Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1 Unicode version

Theorem sylow1 14916
 Description: Sylow's first theorem. If is a prime power that divides the cardinality of , then has a supgroup with size . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x
sylow1.g
sylow1.f
sylow1.p
sylow1.n
sylow1.d
Assertion
Ref Expression
sylow1 SubGrp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem sylow1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.x . . 3
2 sylow1.g . . 3
3 sylow1.f . . 3
4 sylow1.p . . 3
5 sylow1.n . . 3
6 sylow1.d . . 3
7 eqid 2285 . . 3
8 eqid 2285 . . 3
9 oveq2 5868 . . . . . . 7
109cbvmptv 4113 . . . . . 6
11 oveq1 5867 . . . . . . 7
1211mpteq2dv 4109 . . . . . 6
1310, 12syl5eq 2329 . . . . 5
1413rneqd 4908 . . . 4
15 mpteq1 4102 . . . . 5
1615rneqd 4908 . . . 4
1714, 16cbvmpt2v 5928 . . 3
18 preq12 3710 . . . . . 6
1918sseq1d 3207 . . . . 5
20 oveq2 5868 . . . . . . 7
21 id 19 . . . . . . 7
2220, 21eqeqan12d 2300 . . . . . 6
2322rexbidv 2566 . . . . 5
2419, 23anbi12d 691 . . . 4
2524cbvopabv 4090 . . 3
261, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 25sylow1lem3 14913 . 2
272adantr 451 . . . . 5
283adantr 451 . . . . 5
294adantr 451 . . . . 5
305adantr 451 . . . . 5
316adantr 451 . . . . 5
32 simprl 732 . . . . 5
33 eqid 2285 . . . . 5
34 simprr 733 . . . . 5
351, 27, 28, 29, 30, 31, 7, 8, 17, 25, 32, 33, 34sylow1lem5 14915 . . . 4 SubGrp
3635expr 598 . . 3 SubGrp
3736rexlimdva 2669 . 2 SubGrp
3826, 37mpd 14 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   wceq 1625   wcel 1686  wrex 2546  crab 2549   wss 3154  cpw 3627  cpr 3643   class class class wbr 4025  copab 4078   cmpt 4079   crn 4692  cfv 5257  (class class class)co 5860   cmpt2 5862  cec 6660  cfn 6865   cle 8870   cmin 9039  cn0 9967  cexp 11106  chash 11339   cdivides 12533  cprime 12760   cpc 12891  cbs 13150   cplusg 13210  cgrp 14364  SubGrpcsubg 14617 This theorem is referenced by:  odcau  14917  slwhash  14937 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-disj 3996  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-ec 6664  df-qs 6668  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-sum 12161  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-prm 12761  df-pc 12892  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-subg 14620  df-eqg 14622  df-ga 14746
 Copyright terms: Public domain W3C validator