23	4, 22	syldan 467	1 |- (((A (_ RR* /\ B e. RR*) /\ (A.x e. A -. B < x /\ A.x e. RR (x < B -> E.y e. A x < y))) -> sup(A, RR*, < ) = B)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  E!wreu 1644  {crab 1645   (_ wss 2043  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  supcsup 4553  RRcr 5213  RR*cxr 5465   < clt 5466

This theorem is referenced by:  supxr2 6037  supxrun 6040  supxrpnf 6043  supxrunb1 6044  supxrunb2 6045  xrsup0 6052

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471

Copyright terms: Public domain