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Theorem surjsec2 25223
Description: A function is a surjection iff a section exists. Bourbaki E.II.18 prop. 8. (Contributed by FL, 18-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
surjsec2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F : A -onto-> B 
<->  E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s    C, s    D, s    F, s

Proof of Theorem surjsec2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  B  e.  D )
2 dffo3 5691 . . . . . . . 8  |-  ( F : A -onto-> B  <->  ( F : A --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) ) )
32simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( F : A -onto-> B  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
43adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
5 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( s `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( s `  x
) ) )
65eqeq2d 2307 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( s `  x )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) )
76ac6sg 8131 . . . . . 6  |-  ( B  e.  D  ->  ( A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y )  ->  E. s
( s : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) ) )
81, 4, 7sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  E. s
( s : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) )
9 fof 5467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A -onto-> B  ->  F : A --> B )
109ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  F : A --> B )
11 fco 5414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  s : B --> A )  ->  ( F  o.  s ) : B --> B )
1210, 11sylancom 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( F  o.  s ) : B --> B )
13 ffn 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  o.  s ) : B --> B  -> 
( F  o.  s
)  Fn  B )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( F  o.  s )  Fn  B
)
15 fnresi 5377 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  B )  Fn  B
16 eqfnfv 5638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  o.  s
)  Fn  B  /\  (  _I  |`  B )  Fn  B )  -> 
( ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( ( F  o.  s
) `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
1714, 15, 16sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( ( F  o.  s ) `  x
)  =  ( (  _I  |`  B ) `  x ) ) )
18 fvco3 5612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s : B --> A  /\  x  e.  B )  ->  ( ( F  o.  s ) `  x
)  =  ( F `
 ( s `  x ) ) )
1918adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )
)  /\  s : B
--> A )  /\  x  e.  B )  ->  (
( F  o.  s
) `  x )  =  ( F `  ( s `  x
) ) )
20 fvresi 5727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2120adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )
)  /\  s : B
--> A )  /\  x  e.  B )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2219, 21eqeq12d 2310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )
)  /\  s : B
--> A )  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( F  o.  s ) `  x
)  =  ( (  _I  |`  B ) `  x )  <->  ( F `  ( s `  x
) )  =  x ) )
23 eqcom 2298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  ( s `
 x ) )  =  x  <->  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) )
2422, 23syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D )
)  /\  s : B
--> A )  /\  x  e.  B )  ->  (
( ( F  o.  s ) `  x
)  =  ( (  _I  |`  B ) `  x )  <->  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) )
2524ralbidva 2572 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( A. x  e.  B  ( ( F  o.  s ) `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 x )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `
 x ) ) ) )
2617, 25bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D ) )  /\  s : B --> A )  ->  ( ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `  x
) ) ) )
2726pm5.32da 622 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  (
( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )
)  <->  ( s : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `  x
) ) ) ) )
2827exbidv 1616 . . . . 5  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  ( E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B ) )  <->  E. s ( s : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( s `  x
) ) ) ) )
298, 28mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  ( A  e.  C  /\  B  e.  D
) )  ->  E. s
( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B )
) )
3029expcom 424 . . 3  |-  ( ( A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F : A -onto-> B  ->  E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) ) ) )
31303adant1 973 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F : A -onto-> B  ->  E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) ) ) )
32 fcofo 5814 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F : A -onto-> B )
33323expib 1154 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F : A -onto-> B ) )
34333ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s )  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F : A -onto-> B ) )
3534exlimdv 1626 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) )  ->  F : A -onto-> B ) )
3631, 35impbid 183 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  C  /\  B  e.  D )  ->  ( F : A -onto-> B 
<->  E. s ( s : B --> A  /\  ( F  o.  s
)  =  (  _I  |`  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    _I cid 4320    |` cres 4707    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-reg 7322  ax-inf2 7358  ax-ac2 8105
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-en 6880  df-r1 7452  df-rank 7453  df-card 7588  df-ac 7759
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