Theorem supxrunb2 6090

Description: The supremum of an unbounded-above set of extended reals is plus infinity.

Assertion

Ref	Expression
supxrunb2	|- (A (_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y <-> sup(A, RR*, < ) = +oo))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem supxrunb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2063	. . . . . . . 8 |- (A (_ RR* -> (z e. A -> z e. RR*))
2		pnfnltt 5546	. . . . . . . 8 |- (z e. RR* -> -. +oo < z)
3	1, 2	syl6 22	. . . . . . 7 |- (A (_ RR* -> (z e. A -> -. +oo < z))
4	3	r19.21aiv 1713	. . . . . 6 |- (A (_ RR* -> A.z e. A -. +oo < z)
5	4	adantr 389	. . . . 5 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> A.z e. A -. +oo < z)
6		breq1 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = z -> (x < y <-> z < y))
7	6	rexbidv 1664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = z -> (E.y e. A x < y <-> E.y e. A z < y))
8	7	rcla4va 1875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. RR /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> E.y e. A z < y)
9	8	adantrr 395	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ (A.x e. RR E.y e. A x < y /\ A (_ RR*)) -> E.y e. A z < y)
10	9	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 |- (((A.x e. RR E.y e. A x < y /\ A (_ RR*) /\ z e. RR) -> E.y e. A z < y)
11	10	exp31 376	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (A (_ RR* -> (z e. RR -> E.y e. A z < y)))
12	11	a1dd 42	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (A (_ RR* -> (z < +oo -> (z e. RR -> E.y e. A z < y))))
13	12	com4r 41	. . . . . . . 8 |- (z e. RR -> (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (A (_ RR* -> (z < +oo -> E.y e. A z < y))))
14	13	com13 33	. . . . . . 7 |- (A (_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y -> (z e. RR -> (z < +oo -> E.y e. A z < y))))
15	14	imp 350	. . . . . 6 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> (z e. RR -> (z < +oo -> E.y e. A z < y)))
16	15	r19.21aiv 1713	. . . . 5 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y))
17	5, 16	jca 288	. . . 4 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> (A.z e. A -. +oo < z /\ A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y)))
18		pnfxr 5493	. . . . 5 |- +oo e. RR*
19		supxr 6081	. . . . 5 |- (((A (_ RR* /\ +oo e. RR*) /\ (A.z e. A -. +oo < z /\ A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y))) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
20	18, 19	mpanl2 707	. . . 4 |- ((A (_ RR* /\ (A.z e. A -. +oo < z /\ A.z e. RR (z < +oo -> E.y e. A z < y))) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
21	17, 20	syldan 467	. . 3 |- ((A (_ RR* /\ A.x e. RR E.y e. A x < y) -> sup(A, RR*, < ) = +oo)
22	21	ex 373	. 2 |- (A (_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y -> sup(A, RR*, < ) = +oo))
23		xrltso 5554	. . . . . . 7 |- < Or RR*
24	23	suplub 4581	. . . . . 6 |- (E.z e. RR* (A.w e. A -. z < w /\ A.w e. RR* (w < z -> E.y e. A w < y)) -> ((x e. RR* /\ x < sup(A, RR*, < )) -> E.y e. A x < y))
25		xrsupss 6078	. . . . . . 7 |- (A (_ RR* -> E.z e. RR* (A.w e. A -. z < w /\ A.w e. RR* (w < z -> E.y e. A w < y)))
26	25	ad2antrr 404	. . . . . 6 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> E.z e. RR* (A.w e. A -. z < w /\ A.w e. RR* (w < z -> E.y e. A w < y)))
27		rexrt 5499	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> x e. RR*)
28	27	ad2antlr 405	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> x e. RR*)
29		breq2 2623	. . . . . . . . . 10 |- (sup(A, RR*, < ) = +oo -> (x < sup(A, RR*, < ) <-> x < +oo))
30		ltpnft 5542	. . . . . . . . . 10 |- (x e. RR -> x < +oo)
31	29, 30	syl5bir 210	. . . . . . . . 9 |- (sup(A, RR*, < ) = +oo -> (x e. RR -> x < sup(A, RR*, < )))
32	31	impcom 351	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> x < sup(A, RR*, < ))
33	32	adantll 392	. . . . . . 7 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> x < sup(A, RR*, < ))
34	28, 33	jca 288	. . . . . 6 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> (x e. RR* /\ x < sup(A, RR*, < )))
35	24, 26, 34	sylc 68	. . . . 5 |- (((A (_ RR* /\ x e. RR) /\ sup(A, RR*, < ) = +oo) -> E.y e. A x < y)
36	35	exp31 376	. . . 4 |- (A (_ RR* -> (x e. RR -> (sup(A, RR*, < ) = +oo -> E.y e. A x < y)))
37	36	com23 32	. . 3 |- (A (_ RR* -> (sup(A, RR*, < ) = +oo -> (x e. RR -> E.y e. A x < y)))
38	37	r19.21adv 1718	. 2 |- (A (_ RR* -> (sup(A, RR*, < ) = +oo -> A.x e. RR E.y e. A x < y))
39	22, 38	impbid 516	1 |- (A (_ RR* -> (A.x e. RR E.y e. A x < y <-> sup(A, RR*, < ) = +oo))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  supcsup 4573  RRcr 5233   +oocpnf 5483  RR*cxr 5485   < clt 5486

This theorem is referenced by:  supxrbnd 6091  supxrbnd2 6096  nmcopexlem1 9951  nmcfnexlem1 9980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491

Copyright terms: Public domain