MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd00 Unicode version

Theorem swrd00 11467
Description: A zero length substring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd00  |-  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/)

Proof of Theorem swrd00
Dummy variables  s 
b  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 4735 . . . 4  |-  ( <. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  ( _V 
X.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  <->  ( S  e.  _V  /\  <. X ,  X >.  e.  ( ZZ 
X.  ZZ ) ) )
2 opelxp 4735 . . . . 5  |-  ( <. X ,  X >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) 
<->  ( X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ ) )
3 swrdval 11466 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  if ( ( X..^ X ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) ) )
4 fzo0 10909 . . . . . . . . . 10  |-  ( X..^ X )  =  (/)
5 0ss 3496 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  C_  dom  S
64, 5eqsstri 3221 . . . . . . . . 9  |-  ( X..^ X )  C_  dom  S
7 iftrue 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X..^ X )  C_  dom  S  ->  if (
( X..^ X ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) )
86, 7ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  if ( ( X..^ X ) 
C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) )  =  ( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) )
9 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  ZZ  ->  X  e.  CC )
109subidd 9161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X  -  X )  =  0 )
1110oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( X  -  X ) )  =  ( 0..^ 0 ) )
12113ad2ant2 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( X  -  X ) )  =  ( 0..^ 0 ) )
13 fzo0 10909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0..^ 0 )  =  (/)
1412, 13syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
0..^ ( X  -  X ) )  =  (/) )
15 mpteq1 4116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0..^ ( X  -  X ) )  =  (/)  ->  ( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) ) 
|->  ( S `  (
x  +  X ) ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( S `
 ( x  +  X ) ) ) )
1614, 15syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( X  -  X
) )  |->  ( S `
 ( x  +  X ) ) )  =  ( x  e.  (/)  |->  ( S `  ( x  +  X
) ) ) )
17 mpt0 5387 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  (/)  |->  ( S `  ( x  +  X
) ) )  =  (/)
1816, 17syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( 0..^ ( X  -  X
) )  |->  ( S `
 ( x  +  X ) ) )  =  (/) )
198, 18syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  if ( ( X..^ X
)  C_  dom  S , 
( x  e.  ( 0..^ ( X  -  X ) )  |->  ( S `  ( x  +  X ) ) ) ,  (/) )  =  (/) )
203, 19eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  _V  /\  X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
21203expb 1152 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  _V  /\  ( X  e.  ZZ  /\  X  e.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
222, 21sylan2b 461 . . . 4  |-  ( ( S  e.  _V  /\  <. X ,  X >.  e.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
231, 22sylbi 187 . . 3  |-  ( <. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  ( _V 
X.  ( ZZ  X.  ZZ ) )  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
24 df-substr 11428 . . . 4  |- substr  =  ( s  e.  _V , 
b  e.  ( ZZ 
X.  ZZ )  |->  if ( ( ( 1st `  b )..^ ( 2nd `  b ) )  C_  dom  s ,  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) ) 
|->  ( s `  (
x  +  ( 1st `  b ) ) ) ) ,  (/) ) )
25 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) )  e.  _V
2625mptex 5762 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b
)  -  ( 1st `  b ) ) ) 
|->  ( s `  (
x  +  ( 1st `  b ) ) ) )  e.  _V
27 0ex 4166 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
2826, 27ifex 3636 . . . 4  |-  if ( ( ( 1st `  b
)..^ ( 2nd `  b
) )  C_  dom  s ,  ( x  e.  ( 0..^ ( ( 2nd `  b )  -  ( 1st `  b
) ) )  |->  ( s `  ( x  +  ( 1st `  b
) ) ) ) ,  (/) )  e.  _V
2924, 28dmmpt2 6210 . . 3  |-  dom substr  =  ( _V  X.  ( ZZ 
X.  ZZ ) )
3023, 29eleq2s 2388 . 2  |-  ( <. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  dom substr  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
31 df-ov 5877 . . 3  |-  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  ( substr  `  <. S ,  <. X ,  X >. >. )
32 ndmfv 5568 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  dom substr  ->  ( substr  ` 
<. S ,  <. X ,  X >. >. )  =  (/) )
3331, 32syl5eq 2340 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  <. X ,  X >. >.  e.  dom substr  ->  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/) )
3430, 33pm2.61i 156 1  |-  ( S substr  <. X ,  X >. )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   <.cop 3656    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   0cc0 8753    + caddc 8756    - cmin 9053   ZZcz 10040  ..^cfzo 10886   substr csubstr 11422
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-substr 11428
  Copyright terms: Public domain W3C validator